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(共34张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮 基础复习
第六章 圆
第25讲　点、线与圆的位置关系
知识点1　点与圆的位置关系
若☉O的半径为r，设点到圆心O的距离为d.
(1)d　　　　r 点在☉O外，如图，点P1在☉O　　　　；
(2)d　　　　r 点在☉O上，如图，点P2在☉O　　　　；
(3)d　　　　r 点在☉O内，如图，点P3在☉O　　　　.
＞
外
＝
上
＜
内
1
已知☉O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为d.
(1)当d＝8 cm时，点P在☉O　　　；
(2)当d＝10 cm时，点P在☉O　　　；
(3)当d＝12 cm时，点P在☉O　　　.
内
上
外
知识点2　直线与圆的位置关系
若☉O的半径为r，设圆心O到直线的距离为d.
(1)d　　r 直线和☉O相交，如图，直线l1与☉O
有　　个公共点；
(2)d　　r 直线和☉O相切，如图，直线l2与☉O有　　个公共点；
(3)d　　r 直线和☉O相离，如图，直线l3与☉O有　　 个公共点.
＜
2
＝
1
＞
0
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm.
(1)以点C为圆心，以2 cm为半径的☉C与AB的位置关系是　　　　；
(2)以点C为圆心，以2.4 cm为半径的☉C与AB的位置关系是　　　　；
(3)以点C为圆心，以3 cm为半径的☉C与AB的位置关系是　　　　.
2
相离
相切
相交

知识点3　切线的性质与判定
性质 圆的切线　　　　于过切点的半径.
判定 (1)与圆只有　　个公共点的直线是圆的切线.(定义)
(2)经过半径的外端并且　　　 　于这条半径的直线是圆的切线.
(简述为有切点，连圆心，证垂直)
(3)如果圆心到一条直线的距离　　　　圆的半径，那么这条直线是圆的切线.(简述为无切点，作垂直，证半径)
垂直
1
垂直
等于
3
(1)(2024·浙江)如图，AB是☉O的直径，AC与☉O相切，A为切点，连接BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为　　　　.
40°
(2)如图，直线AB经过☉O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.
求证：直线AB是☉O的切线.


证明：如图，连接OC.
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB.
又∵OC为☉O的半径，
∴直线AB是☉O的切线.
知识点4　切线长定理
(1)切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长.
(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，
它们的切线长　　　　，
这一点和圆心的连线　　　　两条切线的夹角.
如图，PA，PB分别与☉O相切，A，B为切点，则PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB.
相等
平分
4
如图，PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则☉O的半径是　　.
1

知识点5　三角形的外接圆和内切圆
项目 定义 圆心 性质 图示
三角形外接圆 经过三角形的三个顶点的圆 外心(三角形三条边的　　　 .　 ______的交点) 三角形的外心到三角形 　　 　的距离相等，即OA＝OB＝OC.(如图)
三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆 内心(三角形三条　　　　的交点) 三角形的内心到三角形 　　 　的距离相等，即OE＝OF＝OD.(如图)
垂直平
分线
三个顶点
角平分线
三条边
5
(1)如图，点O是△ABC的外心，连接OA，OB，若∠OBA＝20°，则∠AOB的度数为　　　　.
第(1)题图　　　　　　　 第(2)题图
(2)如图，在△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的
度数为　　　.
140°
130°
(2024·东莞一模)如图，四边形ABCD的点B，C，D都在☉O上，AB，AD分别与☉O相切于B，D两点，∠A＝84°，则∠C的度数为(　　)
A.54°
B.52°
C.50°
D.48°
1
切线的性质与判定
D
(2025·广州二模)如图，P为☉O外一定点，连接OP，作以OP为直径的☉A，与☉O交于两点Q和R，根据切线的判断，直线PQ和PR是☉O的两条切线.由△OQP≌△ORP得，PQ＝PR，∠OPQ＝∠OPR，即切线长定理.上述过程中，可以判定△OQP≌△ORP的依据是(　　)
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.HL
2
D
(2024·陕西模拟)如图，在△ABC中，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作☉O，与AB相切于点A.作CD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠CBD＝∠DCO.
