资源简介

(共29张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　基础复习
第四章　三角形
第18讲　等腰三角形、等边三角形、直角三角形
知识点1　等腰三角形和等边三角形
项目 等腰三角形 等边三角形
性质 (1)等腰三角形的两腰相等； (2)等腰三角形的两个底角相等，即 “　　　　　　 ”； (3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的 　　　、底边上的　　 相互重合，即“三线合一”； (4)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴. (1)等边三角形的三边相等，三个角都相等，且每一个角都等于60°；
(2)“三线合一”；
(3)等边三角形是轴对称图形，有　　条对称轴.
等边对等角
中线
高
3
项目 等腰三角形 等边三角形
判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，即 “等角对等边”. (1)三条边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是　　的等腰三角形是等边三角形.
(1)(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为　　°. (2)等边三角形的两条中线所夹锐角的度数为　　. 1
60°
100
60°
知识点2　直角三角形
性质 (1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的　　　；
(3)在直角三角形中，斜边上的　　　长等于斜边长的一半；
(4)勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
判定 (1)有一个角是　　　的三角形是直角三角形；
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；
(3)勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.
一半
中线
直角
(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，则AC＝
　　，BC＝　　　.
(2)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝　　 °.
2
第(1)题图
第(2)题图
5
5
70
等腰三角形和等边三角形的性质与判定
(2024·浙江)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为　 　.
1
4
(2024·自贡模拟)如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢
　　 　　 m.
2
(24－4)
(2024·湖北模拟改编)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE.BC，DE相交于点O，连接BD，CE，∠ACE＝60°. 试判断△ABD的形状，并说明理由.
3
解：△ABD是等边三角形.理由如下：
由旋转性质，得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∵AC＝AE，∠ACE＝60°，
∴△ACE是等边三角形.∴∠CAE＝60°.
∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE＝60°.又∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形.
直角三角形的性质与判定
(2024·青岛)如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是(　　)
A.3　　　
B.6　　　　
C.　　　　 　
D.3
4
A
(2024·巴中)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，即如图，AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝(　　)
A.8　　　
B.10　　
C.12　　　
D.13
5
C
(2024·广东模拟)若＋＋(c－)2＝0，则以a，b，c为边
长的三角形的形状是　　　 　　　.
6
等腰直角三角形
(2023·广州)如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为(　　)
A. n mile B. n mile
C.20 n mile D.10 n mile
1
D
(2024·广州)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠BCD的度数为　　.
2
33°
(2021·广州)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD.
(1)尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连接EF，BF(保留作图痕迹，不写作法)；
3
解：如图所示.
(2)在(1)所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，求证：△BEF为等边三角形.
证明：∵∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，
∴∠CAD＝30°，∠BAC＝15°.
∵AE＝EC，∠ABC＝90°，
∴BE＝AE＝AC.
∴∠ABE＝∠BAC＝15°.
∴∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＝30°.
∵AF平分∠CAD，AC＝AD，
∴CF＝DF.
又∵AE＝EC，
∴EF＝AD＝AC，EF∥AD.
∴∠CEF＝∠CAD＝30°.
∴∠BEF＝∠BEC＋∠CEF＝60°.
又∵BE＝EF＝AC，
∴△BEF为等边三角形.
(2025·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE＝BC，连接CE，若AB＝3，AE＝4，则CE的长为(　　)
A.1
B.5
C.2
D.
1
D
(2025·南通)南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.屋架设计图的一部分如图所示，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC.若AC＝4.8 m，∠C＝30°，则EF的长为　　m.
2
1.2
(2025·扬州)在如图所示的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　)
A.∠ADB＝∠ADC
B.∠B＝∠C
C.BD＝CD
D.AD平分∠BAC
3
B
(2025·广州二模)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.若CD＝2，则AC＝　　　　.
4
2＋2
如图，在直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB.如果CB＝1，那么CE＝　　.
5
如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A，F，E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE.
(1)求证：AF＝CE；
6
证明：如图，连接AD.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC.
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE.∵DF＝DE，
∴△ADF≌△CDE(SAS).∴AF＝CE.
(2)猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明.
解：CE2＋BF2＝BC2.
证明如下：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°.
∵△ADF≌△CDE，
∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE.
∵∠BAD＝∠ACD＝45°，
∴∠BAD＋∠DAF＝∠ACD＋∠DCE.
∴∠BAF＝∠ACE.
∵AB＝CA，AF＝CE，
∴△BAF≌△ACE(SAS).∴BF＝AE.
∵∠AEC＝∠DEC－∠DEF＝135°－45°＝90°，
∴AE2＋CE2＝AC2.∴BF2＋CE2＝BC2.
(几何直观、推理能力)我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题.
7
(1)如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点C作CG⊥AB于点G.利用面积证明：DE＋DF＝CG；
证明：如答图1，连接AD，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴AB·CG＝AB·DE＋·AC·DF.
∵AB＝AC，∴DE＋DF＝CG.
(2)如图2，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，连接AE，点G为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于点M，GN⊥BC于点N.若BC＝8，BE＝3，求GM＋GN的长；
解：∵将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，
∴∠AFE＝∠EFC，AE＝CE.
∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF.∴∠CEF＝∠CFE.
∴CE＝CF.
∵BC＝8，BE＝3，∴CE＝AE＝5.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝4，
∴等腰三角形CEF中，CE边上的高为4.
由(1)知，GM＋GN＝4.
(3)如图3，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且＝，BC＝，CD＝3，BD＝6，求ED＋EA的长.
如答图2，延长BA，CD交于点G，作BH⊥CG于点H.
∵＝，∠BAE＝∠EDC＝90°，
∴△BAE∽△CDE.
∴∠ABE＝∠C.∴BG＝CG.
∴ED＋EA＝BH.
设DH＝x.
由勾股定理，得BD2－DH2＝BC2－(DH＋CD)2，
即62－x2＝－(x＋3)2，
解得x＝1.∴DH＝1.
∴BH＝＝.
∴ED＋EA＝.(共38张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　基础复习
第四章　三角形
第20讲　解直角三角形的应用
知识点1　仰角与俯角
如图，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角(∠α)叫作
　　　　，视线在水平线下方的角(∠β)叫作　　　　.

仰角
俯角
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　 (2025·长春)如图，已知某山峰的海拔为b m，一位登山者到达海拔为
n m的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α.则A，B两点之间的距离为(　　)
A.(b－n)sin α m
B. m
C.(b－n)cos α m
D. m
1
B
一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为
起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通
常表达成北(南)偏东(西)××度.例如，如图，点A位于
点O的　　　　　方向，点B位于点O的　　　　　方向，
点C位于点O的　　　　　方向(或西北方向).
知识点2　方位角
北偏东30°
南偏东60°
北偏西45°
(2024·河南)如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数
为(　　)
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
2
B
如图，坡面的铅直高度(AC)和水平宽度(BC)的比叫作坡度，
用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫作坡角，
i＝tan α＝　　　　　，坡角越大，坡度越大，
坡面越　　　　　.
知识点3　坡度与坡角
陡
　 如图，爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1 m耗能(1.025－cos α)J.若某人爬了1 000 m，该坡角为30°，则他耗能(　　)
(参考数据：≈1.732，≈1.414)
A.58 J
B.159 J
C.1 025 J
D.1 732 J
3
B
(2024·深圳)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为(参考数据：sin 53°≈
，cos 53°≈，tan 53°≈)(　　)
A.22.7 m B.22.4 m
C.21.2 m D.23.0 m
1
仰角、俯角的应用
A
(2025·安徽)某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的
楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图，甲楼和乙楼分别用
与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.
工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰
角为36.9°.已知AB＝13.20 m，求AD的长.
(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 23.8°≈0.40，cos 23.8°≈0.91，
tan 23.8°≈0.44，sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75)
2
解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E.
∵线段AB，CD都与地面垂直，
∴四边形ABCE为矩形.
∴CE＝AB＝13.20 m.
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，
∴AE＝＝≈＝30.0(m).
在Rt△ADE中，cos∠DAE＝，
∴AD＝＝≈＝37.5(m).
答：AD的长约为37.5 m.
(2024·甘孜州)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时，B处距离A处有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
3
方位角的应用
解：如图，过点P作PC⊥AB于点C.
在Rt△APC中，∠A＝37°，AP＝100 n mile，
∴PC＝AP·sin A＝100×sin 37°≈100×0.6＝60(n mile)，
AC＝AP·cos 37°＝100×0.8＝80(n mile).
在Rt△PBC中，∠B＝45°，
∴BC＝PC＝60 n mile.
∴AB＝AC＋BC＝80＋60＝140(n mile).
答：B处距离A处约140 n mile.
(2025·深圳三模)如图，点C与某建筑物AB底端B相距75 m，某同学从点C出发，沿斜坡CD行走52 m至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝5∶12，在点D处测得该建筑物顶端A的俯角为30°，求建筑物AB的高度.(结果保留根号)
4
坡度、坡角的应用
解：如图，过点D作DE⊥CB，垂足为E，延长BA交水平线DF于点G.

由题意，得DE＝BG，DG＝BE，CD＝52 m，BC＝75 m，BG⊥DF.
∵斜坡CD的坡度i＝5∶12，
∴＝.
设DE＝5x m，则CE＝12x m.
在Rt△CDE中，CD＝＝13x m，
∴13x＝52，解得x＝4.
∴DE＝BG＝5x＝20 m，CE＝12x＝48 m.
∴DG＝BE＝CB－CE＝75－48＝27(m).
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴AG＝DG·tan 30°＝27×＝9(m).
∴AB＝BG－AG＝(20－9)m.
答：建筑物AB的高度为(20－9)m.
(2023·广东)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.中国空间站上机械臂的一种工作状态如图所示.当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.766，
cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
1
解：如图，连接AB，取AB中点D，连接CD.
∵AC＝BC，点D为AB的中点，
∴中线CD为等腰三角形的角平分线，
AD＝BD＝AB.
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°.
