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方法篇 高考选填题特殊解法的巧用
方法1　特例法　　
第①步　取特例 第②步　检验与排除 第③步　下结论
直接取特殊自变量、特殊点、特殊图形、特殊位置、特殊函数、特殊数列等 特值排除：代入特值，检验是否符合，排除干扰项； 特值检验：对于定性、定量问题，直接通过特值简化题干，速求结论 根据检验结果，直接选出相应的项，或多次验证排除错误选项
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
真|题|示|例
1．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是 (　　)
A．x>y>z B．x>z>y
C．y>x>z D．y>z>x
【多想少算】　令x＝1，则y＝，z＝，得x>y>z；令x＝8，则y＝9，z＝1，得y>x>z；令x＝64，则y＝243，z＝125，得y>z>x.排除A、C、D.答案：B.
2．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝ (　　)
A．－2 B． C．1 D．
【多想少算】　令等差数列的公差d＝0，则S9＝1＝9a1，可得a1＝，则a3＋a7＝2a1＝.答案：D.
3．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝ (　　)
A．－1 B．0 C． D．1
【多想少算】　因为f(x)的定义域为(－∞，－)∪且为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，解得a＝0.答案：B.
新|题|自|测
1．(2025·湖北模拟)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则 (　　)
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
2．(2025·安庆模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且与渐近线平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝3|MF2|，则双曲线C的离心率为 (　　)
A． B． C． D．3
3．(2025·上饶模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(0)＝－1，g(x)＝f(x－1)是奇函数，则f(2 026)＝ (　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．(2025·河北模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l0，过焦点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线交于A，B两点，则＋＝________．
方法2　验证法　　
使用前提 使用技巧 常见问题
各选项可分别作为条件 可以结合特值法、排除法等先否定一些明显错误的选项，再选择直觉认为最有可能的选项进行验证，这样可以快速获得答案 题干信息不全、选项是数值或范围、正面求解或计算烦琐的问题等
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
真|题|示|例
1．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝ (　　)
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
【多想少算】　因为2不满足x3＝x，所以2 (A∩B)，排除A，B，C.答案：D.
2．(2025·全国一卷)若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是 (　　)
A．(0，1) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)
【多想少算】　圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2，当r＝1时，圆上有一个点到直线的距离为1，当r＝3时，圆上有三个点到直线的距离为1，所以要使圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则13．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
【多想少算】　当a＝1时，f(x)＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，可排除C和D选项；当a＝－2时，对于函数f(x)，当x从0的左侧趋近于0时，f(x)→2，而f(0)＝1，所以f(x)在R上不单调，可排除A选项．答案：B.
新|题|自|测
1．(2025·黑龙江模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*).若bn＝log2，则数列{bn}的通项公式bn＝ (　　)
A．n B．n－1 C．n D．2n
2．(2025·安徽模拟)已知函数f(x)＝－1，且f(4x－1)>f(3)，则实数x的取值范围是 (　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
3．(2025·衡阳模拟)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是 (　　)
A．y＝sin (ex＋e－x) B．y＝sin (ex－e－x)
C．y＝cos (ex－e－x) D．y＝cos (ex＋e－x)
4．(2025·衡水模拟)(多选题)将函数y＝cos (x＋)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，则 (　　)
A．f(x)＝sin 是函数f(x)的一个解析式
B．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
C．函数f(x)是周期为π的奇函数
D.函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)
方法3　构造法　　
使用前提 使用技巧 常见问题
所构造的函数、方程、几何图形等要合理，不能超出原题的限制条件 对于不等式、方程、函数问题常采用构造新函数，对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理 比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
真|题|示|例
1．(2024·天津高考)一个五面体ABC DEF如图所示，已知AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为 (　　)
A． B．＋
C． D．－
【多想少算】　采用补形法将五面体ABC DEF补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可．答案：C.
2．(2022·新课标Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则 (　　)
A．aC．c【多想少算】　构造函数f(x)＝ex－(x＋1)，利用导数性质求出ex≥x＋1，由此可得ac，由此能求出结果．答案：C.
3．(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为________.
【多想少算】　令x3－3x＝－(x－1)2＋a，分离参数a，构造新函数g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)，结合导数求得g(x)的单调区间，画出g(x)的大致图象，数形结合即可求解．答案：(－2，1).