(1)求证：BC是☉O的切线；
3
证明：如图，过点O作OE⊥BC于点E.
∵CD⊥BO，
∴∠D＝90°.
∴∠BCD＋∠CBD＝90°，∠COD＋∠DCO＝90°.
∵∠CBD＝∠DCO，
∴∠BCD＝∠COD＝∠BOA.
又∵AB为☉O的切线，∴AC⊥AB.
∴∠BAC＝∠D＝90°.
∵∠BCD＝∠BOA，
∴∠OBA＝∠OBC.
又∵OA⊥AB，OE⊥BC，∴OE＝OA.
∴BC是☉O的切线.
(2)若AB＝5，BC＝13，求☉O的半径.
解：在Rt△ABC中，AC＝＝12，
∵AB，BC为☉O的切线，
∴BE＝AB＝5.
∴CE＝BC－BE＝8.
∵∠OCE＝∠BCA，∠OEC＝∠BAC＝90°，
∴△CEO∽△CAB.
∴＝.∴＝.
∴OE＝.∴☉O的半径为.
(2025·泸州)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝10，☉O
与梯形ABCD的各边都相切，且☉O的面积为16π，则点B到CD的距离
为　　　　.
4
切线长定理
(2025·北京)如图，过点P作☉O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交☉O于点D，连接BD.
(1)求证：∠ADB＝∠AOP；
5
证明：∵ AP，BP分别切☉O于点A，点B，
∴ OP平分∠AOB.∴ ∠AOP＝∠AOB.
又∵ ＝，∴ ∠ADB＝∠AOB.
∴ ∠ADB＝∠AOP.
(2)延长OP交DB的延长线于点E.若AP＝10，tan∠AOP＝，求DE的长.
解：如图，延长AO交☉O于点F，连接DF，则∠ADF＝90°.
∵ AP，BP分别切☉O于点A，点B，
∴PA⊥OA.
∵C为OP的中点，
∴PC＝OC.
∴AC＝OC＝OP.
又∵ AP＝10，tan∠AOP＝，
∴ AO＝＝20，
OP＝＝＝10，
AC＝OC＝OP＝5，AF＝2AO＝40.
∵AC＝OC，∴∠CAO＝∠AOC.
又∵∠PAO＝∠ADF＝90°，
∴△OPA∽△AFD.
∴＝.
∴DA＝＝16，CD＝DA－AC＝11.
∵∠AOP＝∠ADB，∠ACO＝∠ECD，
∴△ACO∽△ECD.
∴＝.
∴ED＝＝44.
(2024·广州)如图，在☉O中，弦AB的长为4，点C在☉O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与☉O的位置关系是(　　)
A.点P在☉O上
B.点P在☉O内
C.点P在☉O外
D.无法确定
1
C
(2025·广州)已知☉O的半径为6，☉O所在平面内有一动点P，过点P可以引☉O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是　　　　；若过点O作OC∥PA交直线PB于点C(点C不与点B重合)，线段OC与☉O交于点D.设PA＝x，CD＝y，则y关于x的
函数解析式为　　　　　　 　.
2
d＞6
y＝
(2025·广东)如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的☉O与边BC相切于点D.求证：AD平分∠BAC.
3
证明：如图，连接OD.
∵☉O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BC，即∠ODC＝90°.
∵△ABC为直角三角形，
∴∠ODC＝∠B＝90°.
∴OD∥AB.∴∠1＝∠3.
∵OD＝OA，∴∠1＝∠2.
∴∠3＝∠2.∴AD平分∠BAC.
已知☉O的直径是4，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与☉O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交
C.相离 D.平行
1
A
(2025·青岛)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与☉O相切于点A.若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为(　　)
A.52°
B.54°
C.64°
D.74° 　　　　　　　
2
C
(2025·江门三模)如图，点O是△ABC的内心，连接OA，OC，若△OCA的高OD＝3，则点O到边AB的距离为　　.
3
3
如图，PA与☉O相切于点A，PO与☉O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合.若∠P＝26°，则∠C的度数为　　　°.
4
32
(2025·黑龙江)如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝　　　°.
5
70
(2025·威海)如图，PA是☉O的切线，A为切点.B为☉O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为E.AD＝BE，BD＝AF.
