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2025年八上数学第17周《一次函数应用问题》
【知识梳理】
含参过定点
等直斜放，代参计算
一次函数应用题类型及研究策略
①行程问题：涉及路程、速度和时间的关系。通过设定变量，建立函数模型。
②费用问题：包括购物费用、出租车费用等。根据单价、数量和固定费用建立函数表达式。
③销售问题：涉及利润、成本和销量的关系。通过设定变量，建立利润函数。
④方案设计问题：需要比较不同方案的优劣。
【课前热身】
1．（2024秋 鼓楼区期末）已知一次函数y＝kx+4（k为常数，k≠0），当x＜1时，y＞0，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣4 B．k≤﹣4 C．﹣4＜k＜0 D．﹣4≤k＜0
2．（2024秋 秦淮区期末）一次函数y＝kx+k（k≠0，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（　　）
A．（0，1） B．（﹣3，2） C．（3，3） D．（2，1）
3．（2024秋 南京期末）一次函数y＝kx+b中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的值为 　 　 ．
x … m﹣1 m m+2 …
y … n 2 4 …
4．（2023秋 玄武区期末）若点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2），C（0，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，且y1﹣y2＝5，则k b的值为 　 　 ．
5．（2024秋 建邺区期末）—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 7 5 3 1 ﹣1 …
那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 　 　 ．
6．（2024秋 鼓楼区期末）已知两个一次函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如下表：
x … ﹣3 1 2 …
y1 … ﹣1 3 4 …
x … ﹣1 1 3 …
y2 … 7 3 ﹣1 …
当x　 　 时，y1＞y2．
7．（2024秋 建邺区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．点P是边AB上的一个动点，若AP＝x，CP＝y，则y关于x的函数图象如图2所示．下列结论中所有正确结论的序号是 　 　 ．
①斜边AB的长度为15；②斜边上的高的长度为；③斜边上的中线的长度为；④Rt△ABC中∠C的角平分线的长度为．
8．（2023秋 秦淮区校级期末）如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设x小时后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则乙车的速度为（　　）
A．60千米/小时 B．70千米/小时 C．75千米/小时 D．80千米/小时
9．（2024秋 建邺区期末）一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是　 　 ．
10．（2023秋 鼓楼区期末）要使一次函数y＝﹣3x+2的图象经过运动后过点（1，﹣7），则以下该函数图象的运动方式中，可行的是 　 　 （只填序号）．
①向下平移9个单位长度；②绕点（0，﹣1）旋转180°；③沿着经过点（2，0）且平行于y轴的直线翻折．
11．（2023秋 秦淮区期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A．将该函数图象绕点A逆时针旋转45°，则得到的新图象的函数表达式为 　 　 ．
12．（2023秋 南京期末）若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”．当x≥0时，y1＝kx+2；当x＜0时，y1＝kx﹣2，可以记作分段函数y1．
（1）若k＝1时，画出y1与x之间的函数图象，并写出该函数两条不同类型的性质；
（2）正比例函数y2＝2kx的图象与函数y1的图象的一个交点坐标为（﹣2，﹣4），当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　 ；
（3）已知点A（2，1），B（﹣1，﹣1），函数y1的图象与线段AB的交点个数随k的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的k的取值范围．
13．（2023秋 建邺区期末）用两种不同的方法比较代数式x+1和﹣x+3的大小．
【典型例题】
1．（2024秋 鼓楼区期末）【新定义】
一次函数y＝kx+b与一次函数y＝﹣kx﹣b称为一对和谐函数（其中k，b为常数，k≠0）．例如：y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1就是一对和谐函数．
【特殊化】
请以y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1这对和谐函数为例，完成以下两条结论：
（1）这对和谐函数图象的交点坐标是 　 　 ；
（2）可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是 　 　 ．
【一般化】
