资源简介

(共34张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮 基础复习
第五章 四边形
第22讲　矩形、菱形
(1)定义：有一个角是　　　　的平行四边形叫作矩形.
(2)性质：①边：对边平行且相等；②角：四个角都是　　　　；③对角线：对角线互相　　　　且　　　　；④对称性：既是轴对称图形，也是中心对称图形.
(3)判定：①有　　　　个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线　　　　的平行四边形是矩形；
③有　　　　个角是直角的四边形是矩形.
知识点1　矩形
直角
相等
平分
直角
一
相等
三
(1)(2024·泸州)已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是(　　)
A.∠A＝90° B.∠B＝∠C
C.AC＝BD D.AC⊥BD
(2)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为　　　　.
1
D
4
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
(2)性质：①边：四条边都　　　　；②角：对角相等；③对角线：对角线互相　　　　，且每一条对角线平分一组　　　　；④对称性：既是轴对称图形，也是中心对称图形.
(3)判定：①有一组　　　　相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相　　　　的平行四边形是菱形；
③四条边　　　　的四边形是菱形.
知识点2　菱形
相等
垂直平分
对角
邻边
垂直
相等
(1)如图，要使 ABCD成为菱形，下列添加条件正确的是(　　)
A.AB⊥BC B.AC⊥BD
C.AC＝BD　 D.∠ABC＝∠CDA
第(1)题图　　 　　　 　　　第(2)题图
(2)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长为　　，周长为　　，面积为　　　.
2
B
13
52
120
(2025·兰州)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝(　　)
A.95° B.100°
C.110° D.145°
1
矩形的性质与判定
C
(2024·湘西州)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为　　　　.
2
2
选择①.证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
(2024·贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°.有下列条件：①AB∥CD，②AD＝BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
3
选择②.证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积.
解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴在Rt△ABC中，BC＝＝4.
∴四边形ABCD的面积为AB·BC＝3×4＝12.
(2025·常州)如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB＝5.若∠ABD＝30°，则AC的长是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.10
4
菱形的性质与判定
B
(2025·黑龙江)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件__________________________________，使 ABCD为菱形.
5
AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥ BC，即AF∥ BE.
∴∠AFO＝∠EBO.
∵O是BF的中点，
∴OB＝OF.
(2024·内蒙古)如图，在 ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
6
在△AOF和△EOB中，
∴△AOF≌△EOB(ASA).
∴OA＝OE.
又∵OB＝OF，∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形.
(2)若 ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长.
解：∵AD∥ BC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°.
∵∠BAD＝120°，∴∠ABE＝60°.
又∵AB＝BE，∴△ABE是等边三角形.
∴AE＝AB.
∵AD＝BC，AF＝BE，
∴DF＝CE＝1.
又∵DF∥ CE，
∴四边形EFDC是平行四边形.
∴CD＝EF.
∵AB＋BC＋CD＋AD＝22，
∴AB＋BE＋1＋CD＋AF＋1＝22，
即4AB＝20.
∴AE＝AB＝5.
(2025·广东)如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG.若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是(　　)
A. B. C. D.
1
B
(2024·广东)如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　　　　.
2
10
(2024·广州)如图，在Rt△ABC中，∠B ＝90°.
(1)尺规作图：作AC边上的中线BO(保留作图痕迹，不写作法)；
3
解：如图，线段BO即为所求.
(2)在(1)所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：如图，由作图，得AO＝CO，
由旋转，得BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
(2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角相等
1
A
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD.
∵AE⊥CD，CF⊥AD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°.
又∵∠D＝∠D，
∴△AED≌△CFD(AAS).
∴DE＝DF.
∴AD－DF＝CD－DE.
∴AF＝CE.
(2024·济南)如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F.求证：AF＝CE.
2
(2024·广州三模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAO的平分线交对角线BD于点E，且AB＝AC＝2，则线段AE的长
为(　　)
A.1 B. C. D.
