资源简介

(共31张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　 基础复习
第二章　 方程与不等式
第7讲　一元二次方程及其应用
(1)定义：等号两边都是　　　，只含有　　个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是　　(二次)的方程，叫作一元二次方程.
(2)一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数.
　 (教材母题改编)将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式是　　　　 ，其中二次项系数是　　，一次项系数是　　，常数项是　　　.
1
知识点1　一元二次方程
整式
一
2
3x2－8x－10＝0
3
－8
－10
知识点2　一元二次方程的解法
解法 基本思路：降次. 直接开 平方法 形如x2＝p(p≥0)或(ax＋b)2＝c(a≠0，c≥0)的方程，可直接开平方求解.
配方法 二次项系数化为1后，一次项系数为偶数且各项系数比较小便于配方，配方成(x＋h)2＝k(k≥0)的形式，则x＝　　 　　.
±－h
解法 因式 分解法 方程一边为0，另一边可以分解为两个一次因式的乘积，即化为(x－a)(x－b)＝0的形式，则x1＝　　，x2＝　　.
公式法 适用于所有一元二次方程，化为一般形式ax2＋bx＋c＝
0(a≠0，b2－4ac≥0)，则x＝　　　　　　　(求根公式).
a
b
　解下列方程：
(1)x2－4x＝0；　　　 　　　　　　　 (2)x2－4x＋1＝0.

2
解：因式分解，得x(x－4)＝0.
∴x＝0或x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝4.
解：配方，得x2－4x＋4＝3，
∴(x－2)2＝3.
∴x－2＝±.
∴x1＝2＋，x2＝2－.
知识点3　一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，记作Δ＝b2－4ac.
(1)Δ＞0 一元二次方程有　　　　　　的实数根；
(2)Δ＝0 一元二次方程有　　　　　的实数根；
(3)Δ＜0 一元二次方程　　　实数根；
(4)Δ≥0 一元二次方程　　实数根.
两个不相等
两个相等
没有
有
　 给出下列方程：①x2＋1＝2x；②x2＋1＝0；③x2－2x＝3；④x2－2x＝0.
其中有两个不相等的实数根的是　　　；有两个相等的实数根的是　　；有实数根的是　　　 　；没有实数根的是　　.(填序号)
3
③④
①
①③④
②
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，则x1＋x2＝
　　　，x1x2＝　　.
　 (1)若x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两个根，则x1＋x2＝　　，
x1x2＝　 .
(2)已知方程3x2－kx＋6＝0的一个根为2，则另一个根为　　，k的值
为　　.
4
知识点4　一元二次方程根与系数的关系
－
　
2
1
9
知识点5　一元二次方程的实际应用
类型 数量间的相等关系
增长率 问题 设a为起始量，x为平均增长(降低)率，b为连续增长(降低)两次后的量，则a(1＋x)2＝b或a(1－x)2＝b.
销售问题 总利润＝总收入－总支出＝(售价－成本)×销售量.
面积问题 将“小路”向边沿平移，研究新矩形的边长得出面积.
循环问题 ①单循环问题(握手)：参加人数为x，握手次数＝x(x－1)；
②双循环问题(互赠礼物)：参加人数为x，送礼次数＝x(x－1).
　 (2024·西藏)某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同.求该商场投入资金的月平均增长率.




5
解：设该商场投入资金的月平均增长率为x.
由题意，得20×(1＋x)2＝24.2.
解方程，得x1＝0.1＝10％，x2＝－2.1(不符合题意，舍去).
答：该商场投入资金的月平均增长率为10％.
一元二次方程及其解法
(2025·湖北模拟)用配方法解一元二次方程x2－2x－2 025＝0时，化
为(x＋a)2＝b的形式可得到(　　)
A.(x－1)2＝2 024 B.(x＋1)2＝2 026
C.(x－1)2＝2 026 D.(x－1)2＝2 025
1
C
(2025·青海)若x＝1是一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值
为　　.
2
3
(2025·深圳三模)解方程：2x2＋x－2＝0.
3
解：a＝2，b＝1，c＝－2.
Δ＝12－4×2×(－2)＝17＞0.
∴x＝.
∴x1＝，x2＝.
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
(2025·内江)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤2 B.a＜2
C.a≤2且a≠1 D.a＜2且a≠1
4
C
(2025·南充)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两个根.
