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(共38张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮 基础复习
第三章　 　函　数
第10讲　一次函数
(1)一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数.
(2)特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数.
1
知识点1　一次函数的定义
－1
知识点2　一次函数的图象与性质
(1)一次函数的图象与性质：
一次函数 y＝kx＋b(k≠0) k，b的符号及图象 k＞0 k＜0

经过象限 l1：经过第一、二、三象限； l2：经过第一、三象限(正比例)； l3：经过第一、三、四象限. l1：经过第一、二、四象限；
l2：经过第二、四象限(正比例)；
l3：经过第二、三、四象限.
(2)平移规律:左加右减,上加下减.
k决定函数的增减性 y随x的增大而　　　.　　　　 y随x的增大而　　　.　　　　
b决定图象与y轴的 交点位置 b＞0 图象交y轴　　半轴；b＜0 图象交y轴 　　半轴；b＝0 图象交y轴于原点. 与坐标轴交点 增大
减小
正
负
　 已知函数y＝－2x＋4，该函数图象在第　 　象限内，经过点
(1，　)，y随x的增大而　 　；该函数图象与x轴的交点坐标为　　　，与y轴交点坐标为　　　，与坐标轴所围成的图形的面积是　　；将该函数图象向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的新函数解析式为　　　　　　.
2
一、二、四
2
减小
(2，0)
(0，4)
4
y＝－2x－2
(1)设：设一次函数的解析式为y＝kx＋b(若为正比例函数，则设y＝kx)；
(2)代：将已知点坐标代入解析式中，得到含有待定系数k，b的方程或方程组；
(3)解：解这个方程(组)，求出待定系数k，b的值，即可得函数解析式.
　 (1)已知正比例函数的图象经过点(1，2)，则这个函数的解析式为
　　　　.
(2)已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点P(2，－1)与点Q(－1，5)，则这个函数解析式为　　　　　　　　.
3
知识点3　待定系数法求一次函数解析式的步骤
y＝2x
y＝－2x＋3
知识点4　一次函数与方程(组)、不等式的关系
横
交点
(3)不等式kx＋b＞0的解集 函数y＝kx＋b(k≠0)的图象位于x轴　　.方部分对应的x的取值范围；
不等式kx＋b＜0的解集 函数y＝kx＋b(k≠0)的图象位于x轴　　方部分对应的x的取值范围；
不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集就是函数y1＝k1x＋b1(k1≠0)的图象在y2＝k2x＋b2(k2≠0)的图象　　方部分所对应的x的取值范围；
不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集就是函数y1＝k1x＋b1(k1≠0)的图象在y2＝k2x＋b2(k2≠0)的图象　　方部分所对应的x的取值范围.
上
上
下
下
　 (1)如图，直线y＝kx＋b分别与x轴的负半轴和y轴的正半轴交于点A和点B，若OB＝3，AB＝5，则关于x的方程kx＋b＝0的解为　　　　.
第(1)题图　　　　　　　　 第(2)题图
(2)如图，函数y＝kx和y＝ax＋4的图象相交于点A(2，3)，则不等式kx＜ax＋4的解集为　　　.
4
x＝－4
x＜2
一次函数的图象与性质
(2024·长沙)对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是(　　)
A.它的图象与y轴交于点(0，－1)
B.y随x的增大而减小
C.当x＞时，y＜0
D.它的图象经过第一、二、三象限
1
A
(2025·长春)已知点A(－3，y1)，B(3，y2)在同一正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上，则下列结论正确的是(　　)
A.y1＝－y2 B.y1＝y2
C.y2＞0 D.y1＜0
2
A
确定一次函数解析式
(2024·陕西)一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6).若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为(　　)
A.y＝3x B.y＝－3x
C.y＝x D.y＝－x
3
A
(2024·黔南州一模)直线y＝2x＋1如图所示，过点P(2，1)作与它平行的直线y＝kx＋b，则k＝　　，b＝　　.
4
2
－3
(2025·北京)在平面直角坐标系中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5).
(1)求k，b的值；
5
解：∵在平面直角坐标系中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，3)和(2，5)，
∴解得
(2)当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既小于函数y＝kx＋b的值，也小于函数y＝x＋k的值，直接写出m的取值范围.
解：2≤m≤3.
一次函数与方程(组)、不等式的关系
(2025·徐州)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，关于x的不等式k(x－3)＋b＜0的解集为(　　)
A.x＜－4
B.x＞－4
C.x＜2
D.x＞2
6
C
(2024·内蒙古)点P(x，y)在直线y＝－x＋4上，坐标(x，y)是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7
D
一次函数的应用
(2024·陕西)我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80 kW·h，行驶了240 km后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(单位：kW·h)与行驶路程x(单位：km)之间的关系如图所示.
8
(1)求y与x之间的关系式；
解：设y与x之间的关系式为y＝kx＋b
(0≤x≤240).将(0，80)，(150，50)代入y＝kx＋b，
得　解得
∴y与x之间的关系式为y＝－x＋80.
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
解：令x＝240，则y＝32.
∴×100％＝32％.
答：该车的剩余电量占“满电量”的32％.
(2024·通辽)某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地.在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机.经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元.
(1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
9
解：设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元.
根据题意，得解得
答：每台煎蛋器的价格是65元，每台三明治机的价格是110元.