3
B
(2025·烟台)如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y＝(x＞0)的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为(　　)
A.4 B.4 C.2 D.2
4
D
(2025·郑州一模)按如图所示的方式将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，保证剪口线与折痕夹角的角度为45°，将这个剪下的角打开，得到的图形是　　　　　.若剪口线与折痕夹角的角度不等于45°，则得到的图形是　　　　　.
5
正方形
菱形
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2 cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H.点F从点B出发沿BD方向以2 cm/s的速度向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1 cm/s的速度向点D匀速运动.设点E，F的运动时间为t(单位：s)，且0＜t＜3，过点F作FG⊥BC于点G，连接EF.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
6
证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC， ∴EH∥ FG.
由题意知BF＝2t cm，EH＝t cm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°.
∴FG＝BF＝t cm.∴EH＝FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形.
(2)连接FC，EC，在点F，E的运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.
解：△BFC与△DCE能够全等.理由如下：
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2 cm，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2 cm，
AB∥CD.
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
∠DCH＝∠ABC＝60°.
∵DH⊥BC，∴∠CHD＝90°.
∴∠CDH＝90°－60°＝30°＝∠CBF.
在Rt△CDH中，cos∠CDH＝，
∴DH＝2×＝3(cm).
∵EH＝t cm，∴DE＝(3－t) cm.
当BF＝DE时，△BFC≌△DEC(SAS).
∴2t＝3－t，解得t＝1.
(2025·广东)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则S△CFB＝2S△CEF.
命题2：若连接ED，则ED⊥AC.
命题3：若连接ED，则ED＝BC.
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例.
7
解：命题1是真命题.证明如下：
如答图1，连接DE，交AC于点O.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝DA＝ DB＝AB.
∵AE∥ DC，CE∥ AB，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵DA＝DC，∴四边形ADCE是菱形.
∴AC⊥DE，且OA＝OC，OE＝OD.
答图1
∵D为AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，则OD＝BC.
∴S△CFB＝CF·BC，S△CEF＝CF·OE.
∴S△CFB＝2S△CEF.
答图1
命题2是真命题.证明如下：
如答图2，连接DE，交AC于点O.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝DA＝DB＝AB.
∵AE∥ DC，CE∥ AB，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵DA＝DC，∴四边形ADCE是菱形.
∴AC⊥DE.
答图2
命题3是真命题.证明如下：
如答图2，连接DE，交AC于点O.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝DA＝DB＝AB.
∵AE∥ DC，CE∥ AB，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∴CE＝AD.∴CE＝DB.
又∵CE∥ AB，∴四边形BCED是平行四边形.
∴ED＝BC.
答图2(共31张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮 基础复习
第五章 四边形
第21讲　多边形与平行四边形
(1)内角和：n边形的内角和为______________.
(2)外角和：任意多边形的外角和等于　　　　.
(3)正n边形的每个内角等于______________，每个外角等于　　　　.
(4)对角线数量：过n边形的一个顶点可以引　　　　条对角线，n边形共
有　　　　条对角线.
知识点1　多边形
(n－2)×180°
360°
(n－3)
(1)一个七边形的内角和是　　　　°，外角和是　　　　°.
(2)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它的边数为　　　　.
(3)从五边形的一个顶点出发，可以画出　　　　条对角线，它们将五边形分成　　　　个三角形.
1
900
360
6
2
3
知识点2　平行四边形的性质
(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
(2)性质：①边：两组对边分别平行且_______；
②角：两组对角分别_______，邻角________；
③对角线：对角线____________；
④对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.
相等
相等
互补
互相平分
(1) 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE＋EO＝4，则 ABCD的周长为　　　　.
第(1)题图　　　　 第(2)题图
(2)如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F.若AB＝5，AD＝6，则EF的长是　　　　.
2
16
4
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别　　　　　的四边形是平行四边形；
(3)两组对角分别　　　　　的四边形是平行四边形；
(4)对角线互相　　　　　　的四边形是平行四边形；
(5)一组对边　　　　　　的四边形是平行四边形.