(1)当x1＝－1时，求x2及m的值.
5
解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2，
得m2＝6，∴m＝± .
∴(x－1)(x－2)＝6，即x2－3x－4＝0.
解方程，得x1＝－1，x2＝4.
∴x2＝4，m＝±.
(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.
证明：方程(x－1)(x－2)＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0.
∵Δ＝4m2＋1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2.
∵(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－3＋1＝－m2，
其中－m2≤0，
∴(x1－1)(x2－1)≤0.
一元二次方程的实际应用
某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，可列方程为_______________
________.
6
1＋x＋x(1＋x)
＝121
(2024·淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
7
解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x.
根据题意，得32(1＋x)2＝50.
解得x1＝0.25＝25％，x2＝－2.25(不符合题意，舍去).
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25％.
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元，但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.
解：设购买的这种健身器材的套数为m套.
根据题意，得m＝240 000.
解得m1＝200，m2＝300.
又∵1 600－×40≥1 000，∴m≤250，即m＝200.
答：购买的这种健身器材的套数为200套.
(2025·广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年五月产值达到2 500万元，预计七月产值将增至9 100万元.设该公司六、七两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　)
A.2 500(1＋x)2＝9 100 B.2 500(1－x)2＝9 100
C.2 500(1－2x)2＝9 100 D.2 500(1＋2x)2＝9 100
1
A
(2025·广东)不解方程，判断一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况
是　　　　　 　　.
2
(2024·广州)定义新运算：a b＝例如：－2 4＝
(－2)2－4＝0，2 3＝－2＋3＝1.若x 1＝－，则x的值为　　　　.
3
有两个不相等的实数根
－或
(2024·广州)关于x的方程x2－2x＋4－m＝0有两个不等的实数根.
(1)求m的取值范围；
4
解：根据题意，得
Δ＝(－2)2－4(4－m)＞0，
解得m＞3.
(2)化简：÷·.
解：∵m＞3，∴m－3＞0.
∴÷·
＝··
＝－2.
(2025·潍坊)若一元二次方程x2－2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为(　　)
A.－1 B.0
C. D.1
1
D
(2025·乐山)若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x2＋x1的值
为(　　)
A.－1 B.1
C.－2 D.2
2
C
(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个等腰三角形的周长为(　　)
A.17或13 B.13或21
C.17 D.13
3
C
(2025·凉山州改编)某钢铁厂一月份生产钢铁560 t，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860 t，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是　　　　 　　.
4
(2025·宿迁)方程x2－2 024x－2 025＝0的两个根分别是m，n，则(m2－
2 023m－2 026)(n2－2 023n－2 026)＝　　　　.
5
560＋560(1＋x)＋560(1＋x)2＝1 860
－4 048
(2025·威海)如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
6
解：设小路的宽度为x m.
由题意，得(20－4x)(14－4x)＝24×9.
整理，得2x2－17x＋8＝0.
解得x＝或x＝8(不符合题意，舍去).
答：小路的宽度为 m.
李叔叔想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个如图所示的矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
7
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
解：设矩形ABCD的边AB＝x m，则边
BC＝70－2x＋2＝(72－2x) m.
根据题意，得x(72－2x)＝640.
化简，得x2－36x＋320＝0.
解得x1＝16，x2＝20.
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈.
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？若能，请你给出设计方案；若不能，请说明理由.
解：不能，理由如下：
由题意，得x(72－2x)＝650.
化简，得x2－36x＋325＝0.
∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到650 m2.
(2025·宿迁三模)已知x，y满足3x＋y＝1(x＞0，y＞0)，则x＋的最小值为　　.
8(共37张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　 基础复习
第二章　 方程与不等式
第8讲　不等式与不等式组
知识点1　不等式及其基本性质
(1)定义：用　　　　连接的式子叫作不等式.常用的不等号有“＜”
“＞”“≤”“≥”“≠”.
(2)不等式的基本性质：
性质1：若a＞b，则a±c　　b±c.
性质2：若a＞b，c＞0，则ac　　bc(或　　).
性质3：若a＞b，c＜0，则ac　　bc(或　　).