在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，
∴AD＝AC·sin∠ACD＝10×sin 50°≈7.66(m).
∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3(m).
答：A，B两点间的距离大约是15.3 m.
(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，矩形PQMN充电站的平面示意图如图所示，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD于点H，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)
2
解：∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q＝∠P＝90°.
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°.
∴∠CBE＝30°.
(1)求PQ的长；
∴BC＝＝ m.∴AD＝ m.
∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°，
∴AP＝AD·cos∠PAD＝ m.
∴PQ＝AP＋AQ＝≈6.1 m.
答：PQ的长约为6.1 m.
解：在Rt△BCE中，BE＝＝3.2 m，
在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos∠ABQ＝2.7 m.
∵该充电站有20个停车位，
∴QM＝BQ＋20BE＝66.7 m.
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN＝QM＝66.7 m.
答：PN的长为66.7 m.
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.
(2024·广州一模)端午节，赛龙舟.如图，小亮在点P处观看400 m直道竞速赛，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝400 m，则点P到赛道AB的距离为(　　)
A.50 m B.100 m
C.87 m D.173 m
1
B
(2025·宝山模拟)有一斜坡的坡度i＝12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4 m，则这个斜坡的长度为　　　　m.
2
2.6
(2025·辽宁)如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB＝51°，BC＝6 m，则树AB的高约为　　　　m.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 51°≈0.78，cos 51°≈0.63，tan 51°≈1.23)
3
7.4
(2025·内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为　　　　m.
(结果保留根号)
4
120
(2025·长沙)如图，某景区内两条互相垂直的道路
a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.
为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开
发了风景优美的景点D.经测量，景点C位于景点B的
北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，
景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800 m.
5
(1)求∠ACB的度数；
解：如图，由题意，得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM.
∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°.
∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝30°.
答：∠ACB的度数是30°.
解：∵∠CBE＝60°，
∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°.
由(1)得∠ACB＝30°.
∴∠ABC＝∠ACB＝30°.
又∵AB＝800 m，
∴AC＝AB＝800 m.
在Rt△ACM中，sin∠ACM＝，cos∠ACM＝，
(2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号)
∴AM＝AC·sin∠ACM＝800×sin 30°＝800×＝400(m)，
CM＝AC·cos∠ACM＝800×cos 30°＝800×＝400(m).
∴BM＝AB＋AM＝800＋400＝1 200(m).
∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，
∴DM＝BM＝1 200 m.
∴DC＝DM－CM＝(1 200－400)m.
答：景点C与景点D之间的距离为(1 200－400)m.
(2025·资阳)如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得建筑物顶端C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1∶3，AB＝10 m，CD⊥BN(点A，B，C，D在同一竖直平面内).
6
解：如图，过点B作BE⊥AM于点E，则∠AEB＝90°.
∵斜坡AB的坡度i＝＝，
∴AE＝3BE.
∵在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(3BE)2＋BE2＝(10)2，
∴BE＝10 m.
答：平台BN的高度是10 m.
(1)求平台BN的高度；
解：如图，延长CD交AM于点F，
可知四边形BEFD为矩形，则DF＝BE＝10 m.
由(1)可知，AE＝3BE＝30 m.
设CD＝h m，在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，
tan∠CBD＝，
∴EF＝BD＝＝h m.
(2)求建筑物CD的高度.(结果保留根号)
∴CF＝(h＋10)m，AF＝m.
在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，tan∠CAF＝，
∴＝，
解得h＝(15－15)m.
答：建筑物CD的高度为(15－15)m.
活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
(2024·湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录
如下：
7
实施过程 1.选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2.测量D，B两点间的距离； 3.站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； 4.测量C到地面的高度CD. 1.选取与树底B位于同一水平地面的E处；
2.测量E，B两点间的距离；
3.在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；
4.测量E，D两点间的距离；
5.测量C到地面的高度CD.
测量数据 1.DB＝10 m； 2.∠ACF＝32.5°； 3.CD＝1.6 m. 1.EB＝10 m；
2.ED＝2 m；
3.CD＝1.6 m.
备注 1.图上所有点均在同一平 面内； 2.AB，CD均与地面垂直； 3.参考数据：tan 32.5°≈ 0.64. 1.图上所有点均在同一平面内；
2.AB，CD均与地面垂直；
3.把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB.
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度.
解：选择“测角仪”方案.
由题意，得CF⊥AB，CF＝DB＝10 m，
FB＝CD＝1.6 m.
在Rt△ACF中，tan∠ACF＝，∠ACF＝32.5°，
∴AF＝CF·tan∠ACF≈10×0.64＝6.4(m).
∴AB＝AF＋FB＝6.4＋1.6＝8(m).
选择“平面镜”方案.
由题意，得CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDE＝∠ABE＝90°.
又∵∠CED＝∠AEB，
∴△CED∽△AEB.
∴＝，即＝.
∴AB＝8 m.
答：树AB的高度为8 m.(共31张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　基础复习
第四章　三角形
第14讲　线、角、相交线与平行线
知识点1　直线、射线和线段
(1)直线的基本事实：两点　　　一条直线.