新|题|自|测
1．(2025·湖北模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(1)＝，则2f(x)>e的解集为 (　　)
A．(－∞，2) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(2，＋∞)
2．(2025·长春模拟)已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为 (　　)
A．8π B．4π C．2π D．π
3．(2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝ex＋2x，g(x)＝4x，且f(m)＝g(n)，则|n－m|的最小值为________．
4．(2025·福建模拟)设数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3n(n∈N*，n≥2)，则an＝________．
方法4　估算法　　
对于选择题中的有些题目解答无需过程，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
真|题|示|例
1．(2025·全国一卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为 (　　)
A． B．2 C． D．2
【多想少算】　由题意得c>b＝a，故C的离心率e＝>.因为选项A，B，C都小于或等于，所以正确选项为D.答案：D.
2．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝ (　　)
A．45° B．60° C．120° D．135°
【多想少算】　由题意得BC3．(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 (　　)
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
【多想少算】　直径为0.99 m的球体可直接放入棱长1 m的正方体容器，所以A正确；连接题目中正方体的对角线，可得棱长为 m的四面体，所以B正确；正方体内最长的线段为体对角线，长为 m，所以C错误；通过作图计算可得D正确．答案：ABD.
新|题|自|测
1．(2025·安庆模拟)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D ABC体积的最大值为 (　　)
A．12 B．18 C．24 D．54
2．(2025·江西模拟)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为 (　　)
A． B． C． D．
3．(2025·滨州模拟)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝ (　　)
A．2 B．4 C．5 D．10
4．(2025·丹东模拟)已知sin θ＝，cos θ＝，θ∈，则tan ＝ (　　)
A． B．
C． D．5
方法5　关联法　　逻辑推理 快解多选
①析选项·找关联 ②关键项·判正误 ③逻辑推理·下结论
通过分析找到选项之间的关联： 逻辑1：矛盾选项只选其一； 逻辑2：关联选项同正同误 从关联选项中最容易的选项入手，用常规法、特值法、极限法等确定选项正误 根据关联关系，推理判断其他选项(或结合多选题的特征判断，已知2个错误项，剩下2个必然正确)
选项D：多选题在判断选项D的正误时较为困难．这时若在选项 ABC中排除两个错误选项，则另一个选项与选项D均为正确项；若能判断选项 ABC为正确选项，则选项D必错误
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
真|题|示|例
1．(2025·全国二卷)(多选题)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则 (　　)
A．q＝ B．a5＝
C．S5＝8 D．an＋Sn＝8
【多想少算】　选AD.
第①步(关联法发现矛盾选项) 因为a5＋S5≠8，所以选项BC与选项D明显矛盾
第②步(计算关键选项) 由条件得出a1＝4，q＝，则a5＝，S5＝
第③步(逻辑推理下结论) 选项A正确，B，C均不正确，故选AD
2.(2025·全国一卷)(多选题)已知△ABC的面积为，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos A cos B sin C＝，则 (　　)
A．sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝
C．sinA＋sin B＝ D．AC2＋BC2＝3
【多想少算】　选ABC.
第①步(关联法发现矛盾选项) 由余弦的二倍角公式化简得sin C＝sin2A＋sin2B，所以A正确；分类讨论得出A＋B＝，发现选项B和选项D明显矛盾，必有其中一个选项错误
第②步(计算关键选项) 由C＝，则cosA cos B＝，可以取A＝，B＝，得出C正确；由三角形面积公式得出AB＝，B正确
第③步(逻辑推理下结论) A正确，B正确，C正确，所以D必然错误，故选ABC
新|题|自|测
1．(2025·衡水模拟)(多选题)等差数列的前n项和为Sn，a2＋a4＝10，S7＝49，则下列说法正确的有 (　　)
A．a3＝5
B．an＝3n－3
C．Sn＝n2
D．若bn＝(－1)nan，则{bn}的前20项和T20＝20
2．(2025·湖南模拟)(多选题)已知函数f(x)＝cos ，则 ( 　　)
A．f(x)图象的一个对称中心为
B．f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C．f(x)在区间上单调递增
D．若y＝f(x)的图象在区间(0，m)上与直线y＝1有且只有6个交点，则m∈
3．(2025·株洲模拟)(多选题)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB.记三棱锥E ACD，F ABC，F ACE的体积分别为V1，V2，V3，则 (　　)
A．V3＝2V2　 B．V3＝V1
C．V3＝V1＋V2　 D．2V3＝3V1
方法篇　高考选填题特殊解法的巧用
方法1　特例法
1．D　解析　由结论的确定性，可选取特殊数值μ＝1.依题意知a＋λb＝(1，1)＋λ(1，－1)＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝a＋b＝(1，1)＋(1，－1)＝(2，0).因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋b)＝(1＋λ，1－λ)·(2，0)＝2(1＋λ)＝0，解得λ＝－1，此时λ＋μ＝0，λμ＝－1.结合题中的选项可知，应选D.或者，利用常规方法求解．由a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，结合(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.应选D.