不等号
＞
＞
＞
＜
＜
下列结论正确的是(　　)
A.若x＞3，则x－5＞8 B.若－3x≥6，则x≥2
C.若－x＜3，则x＞－3 D.若x＞3，则3x＜6
1
C
知识点2　解一元一次不等式
(1)定义：只含有　　个未知数，且含有未知数的式子都是　　　，未知数的次数是　　的不等式，叫作一元一次不等式.
(2)解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.
一
整式
1
(1)下列式子中是一元一次不等式的是(　　)
A.4x＋5＞0　　 B.x＋2≥x＋1　　
C.x＝3　　　 D.x2＋x＜0
2
A
(2)解不等式：－2≥，并在数轴上表示解集.




解：去分母，得2(5x＋1)－24≥3(x－5).
去括号，得10x＋2－24≥3x－15.
移项，得10x－3x≥－15－2＋24.
合并同类项，得7x≥7.
系数化为1，得x≥1.
将解集表示在数轴上如图所示.
知识点3　解一元一次不等式组
(1)解一元一次不等式组：先求出各个不等式的解集，再确定其公共部分，公共部分即为原不等式组的解集.
(2)借助数轴，熟练掌握以下四种基本不等式组的解集.

x≥b
x≤a
不等式组(a＜b) 解集 在数轴上表示 口诀
　　 　.　 同大取大
　　 　　.　　　 同小取小
a≤x≤b
无解
不等式组(a＜b) 解集 在数轴上表示 口诀
　　 　　.　　　　 大小小大中间找
. 　 　　　.　　　 大大小小取不了
(2024·西藏)解不等式组：并把解集在数轴上表示出来.




3
解：解不等式3x－2＞1，得x＞1.
解不等式＞x－2，得x＜5.
将解集表示在数轴上如图所示.
所以原不等式组的解集为1＜x＜5.
知识点4　列一元一次不等式(组)解应用题
(1)基本步骤：①审题；②设未知数；③列不等式；④解不等式；⑤检验并作答.
(2)表示不等式关系的关键词及其对应符号：①“大于”“多于”“高
于”“超过”用符号　　；②“小于”“少于”“低于”“不足”用符号　　；③“不小于”“不少于”“不低于”“至少”用符号　　　；④“不大于”“不多于”“不高于”“不超过”“最多”用符号　　　.
＞
＜
≥
≤
　 小华准备用20元买牛奶和面包，已知一盒牛奶3元，一个面包5元，他买了3盒牛奶，最多还能买多少个面包？
4
解：设他还能买x个面包.
根据题意，得3×3＋5x≤20，
解得x≤2.2.
答：他最多还能买2个面包.
不等式的性质
(2025·济南)已知a＞b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.a－1＜b－1 B.＜
C.－a＞－b D.2a＞a＋b
1
D
(2024·长春)不等关系在生活中广泛存在.如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是(　　)
A.若a＞b，则a＋c＞b＋c
B.若a＞b，b＞c，则a＞c
C.若a＞b，c＞0，则ac＞bc
D.若a＞b，c＞0，则＞
2
A
解一元一次不等式
(2025·吉林)不等式x－3＞2的解集为(　　)
A.x＞5 B.x＜5
C.x＞－1 D.x＜－1
3
A
　(2024·青海)请你写出一个解集为x＞的一元一次不等式　　　 .
　　 　　.
4
2x＞2
(答案不唯一)
解一元一次不等式组
(2025·长春)下列不等式组无解的是(　　)
A. B.
C. D.
5
B
解：由不等式①，得　　　　.
由不等式②，得　　　.
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为　　 　　.
(2025·深圳)解一元一次不等式组并在数轴上表示.
6
x≥－1
x＜4
－1≤x＜4
(2024·凉山州)求不等式组－3＜4x－7≤9的整数解.
7
解：根据题意，得
解不等式①，得x＞1.
解不等式②，得x≤4.
∴原不等式组的解集是1＜x≤4.
∴不等式组－3＜4x－7≤9的整数解是2，3，4.
一元一次不等式(组)的应用
(2024·山西)为加强校园消防安全，某学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元，干粉灭火器的单价为380元.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
8
解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购
买干粉灭火器(50－x)个.
根据题意，得540x＋380(50－x)≤21 000，
解得x≤12.5.
∵x为整数，∴x可取最大值为12.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
(2025·遂宁)为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
材料二：据统计该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15 300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的.