(2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半.请你给出最节省费用的购买方案.
解：设购买m台煎蛋器，则购买(50－m)台三明治机.
根据题意，得50－m≥m，解得m≤.
设学校采购这两种机器所需总费用为w元.
则w＝65m＋110(50－m)，即w＝－45m＋5 500.
∵－45＜0，∴w随m的增大而减小.
又∵m为正整数，∴当m＝33时，w取得最小值，
此时50－m＝50－33＝17.
答：最节省费用的购买方案为购买33台煎蛋器，17台三明治机.
(2025·广州)如图，在平面直角坐标系中，点A(－3，1)，点B(－1，1)，若将直线y＝x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是(　　)
A.－3≤d≤－1
B.1≤d≤3
C.－4≤d≤－2
D.2≤d≤4
1
D
(2024·广东)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是(　　)
2
A　 B　 C　 D
B
(2023·广州)因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调査得知：在甲商店购买该水果的费用y1(元)与该水果的质量x(kg)之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2(元)与该水果的质量x(kg)之间的函数解析式为y2＝10x(x≥0).
(1)求y1与x之间的函数解析式；
3
解：当0≤x≤5时，设y1＝kx.
将(5，75)代入，得5k＝75.
解得k ＝15.
∴y1＝15x.
当x＞5时，设y1＝mx＋n.
将点(5，75)，(10，120)代入，得
　解得
∴y1＝9x＋30.
综上所述，y1与x之间的函数解析式为
y1＝
(2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多
一些？
解：当y1＝600时，9x＋30＝600，
解得x＝；
当y2＝600时，10x＝600，解得x＝60.
∵＞60，
∴选甲商店能购买该水果更多一些.
(2025·上海)下列函数中，为正比例函数的是(　　)
A.y＝3x＋1 B.y＝3x2
C.y＝ D.y＝
1
D
(2025·内蒙古)在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(单位：A)是它两端的电压U(单位：V)的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15 V时，通过它的电流为(　　)
A.12 A
B.8 A
C.6 A
D.4 A
2
A
(2025·广安)已知一次函数y＝－3x－6，当x＜－1时，y的值可以是　　 　　 .(写出一个合理的值即可)
3
1(答案不唯一)
(2025·陕西)在平面直角坐标系中，过点(1，0)，(0，2)的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是(　　)
A.(1，－3) B.(1，3)
C.(－3，2) D.(3，2)
4
B
如图，直线y＝－x＋3分别与x轴、y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是( )
A.(2，5)
B.(3，5)
C.(5，2)
D.(，2)
5
C
(2024·深圳模拟)在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx和y＝mx＋n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式(k－m)x＜n的解集是　　　.
6
x＜1
在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是( )
7
D
A B C D
如图，已知点A(－2，3)，B(2，1)，直线y＝kx＋k经过点P(－1，0).试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是　　 　　 .
8
k≤－3或k≥
李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快.在一段时间内，水温y(℃)与加热时间x(s)之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
(1)加热前水温是　　℃；
9
20
(2)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式；
解：由甲壶比乙壶加热速度快，可知乙壶中水温y关于
加热时间x的函数图象经过（0，20），（160，80）.
设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx＋b.
将(0，20)，(160，80)分别代入y＝kx＋b，
得解得
∴y＝x＋20.
(3)当甲壶中水温刚达到80 ℃时，乙壶中水温是　　℃.
65(共41张PPT)
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第三章　 　函　数
第12讲　二次函数
一般地，形如　　 　　(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.
1
知识点1　二次函数的定义
y＝ax2＋bx＋c
－2
知识点2　二次函数的图象和性质

函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a＞0 a＜0

开口方向 开口向　　.　　　 开口向　　.　　　
对称轴与 顶点坐标 上
下
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而　 　 ； 在对称轴右侧，y随x的增大而 　　　. 在对称轴左侧，y随x的增大而　 　 ；
在对称轴右侧，y随x的增大而
　　　.
最值
减小
减小
增大
增大
　 (1)(2024·广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　)
A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y1＞y2
(2)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，下列结论正确的是(　　)
A.a＜0
B.c＞0
C.当x＜－2时，y随x的增大而减小
D.当x＞－2时，y随x的增大而减小
2
A
C
(1)已知任意三点，选一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对称轴是直线
　　　　，顶点坐标是　　　 　　　.
(2)已知顶点和另一点，选顶点式y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，对称轴是直线　　　 ，顶点坐标是　 　　　.
(3)已知与x轴的两个交点，选交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，对称轴是
直线　　　 　.
知识点3　待定系数法求二次函数的解析式
x＝－
x＝h
(h，k)
x＝
　 (1)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且经过点(0，2)，则该函数解析式为　　 　　.
(2)已知抛物线经过(0，－3)，(1，－4)，(2，－9)三点，求抛物线的解
析式.




3
y＝3(x－1)2－1
解：设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c.
∵抛物线经过(0，－3)，(1，－4)，(2，－9)三点，
∴　解得
∴抛物线解析式为y＝－2x2＋x－3.
(1)左右平移(在括号内变)：①向左平移n(n＞0)个单位长度得y＝a(x－h＋n)2＋k；
②向右平移n(n＞0)个单位长度得y＝a(x－h－n)2＋k.