(2)线段的基本事实：两点之间，　　　最短.
(3)两点间的距离：连接两点的线段的　　　.
(4)线段的中点：如图，M是线段AB的中点 AM＝　　　＝AB.
确定
线段
长度
BM
(1)(2024·广东模拟)在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要(　　)
A.1枚钉子 B.2枚钉子
C.3枚钉子 D.随便多少枚钉子
(2)(2024·吉林)如右图，从长春站去往胜利公园，与其他
道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是
　　　　　　　　　　　.
1
B
两点之间，线段最短
(3)如图，D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4 cm，则线段CD的长度为　　　.
1 cm
知识点2　角的有关概念
度分秒换算 1°＝60'，1'＝60″；
一周角＝　　　，一平角＝　　　，一直角＝　　　.
余角 (1)定义：如果两个角的和等于　　　，就说这两个角互为余角.
(2)性质：同角(等角)的余角　　　.
补角 (1)定义：如果两个角的和等于　　　，就说这两个角互为补角.
(2)性质：同角(等角)的补角　　　.
角的平分线 (1)定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
(2)性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离　　　.
(3)逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在　　　　 　　.
360°
180°
90°
90°
相等
180°
相等
相等
角的平分线上
　 (1)90°－25°30'＝　　°　　'.
(2)若∠A＝40°，则∠A的余角是　　，补角是　　　.
(3)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3，点D到AB的距离是　　.
2
64
30
50°
140°
3
知识点3　相交线
(1)两直线相交，对顶角　　　，邻角　　　.
(2)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(3)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，　　　　最短.
(4)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
(5)线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到　　　　　　　　　.的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的　　　　　　　.
相等
互补
垂线段
这条线段两个端点
垂直平分线上
(1)如图，直线a，b相交，∠1＝40°，则∠2－∠3等于(　　)
A.40°
B.80°
C.100°
D.120°
3
C
(2)如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6 cm，PB＝5 cm，PC＝
7 cm，则点P到直线l的距离是　　cm.
(3)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5 cm，△ABD的周长为16 cm，则△ABC的周长为　　cm.
第(2)题图
第(3)题图
5
26
知识点4　平行线
(1)在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
(2)①平行公理：过直线外一点，有且只有　　条直线与这条直线平行.
②平行推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相　　　.
(3)平行线的性质与判定：①两直线平行 同位角　　　；
②两直线平行 内错角　　　；③两直线平行 同旁内角　　　.
(4)平行线间的距离处处相等；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.
一
平行
相等
相等
互补
如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠3＝180°；⑤∠6＝∠8，其中能
判断a∥b的是　　　　　.(填序号)
4
①③④⑤
角(补角、余角、对顶角)
(2025·河南)如图，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　)
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
1
C
(2024·商丘模拟)如图，点O在直线CD上，OA⊥OB于点O，若∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为(　　)
A.105°　　
B.125°　　　
C.110.5°　　
D.112.5°
2
D
垂线、角的平分线、线段垂直平分线
(2025·陕西)如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1＝52°，则∠2的度数为(　　)
A.76°
B.74°
C.64°
D.52°
3
A
(2025·保定二模)如图，点P是直线l外一点，点A，B，C，D，E在直线l上，PC⊥l，比较线段PA，PB，PC，PD，PE的长短，其中最短的
是(　　)
A.PB
B.PC
C.PD
D.PE
4
B
(2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(　　)
A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm
5
C
平行线的性质与判定
(2024·内蒙古)如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B
＝(　　)
A.35°48'
B.55°12'
C.54°12'
D.54°52 '
6
C
(2024·呼和浩特)如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为　　　.
7
105°
(2024·武汉模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°.
(1)求∠BAD的度数；
8
解：∵AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠B＝80°，∴∠BAD＝100°.
(2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.求证：AE∥DC.
证明：由(1)知∠BAD＝100°，
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝50°.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝50°.
∵∠BCD＝50°，∴∠AEB＝∠BCD.
∴AE∥DC.
(2025·深圳)小颖在试鞋镜前的光路图如图所示，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(　　)
A.22°
B.32°
C.35°
D.122°
1
B
(2025·广州)如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝36°，则∠2的度数为　　 °.
2
144
(2024·广州)如图，直线l分别与直线a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，则∠2的度数为　　　.
3
109°
(2024·陕西)如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数
为(　　)
A.25°
B.35°
C.45°
D.55°
1
B
(2025·达州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为(　　)
A.21
B.14
C.13
D.9
2
C
(2025·连云港)如图，AB∥CD，直线AB与射线DE相交于点O.若∠D＝50°，则∠BOE＝　　　°.
3
130
(2025·绥化)如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是(　　)
A.16°
B.30°
C.38°
D.76°
4
C
(2025·金华模拟)如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东65°方向行走至点C处，则∠ABC的度数为　 　.
5
105°
(2024·佛山模拟)如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，DE∥BC，∠ADC＝∠B＝96°，求∠A的度数.
6
解：∵DE平分∠ADC，∠ADC＝96°，
∴∠CDE＝∠ADC＝48°.