9
请根据以上材料，解决下列问题：
(1)求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价.
解：设A型号的新型垃圾桶的单价为x元，B型号的新型垃圾桶的单价为y元.
由题意，得解得
答：A型号的新型垃圾桶的单价为60元，B型号的新型垃圾桶的单价为100元.
(2)有哪几种购买方案？
解：设购买A型号的新型垃圾桶a个，则购买B型号的新型垃圾桶个.
由题意，得
解得117.5≤a≤120.
∵a为整数，∴a＝118或119或120.
答：有三种购买方案：
①购买A型号的新型垃圾桶118个，购买B型号的新型垃圾桶82个；
②购买A型号的新型垃圾桶119个，购买B型号的新型垃圾桶81个；
③购买A型号的新型垃圾桶120个，购买B型号的新型垃圾桶80个.
(3)哪种方案更省钱？最低购买费用是多少元？
解：∵A型号的新型垃圾桶价格更低，
∴购买A型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，即购买A型号的新型垃圾桶120个，购买B型号的新型垃圾桶80个更省钱.
∴最低购买费用为60×120＋100×80＝15 200(元).
答：购买A型号的新型垃圾桶120个，购买B型号的新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15 200元.
(2024·广州)若a＜b，则(　　)
A.a＋3＞b＋3 B.a－2＞b－2
C.－a＜－b D.2a＜2b
1
D
(2024·广东)关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　　　.
2
x≥3
(2025·广州)解不等式组并在数轴上表示解集.
3
解：
由①，得x≥.
由②，得x＜4.
将解集表示在数轴上如图所示.
则原不等式组的解集为≤x＜4.
(2025·深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球的单价为30元，篮球、足球的价格信息如下：
4
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
解：设每个篮球x元，每个足球y元.
根据题意，得
或或
(三个方程组任选一个即可)
解得
答：每个篮球60元，每个足球50元.
(2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少？最少费用是多少？
解：设篮球有m个，则足球有个.
2m≥10－m，解得m≥.
设购买的总费用是w元.
w＝60m＋50＝10m＋500，
∵10＞0，∴ w随着m的减小而减小. ∵m≥，且m为整数，
∴当m最小值为4时， w最小值为540元.
答：当购买4个篮球的时候，所花费用最少，最少费用是540元.
(2025·福建)不等式x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是(　　)
1
C
(2025·常州)若＞，则x－y　　　0.(填“＞”“＜”或“＝”)
2
＞
A
B
C
D
(2025·东营模拟)若关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋＝0无实数根，
则k的取值范围是　　　　.
3
(2025·内江)对于x，y定义了一种新运算G，规定G(x，y)＝x＋3y.若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　　　　 　　.
4
k≤－1
－17≤P＜－7
若平面直角坐标系中点P(x，y)的横、纵坐标满足关于x，y的方程，则
称P为该方程的相关点.如A(3，1)是方程x＋2y＝5的相关点.
(1)已知B(4，2)是方程2x＋ay＝16的相关点，则a＝　　；
5
4
(2)已知点P(x，y)在第一象限，P是方程x＋y＝8的相关点，且＝x－2，求y的取值范围；
解：∵＝x－2，∴x－2≥0，解得x≥2.
∵点P(x，y)在第一象限，P是方程x＋y＝8的相关点，
∴x＝8－y，且y＞0.
∴
解得0＜y≤6.
(3)已知点Q(m，n)在第二象限，Q是方程2x＋y＝－5的相关点，将点Q向下平移3个单位长度后得到点Q'，Q'是方程x＋2y＝－4的相关点，求点Q'的坐标.
解：∵点Q(m，n)在第二象限，∴m＜0，n＞0.
∵Q是方程2x＋y＝－5的相关点，∴2m＋n＝－5.　①
∵将Q点向下平移3个单位长度后得到点Q’，∴Q'(m，n－3).
∵Q'是方程的x＋2y＝－4相关点，
∴m＋2(n－3)＝－4.　②
联立①②，得解得
∴Q'(－4，0).
(2024·深圳)
6
背景 【缤纷618，优惠送大家】
今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”.深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码.如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车.

素材 某商场的购物车叠放在一起的示意图如图所示，若一辆购物车车身长1 m，每增加一辆购物车，车身增加0.2 m.