(2)上下平移(在括号外变)：①向上平移m(m＞0)个单位长度得y＝a(x－h)2＋k＋m；
②向下平移m(m＞0)个单位长度得y＝a(x－h)2＋k－m.
(3)口诀：左加右减，上加下减.
　 已知二次函数y＝2x2.
①把它的图象向左平移1个单位长度，得到抛物线y＝　　　　；
②把它的图象向下平移1个单位长度，得到抛物线y＝　　　　；
③把它的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝
　　　 　　.
4
知识点4　抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移
2(x＋1)2
2x2－1
2(x－1)2＋3
知识点5　二次函数与一元二次方程、不等式的关系
(1)二次函数与一元二次方程的关系：
Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0的根 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点
Δ＞0 两个不相等实数根 　　个交点
Δ＝0 两个相等实数根 　　个交点
Δ＜0 无实数根 　　个交点
方程ax2＋bx＋c＝0的根是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标 2
1
0
(2)二次函数与不等式的关系：设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点，其中x1＜x2.则：①当a＞0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为　　 　　，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为　　 　　；②当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为　　 　　，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为　　 　　.
x＜x1或x＞x2
x1＜x＜x2
x1＜x＜x2
x＜x1或x＞x2
　 (1)(2024·长春)若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是　　　.
(2)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，由图可知，当y＞0时，x的取值范围为　　　　 　　，当y＜0时，x的取值
范围为　　　　　　.
5
c＞
x＜－1或x＞3
－1＜x＜3
二次函数的图象与性质
(2025·威海)已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2
C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y2＞y1
1
C
(2025·徐州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列代数式的值为负数的是　　　　.(填序号)
①a；②2a＋b；③c；④b2－4ac；⑤a－b＋c.
2
①②⑤
二次函数的平移
(2024·滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为　　　　.
3
(2024·牡丹江)将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位长度后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝　　.
4
(1，2)
2
二次函数的解析式
(2024·扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点.
(1)求b，c的值；
5
解：把A(－2，0)，B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，
得　解得
(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标.
解：由(1)知，二次函数解析式为y＝－x2－x＋2.
设点P坐标为(m，－m2－m＋2).
∵△PAB的面积为6，AB＝1－(－2)＝3，
∴S△PAB＝AB·＝×3×＝6.
∴＝4，
即m2＋m－2＝4或m2＋m－2＝－4.
解得m＝－3或m＝2.
∴P(－3，－4)或(2，－4).
二次函数与一元二次方程、不等式的关系
(2024·河南模拟)如图，已知二次函数y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象相交于点A(－1，6)和B(5，3)，则使不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n成立的x的取值范围是(　　)
A.x＜－1或x＞5
B.－1＜x＜5
C.x＜3或x＞6
D.3＜x＜6
6
B
(2024·深圳模拟)【阅读理解】我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点.例如，对于函数y＝x－1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x－1的零点值，点(1，0)是函数y＝x－1的零点.
【问题解决】(1)求二次函数y＝x2－2x－3的零点值；
7
解：当y＝x2－2x－3＝0时，
解得x＝3或x＝－1.
∴二次函数y＝x2－2x－3的零点值为－1和3.
(2)若二次函数y＝x2－2x＋k－1有两个零点，求实数k的取值范围；
解：∵二次函数y＝x2－2x＋k－1有两个零点，
∴关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根.
∴Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0.
解得k＜2.
(3)若二次函数y＝kx2－(3k＋2)x＋2k＋4(k≠0)的两个零点值都是整数，请直接写出整数k的值.
解：k＝±1或k＝－2
二次函数的最值
(2025·东莞一模)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在直线y＝kx上，则此二次函数叫作直线y＝kx的开心函数.例如：二次函数y＝x2－2x＋2的顶点(1，1)在直线y＝x上，所以二次函数y＝x2－2x＋2是直线y＝x的开心函数.
8
(1)若二次函数y＝－x2＋4x－3是直线y＝kx的开心函数，求k的值；
解：∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴抛物线的顶点坐标为(2，1).
将(2，1)代入y＝kx，得1＝2k.
∴k＝.
(2)若二次函数y＝x2－4mx＋n是直线y＝－x的开心函数.
①求n(用含m的代数式表示)；
解：∵y＝x2－4mx＋n＝(x－2m)2＋n－4m2，
∴抛物线的顶点坐标为(2m，－4m2＋n).
将(2m，－4m2＋n)代入y＝－x，得2m－4m2＋n＝0.
∴n＝4m2－2m.
②若－2≤x≤4时，y的最小值为－2，求n的值.
解：由①知，抛物线的表达式为y＝x2－4mx＋4m2－2m，
顶点坐标为(2m，－2m).
当x＝4时，y＝x2－4mx＋4m2－2m＝4m2－18m＋16；
当x＝－2时，同理可得y＝4m2＋6m＋4.
当－2≤x≤4≤2m，即m≥2时，则抛物线在x＝4时，取得最小值.
∴y＝4m2－18m＋16＝－2，
则m＝(舍去)或3，即m＝3.
当－2≤2m＜4，即－1≤m＜2时，
则抛物线在顶点，取得最小值.
∴－2m＝－2，则m＝1.
当2m＜－2≤x≤4，即m＜－1时，
则抛物线在x＝－2时，取得最小值.