∵DE∥BC，∴∠C＋∠CDE＝180°.
∴∠C＝132°.
在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°，
∵∠ADC＝∠B＝96°，
∴∠A＝360°－96°－96°－132°＝36°.
(2024·潍坊)一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为(　　)
A.60°
B.55°
C.50°
D.45°
7
A
(跨学科融合)(2024·南充)如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为(　　)
A.80°
B.90°
C.100°
D.120°
8
C(共27张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　基础复习
第四章　三角形
第15讲　三角形的基本概念与性质
知识点1　三角形的分类
三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中M，N分别表示的三角形是(　　)
A.等边三角形、等腰三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.锐角三角形、等腰三角形
D.等腰三角形、锐角三角形
1
B
知识点2　三角形的边角关系
(1)三角形具有稳定性.
(2)三边关系：三角形任意两边之和　　第三边；任意两边之差　　第三边.
(判断三条线段能否构成三角形，应将两条较短线段的和与最长线段作比较)
(3)角的关系：
①内角和定理：三角形的内角和等于　　　；
②外角和定理：三角形的外角和等于　　　；
③内外角关系：三角形的一个外角等于与它　　　　的两个内角的和；
④边角关系：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的一个内角.
大于
小于
180°
360°
不相邻
　 (1)生活中处处有数学，起重机的底座、输电线路的支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是　　　　　　　　　.
(2)下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　)
A.2，5，8 B.4，7，13
C.3，4，5 D.5，5，10
(3)如图，图中∠1＝　　°，∠2＝　　　°.
2
三角形具有稳定性
C
40
140
知识点3　三角形中的重要线段

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
四线 高 中线 角平分线 中位线
图形

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
四线 高 中线 角平分线 中位线
性质 CD⊥AB，即∠ADC=∠BDC＝　　.　　　　　 AB∥　　，
DE＝　　 AB
拓展 与三角形面积有关，常用等积法. 每条中线都将三角形分成面积相等的两部分，即S△BCD＝S△ACD. 利用角平分线上的点到角的两边的距离相等这一性质求证线段相等. 在三角形中遇到中点时，常构造中位线，利用其证明线段平行或倍分问题.
90°
AD
∠2
DE

(1)如图，在△ABC中，已知D，E分别为边AB，AC的中点，若∠B＝50°，DE＝2，则∠ADE＝　　　，BC＝　　.
(2)如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝
2 cm，S△ABD＝1.5 cm2，则DC的长是　　cm.
3
第(1)题图
第(2)题图
50°
4
1.5
知识点4　三角形的四心
(1)垂心：三角形三条高的交点.
(2)重心：三角形三条中线的交点.
(3)内心：三角形三条　　　 　的交点，它是三角形　　　　的圆心，它到三角形各边的距离相等.三角形的内心在三角形的内部.
(4)外心：三角形三边的　　 　的交点，它是三角形　　　的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心为斜边的中点.
角平分线
内切圆
垂直平分线
外接圆
(1)如图，在△ABC中，∠ABC＝32°，∠ACB＝100°.若点O是
△ABC的内心，则∠BOC的度数是　　　.
(2)在△BCD中，点O是△BCD的外心，若∠B＝50°，则∠COD的度数
是　　　.
4
114°
100°
三角形的边角关系
(2025·海南)已知三角形三条边的长分别为3，5，x，则x的值可能
是(　　)
A.2 B.5
C.8 D.11
1
B
(2024·北京模拟)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
2
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC.


证明：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE.
∵∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB.




证明：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°.
∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠A.
∴∠B＋∠ACB＋∠A＝180°.
三角形中的重要线段
(2024·重庆模拟)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是(　　)
A.BF＝CF
B.∠C＋∠CAD＝90°
C.∠BAF＝∠CAF
D.S△ABC＝2S△ABF
3
C
(2024·惠州一模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点.若EF的长为10，则CD的长为(　　)
A.5
B.10
C.15
D.20
4
B
(2025·成都一模)在△ABC中，已知∠A＝60°，下列判断中错误的
是(　　)
A.若G为重心，则∠BGC≥120° B.若O为外心，则∠BOC＝120°
C.若I为内心，则∠BIC＝120° D.若H为垂心，则∠BHC＝120°
5
D
(2023·深圳)商场某品牌椅子的侧面图如图所示，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝(　　)
A.70°
B.65°
C.60°
D.50°
1
A
(2023·广州)如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为
　　.
2
(2025·福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　　)
A.5° B.15°
C.25° D.35°
1
B
(2025·深圳模拟)如图，AB∥EF，∠A＝128°，DC＝DE，则∠CED的度数为(　　)
A.26°
B.38°
C.52°
D.64°
2
A
(2025·宿迁)等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm，则该等腰三角形的周长为　　cm.
3
10
(2024·重庆)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为　 .
4
2
(2025·宁夏)如图，☉O是△ABC的内切圆，∠A＝54°，则∠BOC
＝　　 °.