问题 解决 (1)若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的解析式.
解：根据题意，得
L＝0.2(n－1)＋1＝0.2n＋0.8.
∴车身总长L与购物车辆数n的解析式为
L＝0.2n＋0.8.
问题 解决 (2)若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6 m，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车.
解：根据题意，得0.2n＋0.8≤2.6，
解得n≤9.
∴n的最大值为9.
∴2×9＝18(辆).
答：直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车.
问题 解决 (3)该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且共使用电梯5次，求共有多少种运输方案.
解：设用扶手电梯运输a次，直立电梯运输(5－a)次.
根据题意，得24a＋18(5－a)≥100.
解得a≥.
∵a为整数，且a≤5，
∴a＝2或3或4或5.
∴共有4种运输方案.(共22张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　 基础复习
第二章　 方程与不等式
第5讲　一次方程(组)的解法及其应用
(1)性质1：如果a＝b，那么a±c＝　　　　.
(2)性质2：①如果a＝b，那么ac＝　　；
②如果a＝b，c≠0，那么＝　　.
已知a＝b，则下列变形错误的是(　　)
A.2＋a＝2＋b B.a－b＝0
C.－2a＝－2b D.＝
1
知识点1　等式的基本性质
b±c
bc
D
知识点2　一元一次方程
(1)方程的解：使方程左、右两边的值　　的未知数的值，叫作方程的解.
(2)一元一次方程：只含有　 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，
未知数的次数都是 　，这样的方程叫作一元一次方程.一般形式是ax＋b＝0(a，b为常数，且a≠0).
(3)解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
相等
一
整式
1
　 (1)已知(a－1)＋2 026＝0是关于x的一元一次方程，则a＝　　　.
(2)解方程：
①4－2x＝x＋1；　　　　　　　　　②(2024·滨州)＝.



2
－1
解：移项，得－2x－x＝1－4.
合并同类项，得－3x＝－3.
系数化为1，得x＝1.
解：去分母，得2(2x－1)＝3(x＋1).
去括号，得4x－2＝3x＋3.
移项，得4x－3x＝3＋2.
合并同类项，得x＝5.
知识点3　二元一次方程(组)
(1)二元一次方程：含有　 个未知数，且含有未知数的式子都是　 　 ，含有未知数的项的次数都是　　的方程叫作二元一次方程.
一般形式是ax＋by＝c(a，b，c是常数，a≠0，b≠0).
(2)二元一次方程组的解法：
①代入消元法：当方程组中某个方程中的未知数的系数是1或－1时，选用此方法较为简单；
②加减消元法：当方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，选用此方法较为简单.
两
整式
1
　 解方程组：
(1)　　　　　　　　　　　(2)(2024·乐山)


3
解：把①代入②，得x＋x－4＝6.
解得x＝5.
把x＝5代入①，得y＝1.
∴原方程组的解是
解：①＋②，得3x＝9.
解得x＝3.
把x＝3代入①，得y＝1.
∴原方程组的解是
列方程解应用题的一般步骤：①审清题意；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦作答.
(2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
4
知识点4　一次方程(组)的应用
解：设白色琴键x个，黑色琴键y个.
根据题意，得解得
答：白色琴键52个，黑色琴键36个.
一元一次方程及其应用
(2025·遂宁)已知x＝2是方程3a－2x＝2的解，则a＝　　.
1
(2025·德阳)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别为600 N和1 m，当动力为1 200 N时，动力臂是　　m.
2
2
(2025·东莞模拟)全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增.某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条.当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元.完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条？
3
解：设A制程生产线有x条，则B制程生产线有(40－x)条.
根据题意，得4x＋3(40－x)＝145.
解得x＝25.
∴40－x＝15.
答：A制程生产线有25条，B制程生产线有15条.
二元一次方程组及其应用
(2023·眉山)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
4
B
(2025·韶关三模)“北风起，腊鸭香”，南雄板鸭已有千年历史，是广东人的年味密码.小美和小丽去某特产店购买了甲、乙两种不同包装的南雄板鸭产品，小美购买了4袋甲产品和2袋乙产品，共花费568元；小丽购买了3袋甲产品和6袋乙产品，共花费822元.这家特产店甲、乙两种南雄板鸭产品的零售价分别是多少？
5
解：设甲产品的零售价为x元/袋，乙产品的零售价为y元/袋.