∴y＝4m2＋6m＋4＝－2，无解.
综上所述，m＝1或3.
∵n＝4m2－2m，
∴n的值为2或30.
(2025·广州)在平面直角坐标系中，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)上，则下列结论中正确的是(　　)
A.当x1＜0且y1·y2＜0时，则0＜x2＜2
B.当x1＜x2＜1时，则y1＜y2
C.当x1＜0且y1·y2＞0时，则0＜x2＜2
D.当x1＞x2＞1时，则y1＜y2
1
A
(2024·广州)函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝的图象如图所示，当　　 时，y1，y2均随着x的增大而减小(　　)
A.x＜－1
B.－1＜x＜0
C.0＜x＜2
D.x＞1
2
D
(2025·广州)若抛物线y＝x2－6mx＋6m2＋5m＋3的顶点在直线y＝x＋2上，则m的值为　　　　.
3
1或－
(2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　)
A.图象的开口向上
B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x＝1
1
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
D
(2024·宁夏)若二次函数y＝2x2－x＋m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　　　　.
2
m≤　
(2025·福建)已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　　)
A.1＜y1＜y2 B.y1＜1＜y2
C.1＜y2＜y1 D.y2＜1＜y1
3
A
(2025·宿迁)一块梯形木板ABCD，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝4，BC＝10，CD＝6，按如图方式设计一个矩形桌面EFCG(点E在边AB上).当EF＝　　 时，矩形桌面面积最大.
4
5
(2025·常州)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋3的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C是线段AB上一点，C与B不重合.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象经过点B，顶点是C.将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B'，C'分别是B，C的对应点，且点B'落在x轴正半轴上，点C'的纵坐标为－2.
(1)OB＝　　；
5
3
(2)求点C的坐标；
解：∵B(0，3)，点B的对应点B'落在x轴正半轴上，
∴点B向下平移3个单位长度.
∴点C向下平移3个单位长度后，得到对应点C'.
∵点C'的纵坐标为－2， ∴点C的纵坐标为－2＋3＝1.
∵点C在线段AB上，即点C在直线y＝－x＋3上，
∴当y＝－x＋3＝1时，x＝.
∴C.
(3)已知新抛物线与y轴交于点G，点D(3，y1)，E(x2，y2)在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m＋1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围.
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
且a≠0)的图象经过点B(0，3)，顶点是C，
∴y＝a＋1.把B(0，3)代入，得＋1＝3，解得a＝.
∴y＝＋1.
∵平移后点B的对应点B'落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移h(h＞0)个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的抛物线.
∴新的抛物线的解析式为y＝－2.
把G代入，得－2＝，
解得h＝或h＝－(舍去).
∴y＝－2＝(x－2)2－2.
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2.
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点D(3，y1)关于对称轴的对称点为D'(1，y1).
∵对于满足m＜x2≤m＋1的任意实数x2，y2＞y1总成立，
∴m＋1＜1或m≥3，即m＜0或m≥3.
(2024·江西)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx(a＜0)刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，小球飞行的水平距离x(m)与小球飞行的高度y(m)的变化规律如
下表：
6
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m＝　　，n＝　　；
②小球的落点是A，求点A的坐标；
3
6
解：将点(2，6)，(4，8)代入y＝ax2＋bx，得
　解得，
∴y＝－x2＋4x.
联立，得
解得或
∴点A的坐标为.
(2)小球飞行高度y(m)与飞行时间t(s)满足关系：y＝－5t2＋vt.
①小球飞行的最大高度为 　　m；
②求v的值.
8
y＝－5t2＋vt＝－5＋.
∵小球飞行的最大高度为8 m，
∴＝8，
解得v1＝4，v2＝－4(不符合题意，舍去).
∴v的值为4.(共33张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮 基础复习
第三章　 　函　数
第11讲　反比例函数
1
知识点1　反比例函数的概念
B
－2
知识点2　反比例函数的图象与性质
函数 大致图象 所在象限 增减性 对称性
k＞0 第　　　象限 (x，y同号) 在每一个象限内，y随x的增大而 　　　. 关于原点
成中心对称
k＜0 第　　　象限 (x，y异号) 在每一个象限内，y随x的增大而 　　　. 一、三
减小
二、四
增大
2
B
常见的三种面积类型：

知识点3　反比例函数y＝(k≠0)中k值的几何意义
3
8
(1)用待定系数法确定反比例函数解析式.
(2)用反比例函数中k的几何意义确定反比例函数解析式.
4
知识点4　反比例函数解析式的确定
y＝　
6
反比例函数的图象与性质
(2025·湖南)对于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　)
A.点(2，2)在该函数的图象上
B.该函数的图象分别位于第二、第四象限
C.当x＜0时，y随x的增大而增大
D.当x＞0时，y随x的增大而减小
1
D
(2023·襄阳)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋k与反比例函数y＝的图象可能是(　　)
2
A B C D
A
(2025·徐州)若点A(6，y1)，B(5，y2)都在函数y＝的图象上，则y1
　　y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
3
＞
求反比例函数的解析式及其应用
(2024·河南)如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A.
(1)求这个反比例函数的解析式；
4
解：∵反比例函数 y＝(x＞0) 的图象经过点A(3，2)，
∴将A(3，2)代入y＝，得2＝，解得k＝6.