知识点3　平行四边形的判定
相等
相等
平分
平行且相等
(2024·乐山)如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD∥BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO
D.AB∥DC，AD＝BC
3
D
(2025·济南)如图，两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l1∥l2.当∠1＝37°时，∠2＝　　　　°.
1
多边形的内角和与外角和
97
(2025·宁夏)编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°，……，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了　　　　步.
2
24n
(2024·眉山)如图，在 ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥CD；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④＝
.其中正确结论的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3
平行四边形的性质
C
证明：∵O是AB的中点，∴AO＝OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠E＝∠BCO.
又∵∠AOE＝∠BOC，
∴△AOE≌△BOC(AAS).∴AE＝BC.
(2024·吉林)如图，在 ABCD中，O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E.求证：AE＝BC.
4
(2025·宿迁)如图，在△ABC中，AB≠AC，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，则下列结论错误的是(　　)
A.DE∥BC
B.∠B＝∠EFC
C.∠BAF＝∠CAF
D. OD＝OE
5
C
平行四边形的判定
(2024·湖南)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　 .
请先从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，将序号填在横线上，再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
6
选择①.证明：∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE.
又∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②.证明：∵AE＝BE，AE＝CD，
∴BE＝CD.
又∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
解：由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE＝BC＝10.
∵AD⊥AB，∴∠A＝90°.
又∵AD＝8，
∴在Rt△ADE中，AE＝＝＝6.
即线段AE的长为6.
(2020·广东)若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数
为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
1
B
(2024·广州)如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝　　　　.
2
5
(2022·广州)如图，在 ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝22，则△BOC的周长为　　　　.
3
21
(2025·北京)若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为(　　)
A.60 B.90
C.120 D.150
1
C
(2024·辽宁)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为(　　)
A.4
B.6
C.8
D.16
2
C
(2025·广州二模)如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，∠AEB＝25°，则∠D的度数是　　　　.
3
50°
(2024·河北)如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则∠α与∠β的和为(　　)
A.115°
B.120°
C.135°
D.144°
4
B
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥ DC，AB＝DC.∴∠BAE＝ ∠DCF.
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴∠AEB＝∠CFD. ∴∠BEF＝∠DFE.
∴BE∥ DF.
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF.
(1)求证：BE∥DF；
5
解：由(1)知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE＝DF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴DO＝BO.
∵ OM⊥BD，∴DM＝BM.
∴BM＋MF＋BF＝DM＋MF＋BF＝DF＋BF＝12.
∴BF＋DF＋BE＋DE＝2(BF＋DF)＝2×12＝24.
∴四边形BEDF的周长为24.
(2)过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长.
如图，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是( )
A. B.
C. D.
6
D
如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；
7
证明：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA.
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADG＝∠CBE.
∵∠DGE＝∠DAC＋∠ADG，∠BEG＝∠BCA＋∠CBE，
∴∠DGE＝∠BEG.∴BE∥DG.
在△ADG和△CBE中，　
∴△ADG≌△CBE(ASA).
∴BE＝DG.
解：如图，过点E作EH⊥BC于H.
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EH＝EF＝6.
∵ ABCD的周长为56，
∴AB＋BC＝28.
∴S△ABC＝AB·EF＋BC·EH＝EF(AB＋BC)＝×6×28＝84.
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积.
(逻辑推理、应用意识)如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
8
证明：∵∠BCA＝∠CAD，∴AD∥BC.
在△AOD与△COB中，
∴△AOD≌△COB(ASA)，∴AD＝BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
图1
解：如图，连接DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，
BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8.
∵BD＝2AB，∴AB＝OD.∴DO＝DC.
(2)如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长.
图2
∵F是OC的中点，
∴OF＝OC＝4，DF⊥OC.
∴AF＝OA＋OF＝12.
在Rt△AFD中，DF＝＝＝9.
∵G是AD的中点，∠AFD＝90°，
∴DG＝FG＝AD＝7.5.