根据题意，得　解得
答：甲产品的零售价为98元/袋，乙产品的零售价为88元/袋.
(2024·广州)某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为(　　)
A.1.2x＋1 100＝35 060 B.1.2x－1 100＝35 060
C.1.2(x＋1 100)＝35 060 D.x－1 100＝35 060×1.2
1
A
(2024·深圳)在明朝程大位所著的《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为(　　)
A.B.C.D.
2
A
(2025·深圳)若关于x的方程x＋a＝5的解为x＝1，则a＝　　.
3
4
(2025·宜宾)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛，2只羊，共值金10两；2头牛，5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为(　　)
A. B.
C. D.
1
A
(2025·吉林)《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行.问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为　　　　　　　　 .
2
3(x－2)＝2x＋9
(2025·中山模拟)已知方程组的解是关于x，y的方程x－ay＝5的一个解，求a的值.
3
解：
由②，得x＝y－1.③
把③代入①，得
3(y－1)＋2y＝7.解得y＝2.
把y＝2代入③，得x＝1.
∴原方程组的解是
代入方程x－ay＝5，得
1－2a＝5，解得a＝－2.
(2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，某学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有(　　)
A.3种 B.4种
C.5种 D.6种
4
B
对有理数a，b，规定一种新运算※，意义是a※b＝ab＋a＋b，则方程(x－1)※3＝7的解是 　　　.
6
x＝2
关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＞2，写出a的一个整数值　　 　　.
5
7(答案不唯一)
(2024·北京)为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50 mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92 mg/km，经过一次技术改进后，该汽车的A类物质排放量降低了50％，B类物质排放量降低了75％，A，B两类物质排放量之和为
40 mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
7
解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.理由如下：
设技术改进前该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则该汽车的B类物质排放量为(92－x)mg/km.
根据题意，得(1－50％)x＋(1－75％)·(92－x)＝40，解得x＝68.
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量为
(1－50％)×68＝34(mg/km).
∵34＜35，
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.
(2025·肇庆一模)2025年是农历乙巳蛇年，某画室计划购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件装饰画室.已知购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元.
(1)求每个蛇宝宝毛绒玩具和每个蛇形挂件的价格；
8
解：设每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是m元，每个蛇形挂件的价格是n元.
根据题意，得　解得
答：每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元.
(2)该画室用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件若干个，分别求购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件的数量.
解：设购买a个蛇宝宝毛绒玩具，b个蛇形挂件.
根据题意，得60a＋16b＝320，
∴a＝＝5＋.
∵a，b是正整数，
∴
答：购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件.(共24张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　 基础复习
第二章　 方程与不等式
第6讲　分式方程及其应用
知识点1　分式方程
定义 分母中含有　　　　的方程叫作分式方程. 步骤 去分母 方程两边乘同一个含未知数的式子(最简公分母)，将分式方程化为整式方程.
解方程 解这个整式方程，得整式方程的解.
检验 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，原分式方程无解.
未知数
　 (1)下列方程：①＝2；②－1＝；③－＝8；④＋＝1.
其中分式方程有　 个.
1
3
(2)解方程：
①(2024·包头)－2＝；　　　 ②＋2＝.

1
解：方程两边乘(x－4)，
得x－2－2(x－4)＝x.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－4≠0.
∴原分式方程的解为x＝3.
解：方程两边乘(x－4)，
得－3＋2(x－4)＝1－x.
解得x＝4.
检验：当x＝4时，x－4＝0，
因此x＝4不是原分式方程的解.
∴原分式方程无解.
知识点2　分式方程的实际应用
(1)解分式方程应用题的一般步骤：
①审：审清题意；②找：找等量关系；③设：设未知数；④列：列分式方程；⑤解：解分式方程；⑥验：验所求值是不是分式方程的解，及是否符合实际情况；⑦答：按要求作答.
(2)分式方程应用题常见类型：
①行程问题：路程＝时间×速度；
②工程问题：工作总量＝工作时间×工作效率；
③销售问题：总价＝单价×数量.