（3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象“成轴对称”的结论依然成立．
2．（2024 建邺区期末）一艘游船从A港逆流开往B港，游船在静水中的行驶速度为600m/min．出发2分钟后有一位游客的物品飘落在水面上，游客在游船出发5分钟后发现遗失物品，游船随即掉头寻找，并在找回物品之后掉头继续前往B港．游船距离A港的距离y（m）与行驶时间x（min）的关系如图所示．
（1）水流的速度为 　 　 m/min；
（2）求点A的坐标，并解释它的实际意义；
（3）若游船在出发14min后到达B港，则A港与B港之间的距离为 　 　 m．
3．（2024秋 玄武区期末）快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象如图①所示．
（1）甲、乙两地之间的距离为 　 　 km，慢车的速度为 　 　 km/h；
（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；
（3）设快、慢车两车之间的距离为s（单位：km），在图②中画出s与x之间的函数图象．（标明必要的数据）
4．（2024秋 建邺区期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（x，y）（xy≠0）是平面内任意一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M和点N．若四边形PMON的周长为6，则点P叫做“周六点”．例如：如图中的P（2，﹣1）是一个“周六点”．
（1）若D（m，2m+2）为“周六点”，求m的值；
（2）点Q的坐标为（2，2），若点P是“周六点”，则PQ的最小值为　 　 ；
A.B.1 C.D.2
（3）若一次函数y＝kx+k﹣4的图象上存在“周六点”，则k的取值范围是　 　 ．
5．（2024秋 秦淮区期末）甲、乙两地相距skm．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发ah后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地．两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息1h后，提速50%，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象．
（2）a＝ 　 　 ．
（3）已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地30km处有一个治安警亭．
①若s＝120，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？
②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是 　 　 ．
6．（2023秋 建邺区期末）【概念学习】
对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．例如，如图①，点P（1，2）与x轴之间的“关联距离”d（P，x轴）＝2．
【理解概念】
（1）如图②，已知点P（1，2）在边长为3的正方形OABC内，则d（P，正方形OABC）＝　 　 ．
【深入探索】
（2）如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是（0，3），点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d（Q，△ABC）＝1，求点Q的坐标．
【拓展延伸】
（3）已知D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，则k的取值范围是 　 　 ．
【巩固练习】
1．（2023秋 南京期末）已知一次函数y＝kx﹣k+b，函数值y随自变量x的增大而增大，且k＜﹣b，则该函数的大致图象可以是（　　）
A．B． C．D．
2．（2024秋 建邺区期末）点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在一次函数y＝x+3的图象上，且x1＜x2＜x3，下列说法中正确的是（　　）
A．若x1x2＜0，则y2y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＜0
C．若x2x3＜0，则y1y2＜0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0
3．（2023秋 建邺区期末）已知一次函数y1＝k1x+b1与一次函数y2＝k2x+b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示：
表1： 表2：
x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 …
y1 … ﹣3 ﹣1 0 …
x … ﹣2 ﹣1 1 …
y2 … 0 ﹣1 ﹣3 …
则关于x的不等式k1（x﹣1）+b1＞k2x+b2的解集是 　 　 ．
4．（2024秋 南京期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（3，0），若一次函数y＝kx+2的图象与线段AB有交点，则k的取值范围是 　 　 ．
5．（2024 秦淮区期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 0 1 …
y … 2 ﹣2 ﹣4 …
则关于x的方程kx+b＝0的解为 　 　 ．