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线.
∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC.
∴EF＝DG，EF∥AD.
∴四边形GEFD是平行四边形.
∴GE＝DF＝9.
∴△EFG的周长＝GE＋GF＋EF＝9＋7.5＋7.5＝24.
∴△EFG的周长为24.(共25张PPT)
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核心考点
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第一轮 基础复习
第五章 四边形
第23讲　正方形
(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是　　　　的平行四边形叫作正方形.
(2)性质：
①边：两组对边分别平行，四条边都　　　　　，相邻两边互相垂直；
②角：四个角都是　　　　；
③对角线：对角线相等且互相___________，每条对角线平分一组对角(对角线与边的夹角为45°)；
④对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形；
⑤两条对角线分成的四个等腰直角三角形全等.
知识点1　正方形的定义和性质
相等
直角
直角
垂直平分
如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，OC＝2.下列判断错误的是(　　)

A.图中有8个45°角，8个直角 B.OC＝OD＝OA＝OB
C.正方形的面积为16 D.正方形的周长为8
1
C
(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的___________是正方形；
(2)有一组邻边__________的矩形是正方形；
(3)对角线互相__________的矩形是正方形；
(4)有一个角是__________的菱形是正方形；
(5)对角线__________的菱形是正方形.
知识点2　正方形的判定
平行四边形
相等
垂直
直角
相等
下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是(　　)
A　　　 B　　　 C　　　 D
2
B
知识点3　平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系
(2024·广州模拟)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是(　　)
A.若AB⊥BC，则 ABCD是菱形
B.若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
C.若AC＝BD，则 ABCD是矩形
D.若AB＝AD，则 ABCD是正方形
3
C
(2022·广州)如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为(　　)
A. B. C.2－ D.
1
正方形的性质
D
(2025·浙江)【问题背景】如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上.
【数学理解】(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
2
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS).
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.
∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA.
∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°.
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
(2025·乐山)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合是_________________________.(只需填一种组合即可)
3
正方形的判定
①②或①③(写一组即可)
如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
4
解：四边形BPCO为平行四边形.
理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD.
∵以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，
两弧交于点P，
∴OB＝CP，BP＝OC.
∴四边形BPCO为平行四边形.
解：当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO是正方形.
∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.
∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，
∴OB＝OC.
∵四边形BPCO是平行四边形，
∴四边形BPCO是正方形.
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形.
(2025·深圳)如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为(　　)
A. B. C. D.
1
D
证明：∵BE＝3，EC＝6，∴BC＝9.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°.
∵＝＝，＝，∴＝.
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF.
(2024·广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
2
(2024·常州)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是(2，1)，则点C的坐标是_____________.
1
(－2，－1)
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OE＝OF.
∴四边形AECF是菱形.∵OE＝OA，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.
∴菱形AECF是正方形.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形.
2
(2024·陕西)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　　)

A.2 B.3 C. D.
3
B
(2025·福建)如图，在矩形ABCD中，AB＜AD.
(1)求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
4
解：如图，四边形EFGH就是所求作的正方形.
由(1)作图知OB＝OD，OE＝OG，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.
在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝4，
∴BD＝＝2.
∴OD＝BD＝.
∵EG⊥FH，
∴∠DOE＝∠DAB＝90°.
(2)若AB＝2，AD＝4，求(1)中所作的正方形的边长.
又∵∠ODE＝∠ADB，∴△EOD∽△BAD.
∴＝，即＝.∴OE＝.
在Rt△EOH中，OE＝OH，
∴EH＝OE＝.
∴正方形EFGH的边长为.
如图，正方形ABCD的边长为2，E为不与点D重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设DE＝d1，点F，G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为( )
A.
B.2
C.2
D.4
5
C
(2025·济南)如图，在正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F.若CG＝4，EF＝4，则AB＝　　　　.
6
2＋2
(2025·威海)如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的展开图.若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长
为　　　　cm.
7

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