2．B　解析　(特值法)根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则直线MF2的倾斜角α的正切值为，则cos α＝，设|MF2|＝1，|MF1|＝3，由双曲线的定义可知|MF1|－|MF2|＝2a＝2，解得a＝1.在△MF1F2中，由余弦定理可知cos α＝＝，故＝，解得c＝(负值舍去)，所以双曲线的离心率e＝＝.
3．C　解析　构造函数f(x)＝－cos ，则f(x)为定义在R上的偶函数，且f(0)＝－1，g(x)＝f(x－1)＝－sin 是奇函数，满足题意，所以f(2 026)＝－cos ＝－cos π＝1，故选C.
4．　解析　令θ＝60°，A在第一象限，则易知|AF|＝8，|BF|＝，所以＋＝＋＝.
方法2　验证法
1．C　解析　因为b1＝log2＝log2(1＋1)＝1，排除A、B、D.
2．D　解析　令x＝0，得f(0)>f(3)，因为f(x)为减函数，排除A、C，又令x＝1，得f(3)>f(3)，显然不成立，排除B.
3．D　解析　由题图可知，当x＝0时，y<0，当x＝0时，y＝sin (ex＋e－x)＝sin 2>0，故排除A；当x＝0时，y＝sin (ex－e－x)＝sin 0＝0，故排除B；当x＝0时，y＝cos (ex－e－x)＝cos 0＝1>0，故排除C；当x＝0时，y＝cos (ex＋e－x)＝cos 2<0，满足题意．
4．BD　解析　f(x)＝cos ＝cos (2x＋＋)＝－sin .f(x)＝－sin ≠sin ，故A错误；f(0)＝－sin ＝－≠0，所以函数f(x)不是奇函数，故C错误.
方法3　构造法
1．B　解析　设F(x)＝f(x)·e，则F′(x)＝f′(x)·e＋ f(x)·e＝e>0，所以函数F(x)在R上单调递增，又f(1)＝，所以F(1)＝f(1)·e＝e.又2f(x)>e等价于f(x)·e>e，即F(x)>F(1)，所以x>1，即所求不等式的解集为(1，＋∞).
2．D　解析　如图所示，构造棱长为的正方体，显然满足题设的一切条件，则球O就是该正方体的外接球，从而体积为π.
3．－ln 2　解析　由f(m)＝g(n)，得em＋2m＝4n，化简整理得4n－4m＝em－2m.令h(m)＝em－2m(m∈R)，则h′(m)＝em－2，令em－2＝0，解得m＝ln 2.当m∈(－∞，ln 2)时，h′(m)＜0，即h(m)在(－∞，ln 2)上单调递减；当m∈(ln 2，＋∞)时，h′(m)＞0，即h(m)在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以h(m)min＝h(ln 2)＝2－2ln 2＞0，所以|n－m|min＝－ln 2.
4．(3n－2)3n　解析　因为an＝an－1＋3n(n∈N*，n≥2)，所以－＝3.又因为a1＝3，所以＝1.所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝(3n－2)3n.
方法4　估算法
1．B　解析　等边三角形ABC的面积为9，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4，8)，所以×9×42．A　解析　如图，可知V3．D　解析　|PA|2＋|PB|2≥>＝8|PC|2，所以>8，结合选项，选D.