6．（2024秋 鼓楼区校级期末）已知一次函数y1＝kx+1和y2＝x﹣2，当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围是 　 　 ．
9．（2024秋 秦淮）如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A，与x轴分别交于点B，C．
（1）求点A的坐标；
（2）结合图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围．
10．（2024秋 南京期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A（﹣6，0），B（0，3）．
（1）求该函数的表达式；
（2）若一次函数y2＝ax﹣2的图象与一次函数y1＝kx+b的图象交于点P（m，n）．
①当n＝2时，直接写出关于x的不等式kx+b＜ax﹣2的解集；
②若点P在第二象限，则a的取值范围是 　 　 ．
常数）的图象上，且y1﹣y2＝5，则k b的值为 　10　 ．
【解答】解：∵点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2）在一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，
∴y1＝k（m﹣1）+b，y2＝k（m+1）+b，
∴y1﹣y2＝k（m﹣1）+b﹣[k（m+1）+b]＝﹣2k＝5，
∴k．
又∵点C（0，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，
∴b＝﹣4，
∴k b（﹣4）＝10．
故答案为：10．
6．（2024秋 建邺区期末）—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 7 5 3 1 ﹣1 …
那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 x≤﹣2　 ．
【解答】解：当x＝﹣2时y＝5，
根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b≥5的解等是x≤﹣2．
故答案为：x≤﹣2．
7．（2024秋 鼓楼区期末）已知两个一次函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如下表：
x … ﹣3 1 2 …
y1 … ﹣1 3 4 …
x … ﹣1 1 3 …
y2 … 7 3 ﹣1 …
当x　＞1　 时，y1＞y2．
【解答】解：∵点（1，3）和点（2，4）在一次函数y1＝k1x+b1的图象上，
∴ 得，
即一次函数y1＝x+2，
∵点（1，3）和点（3，﹣1）在一次函数 y2＝k2x+b2的图象上，
∴得，
即一次函数y2＝﹣2x+5，
∴y1＞y2时，x+2＞﹣2x+5，
∴x＞1．
故答案为：x＞1．
8．（2024秋 建邺区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．点P是边AB上的一个动点，若AP＝x，CP＝y，则y关于x的函数图象如图2所示．下列结论中所有正确结论的序号是 　①②④　 ．
①斜边AB的长度为15；
②斜边上的高的长度为；
③斜边上的中线的长度为；
④Rt△ABC中∠C的角平分线的长度为．
【解答】解：由图2可知，当x＝15时，y取得最大值，即y＝CB，
∴斜边AB的长度为15，
故①正确；
由图2可知，当x＝0时，y＝9，即AC＝9，
∴BC12，
∴斜边上的高的长度为：，
故②正确；
∵斜边AB的长度为15，
∴斜边上的中线为，
故③错误；
∵∠C的角平分线是一条线段，
∴Rt△ABC中∠C的角平分线的长度为．
故④正确；
故答案为：①②④．
9．（2024秋 建邺区期末）一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是yx或y　 ．
【解答】解：设直线yx上一点为A（1，），A关于直线l的对称点为B，
∵A（1，），
∴OA2，
∴B（2，0），
∴AB的中点C为（，），
设直线OC为y＝kx，则，
解得k，
∴直线OC为yx，
过点O作DO⊥OC，则直线OD为yx，
∴直线l的函数表达式是yx或y．
故答案为：yx或y．
解得，
∴直线L的解析式为：y＝3x+12．
故答案为：y＝3x+12．
12．（2023秋 南京期末）若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”．当x≥0时，y1＝kx+2；当x＜0时，y1＝kx﹣2，可以记作分段函数y1．
（1）若k＝1时，画出y1与x之间的函数图象，并写出该函数两条不同类型的性质；
（2）正比例函数y2＝2kx的图象与函数y1的图象的一个交点坐标为（﹣2，﹣4），当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜﹣2或0≤x＜2　 ；
（3）已知点A（2，1），B（﹣1，﹣1），函数y1的图象与线段AB的交点个数随k的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的k的取值范围．
【解答】解：（1）
性质1：当x≥0时，y随x的增大而增大；性质2：当x≥0时，函数有最小值2．
（2）将（﹣2，﹣4）代入y2＝2kx，则﹣4＝2k×（﹣2），k＝1，
∴分段函数，
当0≤x时，x+2＞2x，x＜2，
当x＜0时，x﹣2＞2x，x＜﹣2，
综上所述，当y1＞y2时，x＜﹣2或0≤x＜2．
（3）将点A代入y1中，得出k，
将点B代入y1中，得出k＝﹣1，
当没有交点时，2k+2＞，﹣k﹣2＜﹣1，则k，k＞﹣1，即k，