5
117
(2024·巴中)如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD.下列说法错误的是(　　)
A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B.∠BDC＝3∠ABD
C.当E为AB中点时，△ABC是等边三角形
D.当E为AB中点时，＝
6
D
(2024·绥化)已知：△ABC.
(1)尺规作图：画出△ABC的重心G；
(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下，连接AG，BG.已知△ABG的面积等于5 cm2，则
△ABC的面积是　　cm2.
7
(1)解：如图，AD与BF的交点G即为所求.
15
如图，AP1为△ABC的中线，AP2为△AP1C的中线，AP3为△AP2C的中线，……，按此规律，APn为△APn－1C的中线.若△ABC的面积为S，则△APnC的面积为( )
A. B.
C. D.
8
C(共30张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　基础复习
第四章　三角形
第17讲　相似三角形
知识点1　比例线段
(1)定义：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比　　　c与d的比，如＝(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d称为成比例线段，简称比例线段.
(2)黄金分割：如图，点C为线段AB上一点，AC＞BC，若AC2＝AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC＝AB≈0.618AB，BC＝AB，一条线段有2个黄金分割点.
等于
(1)下列四组线段中，不成比例的是(　　)
A.3，6，2，4 B. 1，，，　
C.1，2，3，9　　 D. 3，6，4，8
(2)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为18 cm，则它的宽为　　　　　　.(结果保留根号)
1
C
(9－9)cm
(1)平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
如图，AB∥CD∥EF.若＝，BD＝5，
则DF＝　　.
2
知识点2　平行线分线段成比例
10
(1)三边成比例的两个三角形　　　；
(2)两边成比例且夹角　　　的两个三角形相似；
(3)两角分别　　　的两个三角形相似；
(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，
AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以
是　　　　 　.(写出一种情况即可)
3
知识点3　相似三角形的判定
相似
相等
相等
∠ADE＝∠C(答案不唯一)
(1)相似三角形的对应角　　　；
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)　　　　；
(3)相似三角形的周长比等于　　　，面积比等于　 　　　.
若两个相似三角形对应边的比为2∶3，则其对应中线的比为　　　，对应高的比为　　 ，对应周长的比为　　　，对应面积的比为
　　　.
4
知识点4　相似三角形的性质
相等
成比例
相似比
相似比的平方
2∶3
2∶3
2∶3
4∶9
知识点5　图形的位似
(1)位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫作　 　　　，这个点叫作
　　 　　.
(2)位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于　　　，位似图形的周长比等于　　　，面积比等于
　　　　 　　.
位似图形
位似中心
相似比
相似比
相似比的平方
(1)如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA'上.若OA∶AA'＝1∶2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为　　　.
(2)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标
为　　 　　　　　.
5
1∶3
(2，1)或(－2，－1)
相似三角形的判定
(2025·河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(　　)
A.∠B＋∠4＝180°
B.CD∥AB
C.∠1＝∠4
D.∠2＝∠3
1
D
(2024·武汉模拟)如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，连接MA，CN.
求证：△ABM∽△CBN.
2
证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，
∴由旋转性质，得AB＝MB，CB＝NB，∠ABC＝∠MBN.∴＝.
∵∠ABC＝∠MBN，
∴∠ABC＋∠ABN＝∠MBN＋∠ABN，
即∠ABM＝∠CBN.∴△ABM∽△CBN.
相似三角形的性质
(2025·贵州)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1，若DF＝
2，则AC的长为(　　)
A.1
B.2
C.4
D.8
3
C
(2024·邵阳)如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)求证：△ABC∽△DEB；
4
证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°.
∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°.
∴∠C＝∠DBE.∴△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
解：∵△ABC∽△DEB，
∴＝.∴＝.∴BD＝3.
位似图形
(2024·深圳模拟)如图，以点O为位似中心，把△ABC按相似比2放大，得到△A'B'C'，以下说法中错误的是(　　)
A.S△ABC∶S△A'B'C' ＝1∶2
B.AB∶A'B'＝1∶2
C.点A，O，A'三点在同一条直线上
D.BC∥B'C'
5
A
(跨学科融合)(2024·河北模拟)如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为16 cm. 蜡烛火焰AB高为6 cm，若像高CD为3 cm，则蜡烛到薯片筒打小圆孔的底部的距离为(　　)
A. cm B.25 cm
C.32 cm D.64 cm
6
C
(2025·广州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若＝，则＝　　.
1
　
(2025·广东)如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是　　.
2
　
(2023·广东)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为　　.
3
15
(2025·南充)已知＝＝＝2，则的值是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
1
D
(2025·兰州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O.已知BC∶B'C'＝1∶2，则B(2，0)的对应点B'的坐标
是(　　)
A.(3，0)
B.(4，0)
C.(6，0)
D.(8，0)
2
B
(2025·河南)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的
交点，连接DE，则DE的长为(　　)
A.
B.1
C.
D.
3
B
(2025·浙江)如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0).若DE的长为3，则D'E'的长为(　　)
A. B.4
C. D.5
4
C
(2024·梅州一模)如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，AE＝EB，CE和AD相交于点F，则＝(　　)
A.