∴这个反比例函数的解析式为 y＝.
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象；
如图所示.
(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为　　.
反比例函数与一次函数、几何图形综合
(2024·泰安)如图，直线y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝－的图象相交于点A(－2，m)，B(n，－1)，与y轴交于点C.
(1)求直线y1的解析式；
5
解：分别将点A(－2，m)，B(n，－1)代
入y2＝－，得　解得
∴点A坐标为(－2，4)，点B坐标为(8，－1).
把点A(－2，4)，B(8，－1)分别代入 y1＝kx＋b，
得　解得
∴直线y1的解析式为 y1＝－x＋3.
(2)若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
解：由图象知，当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜8.
(3)过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积.
解：把x＝0代入y1＝－x＋3，得y1＝3，
∴C(0，3).
∵CD∥x轴，
∴点D的纵坐标为3.
把y＝3代入y2＝－，得 x＝－，
∴D.∴CD＝.
∴S△ACD＝××(4－3)＝.
(2025·乐山)如图，一次函数y＝x－1的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(m，1)，B(－1，n).
(1)求m，n的值和反比例函数的解析式；
6
解：∵一次函数y＝x－1的图象与反比例函数
y＝(k≠0)的图象交于点A(m，1)，B(－1，n)，
∴m－1＝1，－1－1＝n.
∴m＝2，n＝－2. ∴A(2，1)，B(－1，－2).
将点A(2，1)代入y＝，得1＝，解得k＝2.
∴反比例函数的解析式为y＝.
解：如图，设直线y＝x－1交x轴于点C.
在y＝x－1中，当y＝0时，x＝1.
∴C(1，0).
∵S△APB＝S△APC＋S△BPC＝6，
∴PC·＋PC·＝6，
即×1·PC＋×2PC＝6，解得PC＝4.
∴＝4.∴a＝5或a＝－3.
(2)若在x轴上存在点P(a，0)，使得△ABP的面积为6，求a的值.
(2025·广州)若＝－k(k≠0)，则反比例函数y＝的图象在(　　)
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
1
C
(2024·深圳)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，sin∠AOC＝，且点A落在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点B落在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，则k＝　　.
2
8
(2024·广州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在函数y＝(x＞0)的图象上，A(1，0)，C(0，2).将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'(点A平移后的对应点为A')，A'B'交函数y＝(x＞0)的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积；
③A'E的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O.
其中正确的结论有　　　　　　.(填写所有正确结论的序号)
3
①②④
(2025·连云港)如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝(k2＜0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1.当y1＜y2时，x的取值范围是(　　)
A.x＜－1或x＞1
B.x＜－1或0＜x＜1
C.－1＜x＜0或x＞1
D.－1＜x＜0或0＜x＜1
1
C
(2025·山东)如图，取直线y＝－x上一点A1(x1，y1)，①过点A1作x轴的垂线，交y＝于点A2(x2，y2)；②过点A2作y轴的垂线，交y＝－x于点A3(x3，y3)；如此循环进行下去.按照上面的操作，若点A1的坐标为(1，－1)，则点A2 025的坐标是　　　　.
2
(1，－1)
(2025·内蒙古)已知点A(m，y1)，B(m＋1，y2)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列结论一定正确的是(　　)
A.y1＞y2 B.y1＜y2
C.当m＜0时，y1＜y2 D.当m＜－1时，y1＜y2
3
D
(2025·广安)如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标是
(－8，1)，点B的坐标是(n，－4).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
4
解：把点A(－8，1)代入y＝，得
1＝，解得m＝－8.
∴反比例函数的解析式为y＝－.
把点B(n，－4)代入y＝－，得
－4＝－，解得n＝2.∴B(2，－4).
把点A(－8，1)，B(2，－4)代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝－x－3.
(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式kx＋b＞的解集.
解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数
图象上方时，自变量的取值范围为x＜－8或0＜x＜2，
∴关于x的不等式kx＋b＞的解集为x＜－8或0＜x＜2.
(2025·宁夏)函数y＝(k1≠0)和y＝(k2≠0)的部分图象如图所示，点A在y＝的图象上，过点A作AB∥ y轴交x轴于点C，交y＝的图象于点B.若AC＝3BC，则的值为(　　)
A.－3 B.－
C. D.3
5
A
在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P.
(1)求m的值；
6
解：∵P(1，m)为反比例函数y＝图象上的一点，
∴m＝＝4.
(2)若PA＝2AB，求k的值.
解：令kx＋b＝0， ∴x＝－. ∴A(－，0).
令x＝0，得y＝b，∴B(0，b).
∵PA＝2AB，如图，可分为以下两种情况：
①当点B在y轴正半轴时，b＞0，
∵PA＝2AB，过点P作PH⊥x轴，交x轴于点H.
又B1O⊥A1H，∠PA1O＝∠B1A1O，∴△A1OB1∽△A1HP.
∴＝＝＝. ∴B1O＝PH＝4×＝2，A1O＝A1H.
∴b＝2.∴A1O＝OH＝1. ∴＝1. ∴k＝2.
②当点B在y轴负半轴时，b＜0，过点P作PQ⊥y轴，
∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O＝∠PB2Q，
∴△A2OB2∽△PQB2.