4．D　解析　由于受到条件sin2θ＋cos2θ＝1的约束，m一定为一个确定的值，进而可知tan也是一个确定的值，因为θ∈(，π)，所以∈(，)，所以tan >1，所以D正确．
方法5　关联法
1．ACD　解析　
第①步(逻辑分析法发现矛盾选项) 观察选项可知，选项A与选项B矛盾，选项B与选项C矛盾
第②步(计算任一选项) 由题意得，C选项完全符合题干条件，C正确，a3＝S3－S2＝5，T20＝20，AD正确
第③步(逻辑推理下结论) A正确，所以B错误，故选ACD
2.BD　解析　
第①步(用代入法排除A) f＝cos (2×π＋)＝≠0，排除A
第②步(通过计算排除C) 当x∈[，]时，2x＋∈[，3π]，由余弦函数单调性知，f(x)在区间[，]上单调递减，排除C
第③步(逻辑推理下结论) AC错误，多选题至少有两个正确选项，故选BD
3.CD　解析　
第①步(逻辑分析法发现矛盾选项) 选项B和选项C明显矛盾．观察图形可得V1＝2V2，又选项A与选项B是等价的关联选项，选项C与选项D是等价的关联选项， 答案要么选AB，要么选CD
第②步(计算关键选项) 只需判断V1和V3的关系．用图形观察法得到V3≠V1，排除B
第③步(逻辑推理下结论) A错误，B错误，故选CD(共70张PPT)
方法篇
赢在微点 数学 大二轮
高考选填题特殊解法的巧用
方法1　特例法
第①步　取特例 第②步　检验与排除 第③步　下结论
直接取特殊自变量、特殊点、特殊图形、特殊位置、特殊函数、特殊数列等 特值排除：代入特值，检验是否符合，排除干扰项； 特值检验：对于定性、定量问题，直接通过特值简化题干，速求结论 根据检验结果，直接选出相应的项，或多次验证排除错误选项
真题示例
多想少算
多想少算
多想少算
新题自测
解析
解析
解析
解析
方法2　验证法　　
使用前提 使用技巧 常见问题
各选项可分别作为条件 可以结合特值法、排除法等先否定一些明显错误的选项，再选择直觉认为最有可能的选项进行验证，这样可以快速获得答案 题干信息不全、选项是数值或范围、正面求解或计算烦琐的问题等
真题示例
多想少算
多想少算
多想少算
新题自测
解析
解析
解析
解析
方法3　构造法
使用前提 使用技巧 常见问题
所构造的函数、方程、几何图形等要合理，不能超出原题的限制条件 对于不等式、方程、函数问题常采用构造新函数，对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理 比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等
真题示例
多想少算
多想少算
多想少算
新题自测
解析
解析
解析
解析
方法4　估算法
对于选择题中的有些题目解答无需过程，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．
真题示例
多想少算
多想少算
多想少算
新题自测
解析
解析
解析
解析
方法5　关联法　　逻辑推理 快解多选
①析选项·找关联 ②关键项·判正误 ③逻辑推理·下结论
通过分析找到选项之间的关联： 逻辑1：矛盾选项只选其一； 逻辑2：关联选项同正同误 从关联选项中最容易的选项入手，用常规法、特值法、极限法等确定选项正误 根据关联关系，推理判断其他选项(或结合多选题的特征判断，已知2个错误项，剩下2个必然正确)
选项D：多选题在判断选项D的正误时较为困难．这时若在选项 ABC中排除两个错误选项，则另一个选项与选项D均为正确项；若能判断选项 ABC为正确选项，则选项D必错误 真题示例
多想少算
第①步(关联法发现矛盾选项) 因为a5＋S5≠8，所以选项BC与选项D明显矛盾
第②步(计算关键选项) 由条件得出a1＝4，q＝，则a5＝，S5＝
第③步(逻辑推理下结论) 选项A正确，B，C均不正确，故选AD
多想少算
第①步(关联法发现矛盾选项)
第②步(计算关键选项)
第③步(逻辑推理下结论) A正确，B正确，C正确，所以D必然错误，故选ABC
新题自测
解析
第①步(逻辑分析法发现矛盾选项) 观察选项可知，选项A与选项B矛盾，选项B与选项C矛盾
第②步(计算任一选项) 由题意得，C选项完全符合题干条件，C正确，a3＝S3－S2＝5，T20＝20，AD正确
第③步(逻辑推理下结论) A正确，所以B错误，故选ACD
解析
第①步(用代入法排除A)
第②步(通过计算排除C)
第③步(逻辑推理下结论) AC错误，多选题至少有两个正确选项，故选BD
解析
第①步(逻辑分析法发现矛盾选项) 选项B和选项C明显矛盾．观察图形可得V1＝2V2，又选项A与选项B是等价的关联选项，选项C与选项D是等价的关联选项， 答案要么选AB，要么选CD
第②步(计算关键选项) 只需判断V1和V3的关系．用图形观察法得到V3≠V1，排除B
第③步(逻辑推理下结论) A错误，B错误，故选CD

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