当有1个交点时，，k且k≤﹣1不成立，
，成立，
当有两个交点时，，k，k≤﹣1，即k≤﹣1，
综上所述，当k，k≠0时，没有交点，当﹣1＜k时，1个交点，当k≤﹣1时，2个交点．
13．（2023秋 建邺区期末）用两种不同的方法比较代数式x+1和﹣x+3的大小．
【解答】解：方法一：作差法，
x+1﹣（﹣x+3）
＝x+1+x﹣3
＝2x﹣2，
当x＞1时，2x﹣2＞0，即x+1＞﹣x+3，
当x＝1时，2x﹣2＝0，即x+1＝﹣x+3，
当x＜1时，2x﹣2＜0，即x+1＜﹣x+3；
方法二：作比法，
（1），
当x＞1时，﹣（1）＞1，即x+1＞﹣x+3，
当x＝1时，﹣（1）＝1，即x+1＝﹣x+3，
当x＜1时，﹣（1）＜1，即x+1＜﹣x+3．
14．（2024秋 鼓楼区期末）【新定义】
一次函数y＝kx+b与一次函数y＝﹣kx﹣b称为一对和谐函数（其中k，b为常数，k≠0）．例如：y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1就是一对和谐函数．
【特殊化】
请以y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1这对和谐函数为例，完成以下两条结论：
（1）这对和谐函数图象的交点坐标是 　（，0）　 ；
（2）可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是 x轴　 ．
【一般化】
（3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象“成轴对称”的结论依然成立．
【解答】（1）解：由，得，
∴这对和谐函数图象的交点坐标是（，0）；
故答案为：（，0）；
（2）解：可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是x轴，
故答案为：x轴；
（3）证明：由，解得，
∴和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象交于x轴上一点，
∵函数y＝kx+b交y轴于点（0，b），函数y＝﹣kx﹣b交y轴于点（0，﹣b），
∴一般情况下一对和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象“成轴对称”．
15．（2024秋 建邺区期末）一艘游船从A港逆流开往B港，游船在静水中的行驶速度为600m/min．出发2分钟后有一位游客的物品飘落在水面上，游客在游船出发5分钟后发现遗失物品，游船随即掉头寻找，并在找回物品之后掉头继续前往B港．游船距离A港的距离y（m）与行驶时间x（min）的关系如图所示．
（1）水流的速度为 　100　 m/min；
（2）求点A的坐标，并解释它的实际意义；
（3）若游船在出发14min后到达B港，则A港与B港之间的距离为 　3400　 m．
【解答】解：（1）由图可得，
游船逆流速度为：2500÷5＝500（m/min），
∵游船在静水中的行驶速度为600m/min．
∴水流速度为600﹣500＝100（m/min），
故答案为：100；
（2）设点A的横坐标为t，
当游船行驶2分钟时，行驶的路程为500×2＝1000（m），
1000﹣100（t﹣2）＝2500﹣（600+100）（t﹣5），
解得t＝8，
当t＝8时，点A的纵坐标为：1000﹣100（8﹣2）＝400，
即点P的坐标为（8，400），点P的实际意义：当游船行驶8分钟时，追上丢失的物品，此时离A港400m；
（3）由（2）可得，
A港与B港之间的距离为：400+500×（14﹣8）
＝400+500×6
＝400+3000
＝3400（m），
故答案为：3400．
16．（2024秋 玄武区期末）快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象如图①所示．
（1）甲、乙两地之间的距离为 　300　 km，慢车的速度为 　50　 km/h；
（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；
（3）设快、慢车两车之间的距离为s（单位：km），在图②中画出s与x之间的函数图象．（标明必要的数据）
【解答】解：（1）由图①可得，
甲、乙两地之间的距离为300km，慢车的速度为300÷6＝50（km/h），
故答案为：300，50；
（2）由图可得，
快车从甲到乙的速度为300÷3＝100（km/h），
则快车从乙到甲的速度为100125（km/h），
∴快车从乙到甲的时间为：300÷125（h），
∴点A的横坐标为6，
∴点A的坐标为（，300），
设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
∵点A（，300），点B（6，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝﹣125x+750；
（3）当x＝3时，慢车行驶的路程为：50×3＝150（km），
当x时，慢车行驶的路程为50180（km），
图象如图所示．
17．（2024秋 建邺区期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（x，y）（xy≠0）是平面内任意一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M和点N．若四边形PMON的周长为6，则点P叫做“周六点”．例如：如图中的P（2，﹣1）是一个“周六点”．
（1）若D（m，2m+2）为“周六点”，求m的值；
（2）点Q的坐标为（2，2），若点P是“周六点”，则PQ的最小值为A ；
A.