∴＝＝ ＝. ∴A2O＝＝PQ＝，
B2O＝B2Q＝OQ＝＝2.
∴b＝－2，k＝6.
综上所述，k＝2或k＝6.
(2025·北京)如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y＝(x＞0)的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N(M，N不重合).给出下面四个结论：
①△COM与△CON的面积一定相等；
②△MON与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是(　　)
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
7
B(共30张PPT)
知识梳理
核心考点
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巩固训练
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第三章　 　函　数
第9讲　平面直角坐标系与函数的概念
知识点1　平面直角坐标系中点的坐标特征
点在各象限内 点在坐标轴上

第一象限：x＞0，y＞0； 第二象限：x＜0，y＞0； 第三象限：x＜0，y＜0； 第四象限：x＞0，y＜0. 点在x轴上时，该点　　坐标等于0；
点在y轴上时，该点　　坐标等于0.
纵
横
点在各象限角平分线上 点在平行于坐标轴的直线上

第一、三象限角平分线上的点： xA＝yA； 第二、四象限角平分线上的点： xB＝－yB. 平行于x轴的直线上，所有点的
　　坐标都相等；平行于y轴的直线上，所有点的　　坐标都相等.
纵
横
　 (1)点(－3，3)所在的象限是第　　象限，点(－4，0)是　　轴上的点.
(2)若点P(m＋2，m＋1)在y轴上，则m的值为　　.
(3)已知点P(m－2，1)：
①点P在第二、四象限的角平分线上，则m＝　　 ；
②点P与点(3，－2)在平行于y轴的直线上，则m＝　　.
1
二
x
－2
1
5
知识点2　平面直角坐标系中相关距离
　
　 已知点P(3，－2)，Q(2，4).
(1)点P到x轴的距离为　　；
(2)点P到y轴的距离为　　；
(3)点P到原点的距离为　　　；
(4)连接PQ，则PQ的中点坐标为　　　　，PQ＝　　　　.
2
2
3
　
点的对称 点的平移(左减右加，上加下减)

知识点3　点的对称与平移
　 (1)点(5，4)关于x轴对称的点的坐标为　　　　，关于y轴对称的点的坐标为　　　　，关于原点对称的点的坐标为　 　 　　.
(2)将点(4，－3)向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的点的坐标为　　　　.
3
(5，－4)
(－5，4)
(－5，－4)
(2，0)
知识点4　函数的有关概念
变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量为　　　，数值始终不变的量为　　　.
函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
函数值 如果当x＝a时，y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
表示方法 解析式法、列表法、图象法.
自变量的 取值范围 ①整式型，自变量的取值范围：全体实数；
②分式型，自变量的取值范围：分母不为0；
③二次根式型，自变量的取值范围：被开方数大于或等于0.
变量
常量
4
C
x≥0且x≠1
知识点5　函数的图象
概念 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
画图步骤 一般步骤：①列表；②描点；③连线.
　 用列表、描点法画出函数y＝2x＋4的图象.

5
x －3 －2 －1 0 1 2
y
－2
0
2
4
6
8
象限内点的坐标特征
(2025·河北)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1
C
(2025·宿迁)点P(1，a＋2)在第一象限，则实数a的取值范围是　　　 .
2
(2024·宿迁)点P(a2＋1，－3)在第　　象限.
3
a＞－2
四
点的对称与平移
(2024·河北模拟)在平面直角坐标系中， ABCD的对角线交点落在原点处，已知点A的坐标为(－4，3)，则点C的坐标为(　　)
A.(4，3) B.(4，－3)
C.(－4，－3) D.(3，－4)
4
B
(2024·雅安模拟)在平面直角坐标系中，将点P(1，－1)向右平移2个单位长度后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是　　　　.
5
(3，1)
函数自变量的取值范围
(2025·黑龙江)在函数y＝中，自变量x的取值范围是　　　　.
6
(2024·齐齐哈尔)在函数y＝＋中，自变量x的取值范围是　　 　 　 .
7
x≠－3
x＞－3且x≠－2
函数图象及其应用
(2024·青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B.未加入絮凝剂时，净水率为0
C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的
增加量相等
D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54％
8
D
(2025·常州)小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300 m、1 800 m.若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1 m/min、v2 m/min的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达.现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以v2 m/min的速度匀速前往图书馆，小华先以v1 m/min的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2 m/min的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y(m)与行进时间x(min)之间的函数图象可能是(　　)
9
A　 B　 C　 D
A
(2022·广东)在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移2个单位长度后，得到的点的坐标是(　　)
A.(3，1) B.(－1，1)
C.(1，3) D.(1，－1)
1
A
(2020·广东)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为(　　)
A.(－3，2) B.(－2，3)
C.(2，－3) D.(3，－2)
2
D
(2025·广东)在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x(km)之间的关系如图所示.当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正确的是(　　)
A.电池能量最多可充400 W·h
B.摩托车每行驶10 km消耗能量300 W·h
C.一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km
D.摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警
3
C
在平面直角坐标系中，若点A(a，3)与点B(－2，b)关于y轴对称，则点M(b，a)所在的象限是(　　)
A.第二象限 B.第四象限
C.第一象限 D.第三象限
1
C
在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为( )
A.(－4，5) B.(－5，4)
C.(4，－5) D.(5，－4)
2
D
(2024·江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为(　　)
3
A B C D
C
(2025·东莞模拟)已知点A(－3，2)，B(a，a＋1)，且AB∥ x轴，则a的值为(　　)
A.－3 B.－4
C.2 D.1
4
D
(2025·德阳)△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是　 　　 .(写出一个即可)
5
(2，1)(答案不唯一)
平面直角坐标系第二象限内的点P(x2－5x＋1，3)与另一点Q(4x－1，y)关于原点对称，试求x－y的值.