(1)求证：PB是☉O的切线；
6
证明：如图，连接OB.
∵PA是☉O的切线，
∴∠OAP＝∠1＋∠3＝90°.
∵DF⊥AB，DE⊥BP，
∴∠ADF＝∠BED＝90°.
∵BE＝AD，BD＝AF，
∴Rt△DEB≌Rt△FDA(HL). ∴∠3＝∠4.
∵OA＝OB，∴∠1＝∠2.
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.
∴∠OBP＝∠2＋∠4＝90°，即OB⊥BP.
∴PB是☉O的切线.
(2)若AP＝4，sin C＝，求☉O的半径.
解：∵OB⊥BP，∠OAP＝90°，
∴sin C＝＝＝.
设OB＝2x，OC＝3x，
∴BC＝＝x，OA＝OB＝2x.
∵PB是☉O的切线，PA是☉O的切线，
∴PB＝PA＝4.
∵sin C＝＝，∴＝，解得x＝.
∴☉O的半径为×2＝.
(创新意识)如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来　　 .
　　　　　　　　　　.
7
△ABD，
△ACD，△BCD.(共28张PPT)
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核心考点
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巩固训练
第一轮 基础复习
第六章 圆
第26讲　与圆有关的计算

知识点1　弧长与扇形面积
图示 圆的周长 弧长 圆的面积 扇形面积 扇形周长
C＝____　　　 l＝_____　　　 S＝____　　　 S扇形＝_____ ＝__________　　　 C扇形＝_____　　　
2πr
　
πr2
lr
l＋2r
1
(1)(2024·安徽)若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为(　　)
A.2π B.3π
C.4π D.6π
(2)(2024·长沙)半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为　 　.
C
4π
知识点2　与圆锥相关的计算
如图，l为母线长，r为底面半径，h为圆锥的高.
(1)圆锥的高h＝　　 　　；
(2)圆锥的侧面展开图是　　　，轴截面是　　 　　；
(3)圆锥底面圆的周长(2πr)等于其侧面展开图扇形的　　　　；
(4)圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的　　　　；
(5)圆锥侧面积S侧＝　　　；全面积S全＝　　 　　.
　
扇形
等腰三角形
弧长
半径
πlr
πr(l＋r)
2
(教材母题改编)牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，它们的底面重合，尺寸如图所示.
(1)底面圆的周长为　　　，圆柱部分的侧面积为　　　　；
(2)圆锥部分的母线长是　　，侧面积是　　　.
把它展开后得到的扇形对应的圆心角是　　　　.
6π　
24π　
5　
15π
216°

知识点3　正多边形和圆
圆内接正n边形 中心角 边心距 周长 面积
α＝ r＝　 　 .　 l＝　 .　　　 S＝　　 .　　　
na
lr
(1)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，OA＝1，则AB的长为
　 ；它的中心角为　　　，边心距为　　，周长为　　，面积
为　　　.
(2)如图，☉O的半径是1，则∠AOE＝　　　，它的外切正六边形ABCDEF的边长为　　　.
3
1
60°
6
第(1)题图　　 　　 第(2)题图
120°
(2024·甘南州)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°.若☉O的半径为5，则的长为　　.
1
弧长的计算
π
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作☉O的切线DF，交AC于点F.
(1)求证：DF⊥AC；
4
扇形面积的计算
证明：如图，连接OD.
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∴∠ODB＝∠C. ∴OD∥ AC.
∵DF是☉O的切线，
∴DF⊥OD. ∴DF⊥AC.
(2)若☉O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积.
解：如图，连接OE.
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠B＝∠C＝67.5°.∴∠A＝45°.
∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA＝45°.
∴∠AOE＝90°.
∵☉O的半径为4，∴S扇形AOE＝8.
∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.
(2025·潍坊)如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为　　　　.
3
圆锥的有关计算
8π
(2024·广州模拟)如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的
半径为　　　　.
4
(2025·广州一模)如图，已知正六边形ABCDEF的半径为1，且点O为正六边形ABCDEF的中心，则阴影部分面积为(　　)
A. B.
C.－ D.－
5
正多边形和圆
D
(2025·广东)如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
1
D
(2024·广州)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是(　　)
A.π B.π
C.2π D.π
2
D
(2022·广州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE的长是　　　.