B.1
C.
D.2
（3）若一次函数y＝kx+k﹣4的图象上存在“周六点”，则k的取值范围是k≥1或k＜﹣2　 ．
【解答】解：（1）∵D（m，2m+2）为“周六点”，
∴2（|m|+|2m+2|）＝6，
∴|m|+|2m+2|＝3，
当m＜﹣1时，则﹣m﹣2m﹣2＝3，
解得：m；
当﹣1≤m＜0时，则﹣m+2m+2＝3，
解得：m＝1（舍去）；
当m≥0时，则m+2m+2＝3，
解得：m；
综上所述，m的值为或；
（2）∵点P是“周六点”，
∴|x|+|y|＝3，
当x＜0，y＞0时，y＝x+3，
过点Q（2，2）作直线y＝x+3的垂线，垂足为H，过点O作OK⊥直线y＝x+3于点K，如图，
∵OA＝OB＝3，
∴AB＝3，
∵OK⊥AB，
∴OKAB，
∵点P是直线y＝x+3上的动点，
∴QH是PQ的最小值，
∵Q（2，2），
∴OQ的解析式为y＝x，
∴OQ∥AB，
则QH＝OK，
∴此时PQ的最小值为；
当x＞0，y＞0时，则y＝﹣x+3，如图，过点Q作QH⊥AB于点H，过点Q作QD⊥y轴于D，作QE⊥x轴于E，
则D（0，2），E（2，0），F（1，2），G（2，1），
∴△QFG是等腰直角三角形，QF＝QG＝1，
∴QH，
此时PQ的最小值为；
当x＜0，y＜0时，则y＝﹣x﹣3，如图，
同理可得：PQ的最小值为；
当x＞0，y＜0时，则y＝x﹣3，如图，
同理可得：PQ的最小值为；
综上所述，PQ的最小值为，
故答案为：A．
（3）由（2）知：点P（x，y）（xy≠0）是“周六点”时，
则点P的图象如图所示：
∵直线y＝kx+k﹣4＝k（x+1）﹣4，当x＝﹣1时，y＝﹣4，
∴直线y＝kx+k﹣4始终经过点P（﹣1，﹣4），
当k＞0时，则k﹣4≥﹣3，
∴k≥1；
当k＜0时，则﹣3k+k﹣4＞0，
∴k＜﹣2；
故答案为：k≥1或k＜﹣2．
18．（2024秋 秦淮区期末）甲、乙两地相距skm．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发ah后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地．两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息1h后，提速50%，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象．
（2）a＝ 　0.5　 ．
（3）已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地30km处有一个治安警亭．
①若s＝120，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？
②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是 s≥90　 ．
【解答】解：（1）如图，折线ABCD即为所求．
（2）根据图形可知，快车去乙地时速度为v快，用时（2﹣a）小时，返回速度为1.5v快，用时1小时，
∴（2﹣a） v快＝1×1.5v快，
解得a＝0.5，
故答案为：0.5．
（3）①s＝120时，
∵v慢＝120÷2＝60（km/h），
∴yOB＝60t，
∵返回时，v快＝60×2＝120（km/h），
∴从甲地到乙地时，v快＝12080（km/h），
∴yAB＝80（t）＝80t﹣40，
yBD＝120﹣60（t﹣2）＝﹣60t+240，
yCD＝120﹣120（t﹣3）＝﹣120r+480，
慢车从甲地到乙地时，yOB﹣90＝90﹣yAB，
∴60t﹣90＝90﹣（80t﹣40），
解得t；
慢车、快车同时到达乙地时，t＝2；
慢车从乙地回甲地时，90﹣yBD＝30，
∴90﹣（﹣60t+240）＝30，
解得t＝3；
综上所述，t或2或3．
②根据题意可知v慢（km/h），
∴yOBt，yBDt+2s，
∵返回时，v快s（km/h），
∴从甲地到乙地时，v快＝ss（km/h），
∴yABst，yCD＝﹣st+4s，
令yOB＝s﹣30，即t＝s﹣30，
解得tOB2；
令yAB＝s﹣30，即sts﹣30，
解得tAB2，
令yCD＝s﹣30，即﹣st+4s＝s﹣30，
解得tCD3，
令yBD＝s﹣30，即t+2s＝s﹣30，
解得tBD2，
根据题意可得，
，即，
解得，
∴s≥90，
故答案为：s≥90．
19．（2023秋 建邺区期末）【概念学习】
对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．例如，如图①，点P（1，2）与x轴之间的“关联距离”d（P，x轴）＝2．