B.2
C.3
D.4
5
C
(2025·江西)如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；……依此类推，则△AnBnCn的面积为(　　)
A. B.
C. D.
6
C
(2025·无锡)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO，AB分别与反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象相交于点C，D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE.若△BDE的面积为，则k的值为(　　)
A. B.
C.5 D.10
7
C
(2025·东营模拟)如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，D为AC中点，
点E在AB上，当AE的长为　　　时，△ABC与以点A，D，E为顶点的三角形相似.
8
3或
(2024·惠州一模)综合与实践.
【主题】某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识.
【操作】步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为D1，D2；
9
步骤二：如图1，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点P1，P2与点O在一条直线上为止.
【结论】这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同.
Ⅰ.解：＝.理由如下：
由题意，得P1D1∥P2D2，
∴△OP1D1∽△OP2D2.
∴＝.∴＝.∴＝.
【探究】(1)Ⅰ.如图1，与之间存在什么关系？请说明理由；
Ⅱ.由标准视力表中的b1＝72 mm，l1＝5 m，可计算出l2＝3 m时，b2＝
　　　mm；
43.2
【运用】(2)如果将视力表中的两个“E”放在如图2所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2∶1，点P与点Q为一组对应点.若点Q的坐标为(－3，4)，则点P的坐标为　　　　　.
(－6，8)(共29张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　基础复习
第四章　三角形
第19讲　锐角三角函数
知识点1　锐角三角函数的定义
三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
则sin A＝　　　　，cos A＝　　　　，tan A＝　　　　.
1

2
知识点2　特殊角的三角函数
∠A 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
1
30
0
－1＋
知识点3　解直角三角形
a2＋b2＝c2
90°
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，解这个直角三角形.

3
解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，
∴∠A＝90°－60°＝30°.
∴BC＝AB＝3.
∴AC＝AB·sin B＝6×＝3.
1　(2025·常州)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则 sin B的值是(　　)
A. B.
C. D.
1
锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值
C
(2025·云南)计算：(π－2)0－()2＋＋－2cos 60°.
2
解：原式＝1－3＋6＋5－1
＝8.
(2025·广东三模)如图，△ABC的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格格点上，则sin A的值为(　　)
A. B.
C. D.1
3
三角函数与图形相结合
B
(2025·济南)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是(　　)
A.∠DAC＞∠EBA
B.∠DAC＜∠EBA
C.∠DAC＝∠EBA
D.∠DAC＋∠EBA＝60°
4
C
(2024·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是(　　)
A.3
B.6
C.8
D.9
解直角三角形
5
B
(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；
6
解：∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8.
∵tan∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6.
∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14.
解：∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝7.
∴DE＝CE－CD＝7－6＝1.
∵AD⊥BC，
∴AE＝＝＝.
∴sin∠DAE＝＝＝.
(2)求sin∠DAE的值.
(2025·深圳)人行天桥的示意图如图所示，若高BC长为10 m，斜道AC长为30 m，则sin A的值为(　　)
A. B.3 C. D.
1
D
(2025·广东)计算20－2sin 30°的结果是　　　　.
2
0
(2025·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD＝，AB＝26，则点B到AD的距离为　　　　.
3
10
(2025·天津)tan 45°－cos 45°的值等于(　　)
A.0 B.1
C.1－ D.1－
1
A
(2025·南通)在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝2，则BC的长为(　　)
A.1 B.2
C. D.5
2
C
(2025·广州二模)如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在
格点上，且D为AB的中点，则 cos∠ACD＝　　　　　 .
3
如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是( )
A. B.
C. D.
4
C
(2025·山西)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为____________.
5
(3，3)
(2025·韶关模拟)在锐角三角形ABC中，若∠A，∠B满足＋＝0，则∠C＝　　　　.
6
75°
(2025·德阳)如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，点C在直线m：y＝x－上，且AC＝3，连接AB，BC，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C1，点B的对应点B1落在直线m上，再将
△A1B1C1绕点B1顺时针旋转到△A2B2C2，点A1的
对应点A2也落在直线m上.如此下去，……，则
A1 001的纵坐标是　　　　.
7
2 004
(2025·威海)【问题提出】已知∠α，∠β都是锐角，tan α＝，tan β＝，求∠α＋∠β的度数.
【问题解决】(1)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α＋∠β的度数；(点A，B，C，D都在格点上)
8
备用图
解：如答图1，连接BC.
由题意，知tan α＝tan∠BAD＝，
tan β＝tan∠CAD＝，
∵AB＝BC＝＝，AC＝＝，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ABC＝90°，∠BAC＝45°.
∴∠α＋∠β＝∠BAD＋∠CAD＝45°.
答图1
【策略迁移】(2)已知∠α，∠β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则∠α＋∠β＝　　　　°；
90
备用图
解析：如答图2，连接BC.
由题意，tan α＝tan∠BAD＝，
tan β＝tan∠DAC＝，
∵AB＝AC＝＝，
BC＝＝，
∴△ABC是等腰直角三角形.∴∠BAC＝90°.
∴∠α＋∠β＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝90°.