3
2π
(2025·绥化)在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是(　　)
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
1
A
(2025·广安)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为(　　)
A. B.
C. D.5
2
A
如图，已知☉O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为( )
A.3 B.
C. D.3
3
C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为( )
A.12π B.15π
C.20π D.24π
4
C
(2025·烟台)如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　.
5
π－8
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将
Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'.在此旋转过程中Rt△ABC
所扫过的面积为( )
A.25π＋24
B.5π＋24
C.25π
D.5π
6
A
(2025·惠州一模)综合与实践.
【问题情境】如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为r，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为l，圆心角为120°的扇形.
7
(1)【探索尝试】圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长　　　　(填“相等”或“不相等”)；若r＝3，则l＝　　；
相等
9
(2)【问题抽象】如图2，对于任意一个圆锥体，其底面半径为r，将其侧面展开会得到一个半径为l，圆心角为n°的扇形.请用含r，l的式子表示n；
(2)解：∵底面周长＝2πr，
扇形的弧长＝，
∴2πr＝，解得n＝.
(3)【拓展延伸】一种圆锥形装饰品如图3所示，AB＝4 cm，l＝6 cm，C是线段PB的中点.现计划要从点A到点C再到点A之间拉一圈装饰彩带，先提前准备好一根长度为11 cm的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由.
解：够长.理由如下：
如图，过点C作CD⊥PA'于点D.
∵AB＝4 cm，l＝6 cm，
∴r＝AB＝2 cm.∴n＝＝120.
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为120°.
∴∠A'PC＝×120°＝60°.∴∠PCD=30°.
∵PA'＝PB＝6 cm，C是PB的中点，
∴PC＝PB＝3 cm.
∵sin∠DPC＝＝，∴DC＝3×＝(cm).
∵PD＝PC＝1.5 cm，∴DA'＝PA'－PD＝4.5 cm.
∴在Rt△A'CD中，A'C＝＝
＝(cm)，
则2A'C＝ cm.
∵11＞，∴11 cm的彩带够长.
(应用意识)如图，某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形.已知矩形门洞的宽为2 m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是( )
A. m B. m
C. m D. m
8
C(共29张PPT)
知识梳理
核心考点
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第一轮 基础复习
第六章 圆
第24讲 圆的基本性质
知识点1　弦、弧、圆心角之间的关系
(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧　　　　，所对的弦也　　　　.
(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别　　　　.
(当遇到“等弦所对的弧”时，所对的优弧和劣弧都分别相等)
相等
相等
相等
1
(1)如图，AB，CD是☉O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠BOD＝　　　　，∠COE＝　　　　.
第(1)题图　　　　　 　 第(2)题图
(2)如图，点A，B，C，D在☉O上，＝，则AC　 　BD.(填
“＞”“＜”或“＝”).
32°
64°
＝
知识点2　圆周角定理及其推论

定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的　　　　.
推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角　　　　.
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是　　　　，90°的圆周角所对的弦是　　　　.
(3)圆内接四边形的对角　　　　.
一半
相等
直角
直径
互补
2
(1)如图，AB，AC为☉O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为　　　　.
第(1)题图　　　 　　　 第(2)题图
(2)如图，AB是☉O的直径，D，C是☉O上的点，∠ADC＝125°，则
∠B＝　　　　，∠BAC＝　　　　.
90°
55°
35°

知识点3　垂径定理及其推论
垂径 定理 垂直于弦的直径　 弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言：如图，∵CD是☉O的直径，CD⊥AB，∴AE＝BE，＝，＝.
推论 1 平分弦(不是直径)的直径 　 于弦，并且　　　弦所对的两条弧. 几何语言：如图，∵CD是☉O的直径，AE＝BE，∴CD⊥AB，＝，＝. 平分
垂直
平分
推论2 平分弦所对的一条弧的直径　　　于弦，并且 　　　　弦所对的另一条弧. 几何语言：如图，∵CD是☉O的直径，＝，∴CD⊥AB，＝.