【理解概念】
（1）如图②，已知点P（1，2）在边长为3的正方形OABC内，则d（P，正方形OABC）＝　1　 ．
【深入探索】
（2）如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是（0，3），点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d（Q，△ABC）＝1，求点Q的坐标．
【拓展延伸】
（3）已知D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，则k的取值范围是 　k且k≠0　 ．
【解答】解：（1）∵P（1，2）与边长为3的正方形OABC的边上的点的最小距离为1，
∴根据“关联距离”的定义得：d（P，正方形OABC）＝1，
故答案为：1；
（2）当Q在A上方时，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴AQ＝1，
∵A的坐标是（0，3），
∴Q的坐标是（0，4）；
当Q在线段OA上时，过Q作QH⊥AC于H，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴QH＝1，
∵△ABC是等边三角形，OA⊥BC，
∴∠QAH＝30°，
∴AQ＝2QH＝2，
∵A的坐标是（0，3），
∴OQ＝1，
∴Q（0，1）；
当Q在BC下方时，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴OQ＝1，
∴Q（0，﹣1）；
综上所述，Q的坐标为（0，4）或（0，1）或（0，﹣1）；
（3）如图：
当x＝1时，y＝k×1﹣k＝0，
∴直线y＝kx﹣k过定点（1，0），
当m＝﹣5时，D（﹣5，﹣2），E（﹣3，﹣4），
当m＝2时，D'（2，﹣2），E'（4，﹣4），
把D（﹣5，﹣2）代入y＝kx﹣k得：﹣2＝﹣5k﹣k，
解得k，
把E'（4，﹣4）代入y＝kx﹣k得：﹣4＝4k﹣k，
解得k，
∵线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，
∴直线y＝kx﹣k与平行四边形DEE'D'无公共点，
由图可知，此时k且k≠0．
故答案为：k且k≠0．
20．（2023秋 南京期末）已知一次函数y＝kx﹣k+b，函数值y随自变量x的增大而增大，且k＜﹣b，则该函数的大致图象可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣k+b，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴k＞0．
∵k＜﹣b，
∴b＜0．
∴﹣k+b＜0．
∴一次函数y＝kx﹣k+b的图象经过第一、三、四象限．
当y＝0时，kx﹣k+b＝0，此时x＝11．
故选：D．
21．（2024秋 建邺区期末）点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在一次函数y＝x+3的图象上，且x1＜x2＜x3，下列说法中正确的是（　　）
A．若x1x2＜0，则y2y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＜0
C．若x2x3＜0，则y1y2＜0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0
【解答】解：令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝﹣3，
∵k＝1，
∴y随x增大而增大，
∵x1＜x2＜x3，
∴y1＜y2＜y3，
选项A：∵x1x2＜0，
∴x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜3＜y2＜y3，
此时y2y3＞0，
故选项A正确，符合题意；
选项B：若x1x3＜0，
则x2即可大于0也可以小于0，
从图象可知当x1＝﹣3时，y1＝0，
此时y1y2＝0，与选项矛盾，
故选项B错误，不合题意；
选项C：若x2x3＜0，
则x1＜x2＜0＜x3，
∴y1＜y2＜3＜y3，
此时y1和y2符号并不确定，
故选项C错误，不合题意；
选项D：若x2x3＜0，
则x1＜x2＜0＜x3，
∴y1＜y2＜3＜y3，
此时y1和y2符号并不确定，
故选项D错误，不合题意；
故选：A．