　 (2025·自贡)去年暑假，小亮与小凯主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小亮平均每小时比小凯多掰2筐，请问小凯平均每小时掰玉米多少筐？




2
解：设小凯平均每小时掰玉米x筐，则小亮平均每小时掰玉米(x＋2)筐.
根据题意，得＝.
方程两边乘x(x＋2)，得36x＝30(x＋2).
解得x＝10.
经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意.
答：小凯平均每小时掰玉米10筐.
分式方程的解法
(2025·黑龙江)已知关于x的分式方程－＝3的解为负数，则k的
值为(　　)
A.k＜－4 B.k＞－4
C.k＜－4且k≠－ D.k＞－4且k≠－
1
A
(2025·浙江)解分式方程：－＝0.
2
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
3(x－1)－(x＋1)＝0.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝2.
分式方程的实际应用
(2024·甘南州)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天.已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间.设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是(　　)
A.＝× B.＝×
C.＝× D.＝×
3
A
(2024·泰安)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两组共35名工人，甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍.求甲、乙两组各有多少名工人.
4
解：设甲组有x名工人，则乙组有(35－x)名工人.
根据题意，得＝×1.2.
方程两边乘x(35－x)，得
2 700x＝3 000(35－x)×1.2.
解得x＝20.
经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意.
∴35－x＝35－20＝15.
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.
(2024·广东)方程＝的解是(　　)
A.x＝－3 B.x＝－9
C.x＝3 D.x＝9
1
D
(2025·广东)在解分式方程＝－2时，小梦的解法如下：
小梦的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小梦的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.
2
第一步：·(x－2)＝－·(x－2)－2. 第二步：1－x＝－1－2. 第三步：－x＝－1－2－1. 第四步：x＝4.
第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x＝4.
解：第一步是去分母，去分母的依据：
等式两边乘同一个数(或式子)，等式仍然成立.
小梦的解答过程不正确.
正确解答如下：
方程两边乘(x－2)，得1－x＝－1－2(x－2).
去括号，得1－x＝－1－2x＋4.
移项，得－x＋2x＝－1＋4－1.
合并同类项，得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，
∴原分式方程无解.
(2025·广州)智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘.
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30％.求用智能机器人采摘的成本是多少元；(用含a的代数式表示)
3
解：由题易知，用智能机器人采摘的成本是
(1－30％)a＝0.7a(元).
(2)若要采摘4 000 kg该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍.求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.
解：设一个工人每天采摘该种水果x kg，则智能采摘机器人每天采摘该种水果5x kg.
依题意，得＝－1.解得x＝200.
经检验，x＝200是原分式方程的解，且符合题意.
∴5x＝1 000.
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1 000 kg.
(2025·湖南)将分式方程＝去分母后得到的整式方程为(　　)
A.x＋1＝2x B.x＋2＝1
C.1＝2x D.x＝2(x＋1)
1
A
甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9 km，乙工程队需要修12 km.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1 km，最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x km，则可列出方程为　　　　　　.
2
－＝　
(2025·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程＋＝2无解，那么实数
m的值是(　　)
A.m＝1 B.m＝－1
C.m＝1或m＝－1 D.m≠1且m≠－1
3
C
(2024·广元)若点Q(x，y)满足＋＝，则称点Q为“美好点”.写出一个“美好点”的坐标　　 　　　　.
4
(2，－1)(答案不唯一)
已知关于x的分式方程＋1＝的解是非负数，则m的取值范围
是( )
A.m≤2 B.m≥2
C.m≤2且m≠－2 D.m＜2且m≠－2
5
C
(2025·韶关模拟)解方程：＋＋＋＝.
6
解：方程左边＝＋＋＋＝＋＋＋＝－＋－＋－＋－＝－；
故原方程化简整理，得＝.
方程的两边乘(x－2)(x＋2)，得x＋2＝2(x－2).
解得x＝6.
检验：当x＝6时，x(x－1)(x－2)(x＋1)(x＋2)≠0.
∴原方程的解为x＝6.
下列一组方程：①x＋＝3，②x＋＝5，③x＋＝7，…，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解.第①个方程的解为x1＝1，x2＝2；第②个方程的解为x1＝2，x2＝3；第③个方程的解为x1＝3，x2＝4.若n为正整数，且关于x的方程x＋＝2n－2的一个解是x＝7，则n的值等于　　　　.
7
10或9

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