垂直
平分
3
(1)如图，AB是☉O的弦，C是的中点，OC交AB于点D.若☉O的半径为5 cm，OD＝3 cm，则AB＝　　　　cm.
第(1)题图　　　　　　 第(2)题图
(2)如图，在☉O中，OA⊥BC于点E，∠ADB＝30°，BC＝2，则∠AOC＝　　 °，CE＝　　　　，☉O的半径为　　　　.
8
60
2
弦、弧、圆心角之间的关系
1
(2024·云南)如图，CD是☉O的直径，点A，B在☉O上.若＝，∠AOC＝36°，则∠D＝(　　)
A.9°
B.18°
C.36°
D.45°
B
(2024·西藏)如图，AC为☉O的直径，点B，D在☉O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为(　　)
A.2
B.2
C.2
D.4
2
C
(2025·湛江二模)如图，A，B，C在☉O上，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则☉O半径的长为(　　)
A.2
B.6
C.8
D.10
3
垂径定理及其推论
D
(2025·陕西)如图，AB为☉O的直径，＝，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为　　　　.
4
66°
(2024·牡丹江)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AB是☉O的直径.若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为(　　)
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
5
圆内接四边形及其性质
B
(2025·宁夏)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC平分∠BAD，连接BD.
(1)求证：∠CBD＝∠BDC；
6
证明：∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD.
∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD.
∵∠BAC＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BDC.
(2)延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE.求证：＝.
证明：∵BE＝AD，
∴AB＋AD＝AB＋BE＝AE.
∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
又∵∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠ADC.
由(1)知∠CBD＝∠BDC，
∴BC＝CD.
在△EBC和△ADC中，
，
∴△EBC≌△ADC(SAS).
∴EC＝AC，∠BCE＝∠DCA.
∵∠ACE＝∠ACB＋∠BCE，
∠BCD＝∠ACB＋∠DCA，
∴∠ACE＝∠BCD.
又∵∠BAC＝∠BDC ，∠BDC＝∠CBD，
∴∠BAC＝∠CBD，即∠EAC＝∠CBD.
∴△EAC∽△DBC.
∴＝.
∴＝，即＝.
(2020·广州)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48 cm，则水的最大深度为(　　)
A.8 cm
B.10 cm
C.16 cm
D.20 cm
1
C
(2025·广州)如图，☉O的直径AB＝4，C为中点，点D在上，＝，P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是(　　)
A.2＋
B.2＋2
C.3＋
D.4＋4
2
B
(2025·深圳)如图，以矩形ABCD的B点为圆心，BC的长为半径作☉B，交AB于点F，E为AD上一点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转至GE，点G落在☉B上，且F为GE中点.若AF＝1，AE＝3，则CD的长为　 .
3
6
(2025·青海)如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是(　　)
A.80°
B.50°
C.40°
D.25°
1
B
(2024·重庆)如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB交☉O于点C，点D是☉O上一点，连接BD，CD.若∠D＝28°，则∠OAB的度数为(　　)
A.28°
B.34°
C.56°
D.62°
2
B
(2024·山东)如图，△ABC是☉O的内接三角形，若OA∥ CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝　　　　.
3
40°
(2025·广元)如图，CD是☉O的弦，过圆心O作OA⊥CD于点H，交☉O于点A，OH∶HA＝3∶2，点M是上异于C，D的一点，连接CM，DM，则 sin∠CMD的值是(　　)
A. B.
C. D.
4
B
(2025·安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(1)求证：OC∥AD；
5
证明：∵∠AOC＝2∠ABC，
∠DAB＋2∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠AOC＝180°.
∴OC∥AD.
(2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长.
解：如图，连接BD，交OC于点E.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
∵OC∥ AD，
∴OC⊥BD.
∴E为BD的中点.
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线.
∴OE＝AD＝1.
设半圆的半径为r，则CE＝r－1.
由勾股定理知，OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2，
即r2－1＝(2)2－(r－1)2，
解得r1＝3，r2＝－2(舍去).
∴AB＝2r＝6.