22．（2023秋 秦淮区期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：把点P（﹣2，n）代入得，n（﹣2）3，
∴P（﹣2，3），
∵一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3），
∴关于x，y的方程组的解是，
故选：B．
23．（2023秋 建邺区期末）已知一次函数y1＝k1x+b1与一次函数y2＝k2x+b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示：
表1：
x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 …
y1 … ﹣3 ﹣1 0 …
表2：
x … ﹣2 ﹣1 1 …
y2 … 0 ﹣1 ﹣3 …
则关于x的不等式k1（x﹣1）+b1＞k2x+b2的解集是 x＞﹣2　 ．
【解答】解：∵点（﹣4，﹣1）和（﹣3，0）在一次函数y1＝k1x+b1的图象上，
∴，解得，
即一次函数y1＝x+3，
令y3＝k1（x﹣1）+b1＝x﹣1+3＝x+2，
∵点（﹣2，0）和（﹣1，﹣1）在一次函数y2＝k2x+b2的图象上，
∴，解得，
即一次函数y2＝﹣x﹣2，
令x+2＝﹣x﹣2，得x＝﹣2，
∴关于x的不等式k1（x﹣1）+b1＞k2x+b2的解集是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
24．（2024秋 玄武区期末）如图，一次函数y1＝kx﹣m（k、m是常数，且k≠0），y2＝﹣x+n的图象交于点P（3，2），则关于x的不等式（k+1）x＞m+n的解集为 x＞3　 ．
【解答】解：∵一次函数y1＝kx﹣m与y2＝﹣x+n的图象交于点P（3，2），
∴当x＞3时，kx﹣m＞﹣x+n，
∴关于x的不等式（k+1）x＞m+n的解集为x＞3．
故答案为：x＞3．
25．（2024秋 南京期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（3，0），若一次函数y＝kx+2的图象与线段AB有交点，则k的取值范围是 k或k≥2　 ．
【解答】解：把A（﹣1，0）代入y＝kx+2得﹣k+2＝0，
解得k＝2；
把B（3，0）代入y＝kx+2得3k+2＝0，
解得k，
∴当一次函数y＝kx+2与线段AB只有一个交点时，k或k≥2．
即k的取值范围为k或k≥2．
故答案为：k或k≥2．
26．（2024秋 秦淮区期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 0 1 …
y … 2 ﹣2 ﹣4 …
则关于x的方程kx+b＝0的解为 x＝﹣1　 ．
【解答】解：由表格可知，
解得，
∴y＝﹣2x﹣2，
当y＝0，则﹣2x﹣2＝0，
解得x＝﹣1，
∴方程kx+b＝0的解为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
27．（2024秋 鼓楼区校级期末）已知一次函数y1＝kx+1和y2＝x﹣2，当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围是 　﹣2≤k≤1且k≠0　 ．
【解答】解：如图，
当一次函数 y1＝kx+1 和y2＝x﹣2的图象平行时，符合题意，
∴k＝1，
如图，当x＝1，y2＝x﹣2＝1﹣2＝﹣1，
∴A（1，﹣1），
当y1＝kx+1过A（1，﹣1）时，
∴k+1＝﹣1，
解得：k＝﹣2，
∵一次函数 y1＝kx+1，
∴k≠0，
∴当 x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0，
故答案为：﹣2≤k≤1且k≠0．
28．（2024秋 秦淮区期末）如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A，与x轴分别交于点B，C．
（1）求点A的坐标；
（2）结合图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得：，
解得，
所以点A坐标为（1，﹣3）．
（2）根据图象可知，y1≤y2时，x的取值范围是x≥1．
29．（2024秋 南京期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A（﹣6，0），B（0，3）．
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