答图2
(3)已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tan α＝，tan β＝，∠α＋∠β＝∠θ，求tan θ的值.
(提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案)
备用图
如答图2，tan θ＝.
解析：由题意知，tan α＝tan∠GDH＝，
tan β＝tan∠HDF＝，
∵∠α＋∠β＝∠θ，
∴∠θ＝∠GDH＋∠HDF＝∠GDF.
答图2
∵DG＝＝2，GF＝＝，
DF＝＝5，
∴DG2＋GF2＝DF2.
∴△DGF是直角三角形.
∴tan θ＝tan∠GDF＝＝＝.
答图2(共21张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮　基础复习
第四章　三角形
第16讲　全等三角形
(1)能够　　 　　的两个三角形叫作全等三角形.
(2)平移、翻折、旋转前后的三角形　　　.
(记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上)
如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC完全重合，则△ABC≌　　　　，AB的对应边是　　　，BC的对应边是　　　，
∠ACB的对应角是　　　　.
1
知识点1　全等三角形的定义
完全重合
全等
△ADC
AD
DC
∠ACD
(1)全等三角形的对应边　　　，对应角　　　.
(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等.
(3)全等三角形的周长相等，面积相等.
(2024·广州模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，沿BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定成立的是(　　)
A.EC＝CF B.∠DEF＝90°
C.AC＝DF D.AC∥DF
2
知识点2　全等三角形的性质
相等
相等
A
知识点3　全等三角形的判定
(1)三边分别　　　的两个三角形全等.(简称“SSS”)
(2)两边和它们的　　　分别相等的两个三角形全等.(简称“SAS”)
(3)两角和它们的　　　分别相等的两个三角形全等.(简称“ASA”)
(4)两角分别相等且其中一组等角的　　　相等的两个三角形全等.(简称“AAS”)
(5)　　　和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)
相等
夹角
夹边
对边
斜边
　 如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC≌△ADC的是(　　)
A.CB＝CD
B.∠BAC＝∠DAC
C.∠BCA＝∠DCA
D.∠B＝∠D＝90°
3
C
全等三角形的性质
(2025·遵义模拟)已知△ABC≌△A'B'C'，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C'的度数是(　　)
A.40° B.60°
C.80° D.100°
1
C
(2024·苏州模拟)如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°.
(1)求AE的长度；
2
解：∵△ABC≌△DEB，
∴BE＝BC＝3.
∴AE＝AB－BE＝6－3＝3.
(2)求∠AED的度数.
解：∵△ABC≌△DEB，
∴∠DBE＝∠C＝55°.
∴∠AED＝∠DBE＋∠D＝55°＋25°＝80°.
全等三角形的判定
(2025·青海)工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是(　　)
A.AAS B.SAS
C.SSS D.ASA
3
C
(2025·云南)如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D.求证：△AOC≌△BOD.
4
证明：在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(AAS).
(2025·广州)如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD.求证：△ABC≌△EBD.
1
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EBC＝∠2＋∠EBC，即∠ABC＝∠EBD.
在△ABC和△EBD中，
∴△ABC≌△EBD(SAS).
(2022·广东)如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：△OPD≌△OPE.
2
证明：∵∠AOC＝∠BOC，PD⊥OA，
PE⊥OB，
∴PD＝PE.
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
∴△OPD≌△OPE(HL).
1 (2024·牡丹江)如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F
三点共线，请添加一个条件　　　　　　　　　　，使得AE＝CE.(只添一种情况即可)
1
DE＝EF(或AD＝CF)
(2025·福建)如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD.求证：AB＝AD.
2
证明：∵∠CBE＝∠CDF，∠ABC＋∠CBE＝180°，
∠ADC＋∠CDF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(AAS). ∴AB=AD.
(2025·凉山州)如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为(　　)
A.56°
B.60°
C.62°
D.64°
3
C
如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是　 .
4
8
(2025·内江)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
5
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E.
∵∠A＝∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
(2)若BF＝4，FC＝3，求BE的长.
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF.
∴BF＋FC＝CE＋FC.
∵BF＝4，FC＝3，∴4＋3＝CE＋3.
∴CE＝4.
∴BE＝BF＋FC＋CE＝4＋3＋4＝11.
证明：∵∠BAC＝90°，BD⊥AF，CE⊥AF，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°.
∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∴∠ABD＝∠CAE.∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS). ∴AD＝EC，BD＝AE.
∴DE＝AE－AD＝BD－EC.
(1)已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AF交BC于点F，BD⊥AF于点D，CE⊥AF于点E.求证：DE＝BD－EC；
6
(2)对于(1)中的条件改为：直线AF在△ABC外，与BC的延长线相交于点F，其他条件不变，上述结论仍成立吗？(请画出图形)若不成立，请写出正确的关系式.(不用证明)
解：如图，不成立，DE＝BD＋EC.
(2024·安徽)在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点，下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是(　　)
A.∠ABC＝∠AED B.∠BAF＝∠EAF
C.∠BCF＝∠EDF D.∠ABD＝∠AEC
7
D

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