6
解：∵点P(x2－5x＋1，3)与点Q(4x－1，y)关于原点对称，
∴
解得x1＝0，x2＝1；y＝－3.
∵点P在第二象限，
∴x2－5x＋1＜0.∴x＝1.
∴x－y＝1－(－3)＝4.
(2025·内江)对于正整数x，规定函数f(x)＝在平面直角坐标系中，将点(m，n)中的m，n分别按上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标(其中m，n均为正整数).例如，点(8，5)经过第1次运算得到点(4，16)，经过第2次运算得到点(2，8)，经过第3次运算得到点(1，4)，经过有限次运算后，必进入循环圈.按上述规定，将点(2，1)经过第2 025次运算后得到的点是(　　)
A.(2，1) B.(4，2) C.(1，2) D.(1，4)
7
A
(跨学科融合)在化学实验中，小明研究a，b，c三种固体物质的溶解度，这三种固体物质的溶解度与温度对应的图象如图所示.下列说法正确的是(　　)
A.a，b，c三种物质的溶解度都随温度的升高而变大
B.a，b，c三种物质中，c物质的溶解度最小
C.温度为t2℃时，a，b，c三种物质的溶解度由
大到小的顺序是a＞b＞c
D.温度为t1℃时，b，c两种物质的溶解度相等
8
D(共35张PPT)
知识梳理
核心考点
广东、广州、深圳中考真题
巩固训练
第一轮 基础复习
第三章　 　函　数
第13讲　二次函数的综合运用
知识点　二次函数的实际应用
(1)将实际问题转化为数学问题进行解决，主要考查利润最大、方案最优、面积最大等问题.
(2)一般步骤：
①先分析问题中的变量关系，列出函数关系式；
②确定自变量的取值范围；
③分析所得函数的性质；
④解决提出的问题.
某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元/件，销售单价x(单位：万元)与销售量y(单位：件)的关系如表所示：
(1)求y与x的函数关系式；




x/万元 10 12 14 16
y/件 40 30 20 10
解：由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，
设y＝kx＋b(k≠0).
则　解得
∴y与x的函数关系式为y＝－5x＋90.
(2)当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？






x/万元 10 12 14 16
y/件 40 30 20 10
解：设该产品的销售利润为w万元.
由题意，得w＝y(x－8)＝(－5x＋90)(x－8)＝－5x2＋130x－720＝－5(x－13)2＋125.
∵－5＜0，
∴当x＝13时，w最大，最大值为125.
答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元.
二次函数的实际应用
(2024·辽宁模拟)已知从甲地到乙地的距离为240 km，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0＜v≤60)的关系式为Q＝0.000 026v3－0.004 16v2＋0.291 475v，求当从甲地到乙地这辆车的总耗油量最少时，其速度v的大小.
1
解：设总耗油量为y L.根据题意，得
y＝Q·＝(0.000 026v3－0.004 16v2＋0.291 475v)，
即y ＝240(0.000 026v2－0.004 16v＋0.291 475)(0＜v≤60).
∵240＞0，
∴此函数图象开口向上，对称轴为直线v＝＝80.
∵0＜v≤60，
∴当速度为60 km/h时，总耗油量最少.
答：当从甲地到乙地这辆车的总耗油量最少时，汽车速度的大小为
60 km/h.
二次函数中的抛物型问题
(2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.其中，正确结论的个数
是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
2
C
(2025·新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展.隧道截面图如图所示，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽
12 m，高8 m，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
3
解：由题意，得顶点为，即(6，8)，
设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋8(a≠0).
代入点(12，0)，得a(12－6)2＋8＝0，
解得a＝－.
∴抛物线解析式为y＝－(x－6)2＋8(0≤x≤12).
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m(中心线宽度不计).若宽3 m，高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
解：能安全通过.理由如下：
如图.
由题意，得xA＝－－3＝2，
将x＝2代入y＝－(x－6)2＋8，
得y＝－×(2－6)2＋8＝.
∵－3.5＝＞0.5， ∴能安全通过.
与二次函数相关的综合题
(2024·福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2).
(1)求二次函数的解析式；
4
解：将A(－2，0)，C(0，－2)代入 y＝x2＋bx＋c，
得　解得
∴二次函数的解析式为y＝x2＋x－2.
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.
解：根据题意，设P(m，n)(m＜0，n＞0)，
∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴＝2.∴＝2，即＝2.
又CO＝2，∴n＝2CO＝4.
由m2＋m－2＝4，得m1＝－3，m2＝2 (舍去).
∴点P坐标为 (－3，4).
(2024·遂宁节选)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)，P，Q为抛物线上的两点.
(1)求二次函数的解析式；
5
解：由题意，得y＝a(x＋1)(x－3)＝
a(x2－2x－3)，则－3a＝－3，∴a＝1.
