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(共22张PPT)
高中数学必修第一册（人教A版2019）
2025
5.1.1 任意角
新课引入
圆周运动是一种常见的周期性变化现象
回顾旧知：初中我们是如何定义角的？角的范围是多少？
新课引入
o
A
B
0°~360°
角的范围
角的定义（初中）
问题1：运动员转体“720度”，摩天轮旋转、齿轮转动不止一周，这些角度还能用初中的角来描述吗？为什么？
探究一
追问1：要准确描述这些现象，你认为角的概念需要做怎样的拓展？
问题2：如何从“旋转”的角度重新定义角？
追问2：旋转方向如何区分？能否给方向“赋值”？
探究一
①在不引起混淆的情况下，“角 ”或“∠ ”可以简写成“ ”;
②角的表示：A，B，C，…或α，β，θ，… ;
③角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺” ( 与﹣ 互为相反角) ;
④角的加法：规定，把角α的终边旋转角β，此时终边对应的角是α+β.
⑤角的减法：α－β=α+(﹣β )
正角：
负角：
一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.
一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.
零角：
一条射线没作任何旋转.
(零角的始边与终边重合)
任意角
角（高中）：已知一条射线的起始位置OA：
概念1
角 (初中)：有公共端点的两条射线构成的几何图形.
始边
终边
终边
概念深化
练习：判断对错：经过1小时，时针转过的角是30°.
变式：请在坐标系中作出750°，210°，-150°的角.
探究二
问题3：为了研究方便，我们将角放在直角坐标系中，如何统一放置？
顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合
追问3：终边落在不同位置的角，如何分类？
概念2
轴线角
我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角例如，下图中的40°角、-130°角分别是第一象限角和第三象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。
概念深化
问题4：锐角是第一象限角吗？第一象限角一定是锐角吗？请举例说明。
追问4：小于90°的角就是锐角吗？（引出零角和负角的反例）
探究三
问题5：在坐标系中作出 -32°，328°，-392° 这三个角，观察它们的终边位置。你发现了什么规律？
追问5：
（1）与 -32° 角终边相同的角有多少个？它们之间有什么数量关系？
（2）如何用数学符号语言表示所有与角α终边相同的角？
（相差360°的整数倍）
（集合表示法：S = { β | β = α + k·360°, k ∈ Z }）
（3）思考集合中 k的几何意义（旋转的圈数）和 k ∈ Z的含义？
概念3
选择之间的角作为基础角
问题6：在表示终边相同的角的时候，需要选定基础角，如何选择基础角，使得终边相同的角表示清晰、简洁呢？
基础角
象限角的集合表示：
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
概念深化
例题精讲
例1：在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定是第几象限角。
(1)
(2)
-950°12′ + 3 360° = -950°12′ + 1080° = 129°48′
90° < 129°48′ < 180° 故为第二象限角
640° - 360° = 280°
270° < 280° < 360° 故为第四象限角
例题精讲
例2：写出终边在y轴上的角的集合。
分析：分终边在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论，然后寻找规律合并：
轴线角的集合表示：
象限角 角的集合表示
终边在x非负半轴 α = 0° + k 360° k 为整数
终边在x非正半轴 α = 180° + k 360° k 为整数
终边在y非负半轴 α = 90° + k 360° k 为整数
终边在y非正半轴 α = 270° + k 360° k 为整数
概念深化
变式训练
变式1：写出终边在直线y=x上的角的集合S，S中满足不等式 的元素β有哪些？
写集合 S
直线 y=x 的角的集合 S 为
β = 45° + k 180° k 为整数
步骤 2 找 - 360°≤β<720° 的元素
令 k=-2 -1 0 1 2 3
计算得
k=-2 时 45° - 360° = -315°
k=-1 时 45° - 180° = -135°
k=0 时 45°
k=1 时 45° + 180° = 225°
k=2 时 45° + 360° = 405°
k=3 时 45° + 540° = 585°
最终元素 -315° -135° 45° 225° 405° 585°
课堂小结
1.知识内容：本节课我们学习了哪些核心概念？
（任意角、象限角、终边相同的角）
2.思想方法：我们是如何将角的概念进行推广的？
（从静态到动态，从“形”到“数”的结合，运用了类比、化归等数学思想）
3.知识联系：任意角的定义为后续学习三角函数做了怎样的铺垫？
（使得我们可以定义任意角的三角函数）
课后作业
必做题：
①课本第171页练习第3、4、5题.
②预习课本172页—175页 5.1.2弧度制的内容
选做题：
若角α是第二象限角，那么α/2是第几象限角？
写出终边在坐标轴上的角的集合。
下 课
Thanks!
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