如图，四边形ABCD内接于☉O，BC∥AD，AC⊥BD.若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为( )
A.10°，1
B.10°，
C.15°，1
D.15°，
6
C
7
(应用意识)如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20 cm，底面直径BC＝12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为
　　　 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
7.5(共28张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮 基础复习
第六章 圆
第27讲　与圆有关的综合计算与证明
知识点1　运用圆的相关概念和性质解决圆的综合题
在解决圆的综合题时，常常需要灵活运用圆的相关概念和性质，如圆周角定理、垂径定理、切线的性质和判定、切线长定理、圆的弧长和面积公式等，同时要结合以前的所有知识进行判断与证明.
1
如图，AB为☉O的直径，点P在☉O外，连接AP，OP，线段OP交☉O于点C，连接BC，∠P＝32°，∠B＝29°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)求证：PA是☉O的切线.
(1)解：∵∠B＝29°，∴∠AOC＝2∠B＝58°.
(2)证明：∵∠P＝32°，由(1)知∠AOC＝58°，
∴∠P＋∠AOC＝90°.∴∠OAP＝90°.
又∵OA为☉O的半径，∴PA是☉O的切线.
知识点2　添加辅助线解决圆的有关性质问题
在解决圆的有关性质时，常常需要添加辅助线.根据需要连接半径、弦，或作垂直、对称等常见的辅助线.
(2024·江西)如图，AB是半圆O的直径，D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°.
(1)求证：BD是半圆O的切线；
2
证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°.∴∠A＋∠ABC＝90°.
∵∠D＝∠ABC，∴∠A＋∠D＝90°.
∴∠ABD＝90°.∴BD⊥AB.
∵AB是半圆O的直径，
∴BD是半圆O的切线.
(2)当BC＝3时，求的长.
解：如图，连接OC.
∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°.
∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形.
∴OC＝BC＝3.∴的长为＝2π.
(2025·青海)如图，线段AB经过圆心O，交☉O于点A，C，AD为☉O的弦，连接BD，∠A＝∠B＝30°.
1
圆的综合问题
(1)求证：直线BD是☉O的切线；
证明：如图，连接OD.
∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ADB＝180°－∠A－∠B＝120°.
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA＝30°.
∴∠ODB＝120°－30°＝90°.∴OD⊥BD.
又∵OD是☉O的半径，∴直线BD是☉O的切线.
(2)已知BC＝2，求的长.
解：在Rt△DOB中，∠ODB＝90°，∠B＝30°，
∴OD＝OB.
设OD＝OC＝r，∴r＝(r＋2)，解得r＝2.
∵∠DOB＝∠A＋∠ODA＝60°，
∴的长为＝π.
(2025·徐州)如图，☉O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥ AB.
(1)判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由；
2
解：直线CD与☉O相切.理由如下：
如图，连接OC.
∵ △ABC是正三角形，
∴ ∠A＝∠ACB＝∠ABC＝60°.
∵ O为正三角形ABC的外接圆的圆心，
∴O也是正三角形ABC的内接圆的圆心.
∴ OC平分∠ACB.
∴ ∠OCB＝∠ACB＝30°.
∵ CD∥ AB，∴ ∠BCD＝∠ABC＝60°.
∴ ∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝30°＋60°＝90°.
∵ OC是☉O的半径，
∴直线CD与☉O相切.
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积.
解：如图，连接OB，过点O作OH⊥BC于点H.
∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°.
∴S扇形BOC＝＝＝π.
∵OH⊥BC，∠OCB＝30°，
∴OH＝OC＝1，BC＝2CH.
∴CH＝＝＝.
∴BC＝2CH＝2，
∴S△OBC＝BC·OH＝×2×1＝.
∴S阴影＝S扇形BOC－S△OBC＝π－.
(2024·盐城)如图，点C在以AB为直径的☉O上，过点C作☉O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC.
(1)求证：△ABC∽△ACD；
3
证明：如图，连接OC.
∵l是☉O的切线，
∴OC⊥l.
∵AD⊥l，∴OC∥ AD.
∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB.
∵∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD.
(2)若AC＝5，CD＝4，求☉O的半径.
解：∵AC＝5，CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AD＝＝3.
∵△ABC∽△ACD，
∴＝，即＝.
∴AB＝.
∴☉O的半径为.