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标.
解：∵抛物线的对称轴为x＝－＝－＝1，
点P，C关于抛物线对称轴对称，
∴点P(2，－3).
设Q(m，m2－2m－3).
∵∠OPQ＝90°，∴OP2＋PQ2＝OQ2.
∴[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－m)2＋(－3－m2＋2m＋3)2]
＝m2＋(m2－2m－3)2，
整理，得3m2－8m＋4＝0，
解得m1＝，m2＝2(舍去).
∴Q.
(2025·广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高
0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式.
1
解：如图，建立平面直角坐标系.
则抛物线顶点坐标为(0，0.001 5)，
A，即A(0.85，0.18).
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋0.001 5.
将A(0.85，0.18)代入y＝ax2＋0.001 5，得
0.18＝0.852a＋0.001 5，解得a＝.
∴该抛物线的解析式为y＝x2＋0.001 5.
(2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100 t.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50 t.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.
2
解：设该果商定价x(2＜x≤5)万元/t时，每天的“利润”为w万元，每天的“销售收入”为y万元.
w＝(x－2)[100＋50(5－x)]＝－50(x－4.5)2＋312.5，
∵－50＜0，
∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5.
y＝x[100＋50(5－x)]＝－50(x－3.5)2＋612.5.
∵－50＜0，
∴当x＝3.5时，y有最大值，最大值为612.5.
答：该果商定价为4.5万元/t时才能使每天的“利润”最大，其最大值为312.5万元，该果商定价为3.5万元/t时才能使每天的“销售收入”最大，其最大值为612.5万元.
(2025·甘肃)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是(　　)
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75m
1
B
(2025·连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运动，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为
　　m.
2
8
某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(单位：kg)和每千克的售价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中50≤x≤80.
(1)求y关于x的函数解析式；
3
解：设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b.
把(50，100)，(80，40)代入y＝kx＋b中，
得　解得
∴y＝－2x＋200(50≤x≤80).
(2)若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
解：设该电商每天获得的利润为w元.
则w＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8 000＝
－2(x－70)2＋1 800.
∵－2＜0，50≤x≤80，
∴当x＝70时，w取得最大值为1 800.
答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是
1 800元.
(2024·徐州)如图，A，B为一次函数y＝－x＋5的图象与二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4.P为二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA，PB.
4
(1)求b，c的值；
解：当x＝0时，y＝－x＋5＝5；
当x＝4时，y＝－x＋5＝1.
∴A(0，5)，B(4，1).
∴　解得
(2)求△PAB的面积的最大值.
解：由(1)，得二次函数的解析式为y＝x2－5x＋5.
设P(m，m2－5m＋5)，如图，作PE∥ OA交AB于点E.
∴E(m，－m＋5).
∴PE＝4m－m2.
∴S△ABP＝(4m－m2)×(4－0)＝－2(m－2)2＋8.
当m＝2时，S△ABP取最大值，为8.
∴△PAB的面积的最大值为8.
(2024·浙江)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点
A(－2，5)，对称轴为直线x＝－.
(1)求二次函数的解析式；
5
解：设二次函数的解析式为y＝＋k.
把A(－2，5)代入，得＋k＝5. 解得k＝.
∴y＝＋＝x2＋x＋3.
(2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值；
解：由(1)知，二次函数的解析式为y＝x2＋x＋3.
点B平移后的对应点的坐标为(1－m，9)，
则9＝(1－m)2＋(1－m)＋3，
解得m＝4或m＝－1(不符合题意，舍去).
∴m的值为4.
(3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围.
解：由(1)知，二次函数的解析式为y＝＋.
由题知n＞－2.
当－2＜n＜－时，最大值与最小值的差为5－＝，
解得n1＝n2＝－，不符合题意，舍去；
当－≤n≤1时，最大值与最小值的差为5－＝，符合题意；
当n＞1时，最大值与最小值的差为
＋－＝，
解得n＝1或n＝－2，不符合题意，舍去.
综上所述，n的取值范围为－≤n≤1.
(2024·武汉改编)为了解某种火箭的运行路径，某科技小组利用信息技术进行模拟.火箭第一级运行路径为抛物线，当火箭运行的水平距离 为9 km时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－x＋b.
6
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km.
①直接写出a，b的值；
解：a＝－，b＝8.1.
②火箭的运行路径上，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低
1.35 km，求这两个位置之间的距离；
解：由①知，y＝－x＋8.1，y＝－x2＋x，
∴y＝－x2＋x＝－＋(0≤x≤9).
∴火箭运行的最高点是 km.
当－1.35＝2.4(km)时，则－x2＋x＝2.4.
解得x1＝12＞9(不符合题意，舍去)，x2＝3.
由(1)，得y＝－x＋8.1，
令－x＋8.1＝2.4，解得x＝11.4.
11.4－3＝8.4(km).
∴这两个位置之间的距离为8.4 km.
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过
15 km.
－＜a＜0.
解析：设火箭第二级的引发点为(9，81a＋9)，
将(9，81a＋9)代入y＝－x＋b，得81a＋9＝－×9＋b.
整理得b＝81a＋，即y＝－x＋81a＋.
令y＝0，得x＝162a＋27.
由题意，得解得－＜a＜0.

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