(2025·深圳)如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝CE.
(1)求证：四边形ADCE为菱形；
1
证明：∵AD＝CE，CD＝AE，
∴四边形ADCE为平行四边形.
又∵∠ACB＝90°，且D为AB中点，
∴CD＝AD.
∴ ADCE为菱形.
(2)如图2，若点O为AC上一点，AC＝4，且E，A，D三点均在☉O上，连接OD，CD与☉O相切于点D，求：
①∠ACD＝　　　　；
30°
②☉O的半径r；
②解：∵AC＝4，∴OC＝4－r.
∵∠ACD＝30°，∠CDO＝90°，
∴sin∠ACD＝＝＝，解得r＝.
(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由.
解：由题意，作图如下.
(2021·深圳)如图，AB为☉O的弦，D，C为的三等分点，延长DC至点E，AC∥BE.
(1)求证：∠A＝∠E；
2
证明：∵AC∥ BE，∴∠E＝∠ACD.
∵D，C为的三等分点，
∴＝＝.∴∠ACD＝∠A.
∴∠A＝∠E.
(2)若BC＝3，BE＝5，求CE的长.
解：由(1)知＝＝，
∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E.
∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，
△CBD∽△BED.
∴＝，即＝，
解得DE＝.∴CE＝DE－CD＝－3＝.
(2024·自贡)在Rt△ABC中，∠C＝90°，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.
(1)图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　　，BD＝　　　　；若AC＝3，BC＝4，则☉O的半径长为　 ；
1
AD
BE
1
(2)如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N.求证：MN是☉O的切线.
证明：如图，连接OD，OE，OF，OA，OM，ON，
OB，作OG⊥MN于点G.
设☉O的半径为r.
∵MN⊥AB，∴∠ACB＝∠ANM＝90°.
∵∠CAB=∠NAM，AM=AB，
∴△CAB≌△NAM（AAS）.
∴= AN=AC，MN=BC.
∵☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OD＝OE＝OF＝r.
∴S△ABC＝·r.
同理S△AMN＝·r＋MN·OG.
∴·r＝·r＋MN·OG，∴OG＝r.
∵OG⊥MN，∴MN是☉O的切线.
(2025·江西)已知点A，B，C在☉O上，∠ACB＝35°，以BA，BC为边作 ABCD.
(1)如图1，当BC经过圆心O时，求∠D的度数；
2
解：∵BC经过圆心O，∴BC为☉O的直径.
∴∠BAC＝90°.∵∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝90°－35°＝55°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D＝∠ABC＝55°.
(2)如图2，当AD与☉O相切时，若☉O的半径为6，求的长.
解：如图，连接AO，CO.
∵AD与☉O相切，∴AO⊥AD.
∴∠OAD＝90°.
∵在 ABCD中，BC∥ AD，
∴∠OEC＝∠OAD＝90°.
∴OA⊥BC.∴BE＝CE.
∴OA垂直平分BC.∴AB＝AC.
∴∠ABC＝∠ACB＝35°.
∴∠AOC＝2∠ABC＝70°.
∴＝＝.
(2024·河南)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD＝1，则AE的最大值为　　　 　，最小值为　　　 　.
3
2＋1
2－1
(模型思想)如图，已知AB是☉O的直径，BC⊥AB于点B，E是OA上的一点，ED∥ BC交☉O于点D，OC∥ AD，连接AC交ED于点F.
(1)求证：CD是☉O的切线；
4
证明：如图，连接OD.
∵OC∥AD ，
∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∴∠BOC＝∠DOC.
在△BOC和△DOC中，
∴△BOC≌△DOC(SAS).
∴∠ODC＝∠OBC＝90°.
∵OD为☉O的半径，
∴CD是☉O的切线.
(2)若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长.
解：∵ED∥ BC，AB⊥BC， ∴DE⊥AB.
∵OD＝OA＝OB＝AB＝4，AE＝1，
∴OE＝3，DE＝＝.
∵∠BOC＝∠EAD，
∴BC＝OBtan∠BOC＝OBtan∠EAD＝4×＝4.
∵ED∥ BC，∴△AEF∽△ABC.
∴＝＝. ∴EF＝.

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