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(共23张PPT)
第一部分 教材考点探究
第一章　数与式
第3课时　因式分解
概 念 把一个 　① 化成几个整式的 　② 的形式，像这样 的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解 因式
关 系 因式分解与整式乘法都是多项式的恒等变形，它们互为逆运算
多项式
积
C
公因式 多项式各项都含有的 　③ ，叫作这个多项式的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式
步骤 系数：取各项系数的最大公约数；
字母：取各项相同的字母因式；
指数：取各项相同字母的最低次数.
用式子表示：
ma＋mb＋mc＝ 　④
因式
m(a＋b＋c)
例2 因式分解：
(1)x2＋3x＝ ；
(2)ab－2b＝ ；
(3)xy2－4xy＝ .
变式2 因式分解：
x(x－y)＋y(y－x)＝ .
x(x＋3)　
b(a－2)　
xy(y－4)　
(x－y)2　
平方差公式 a2－b2＝ 　⑤
完全平方公式 a2±2ab＋b2＝ 　⑥
*十字相乘法 x2＋(p＋q)x＋pq＝ 　⑦
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
(x＋p)(x＋q)
例3 因式分解：
(1)m2－36＝ ；
(2)a2－4a＋4＝ ；
(3)9a2－6ab＋b2＝ ；
(4)x2－2x－8＝ .
(m－6)(m＋6)　
(a－2)2　
(3a－b)2　
(x－4)(x＋2)　
一提 如果多项式各项都含有公因式，那么第一步是提取这个公因式
二套 如果多项式各项没有公因式，那么第一步考虑用公式法分解因式
三审 分解因式以后，若所含多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式的因式都不能分解为止
例4 因式分解：
(1)4a2－4＝ ；
(2)x3－6x2＋9x＝ .
变式4-1 因式分解：
(1)x2y－4y3＝ ；
(2)x2y＋12xy＋36y＝ .
4(a＋1)(a－1)　
x(x－3)2　
y(x＋2y)(x－2y)　
y(x＋6)2　
解：原式＝9a2(x－y)－4b2(x－y)
＝(x－y)(9a2－4b2)
＝(x－y)(3a＋2b)(3a－2b).
＝1 012.
解：∵x＋2y＝－1，
∴x2－4y2＋2x
＝x＋2y
＝－1.
解：∵a2－ac＝b2－bc，
∴a2－b2－ac＋bc＝0.
∴(a－b)(a＋b－c)＝0.
又a＋b＞c，即a＋b－c＞0，
∴a－b＝0，即a＝b.
∴△ABC是等腰三角形.
D
A
B
4. 因式分解：
(1)x3－25x＝ ；
(2)3ax2－6axy＋3ay2＝ ；
(3)x(y－1)＋4(1－y)＝ ；
(4)(x＋2)(x＋4)＋1＝ .
5. 已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝ .
x(x＋5)(x－5)　
3a(x－y)2　
(y－1)(x－4)　
(x＋3)2　
－6　
解：原式＝992＋2×101×99＋1012
＝(99＋101)2
＝2002
＝40 000.
解：原式＝2 0252－(2 025－1)(2 025＋1)
＝2 0252－(2 0252－1)
＝2 0252－2 0252＋1
＝1.
D
9. 阅读下列题目的解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC 的形状.
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2).②
∴c2＝a2＋b2.③
∴△ABC是直角三角形.
解答下列问题：
(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号： .
(2)错误的原因为 .
③　
没有考虑a＝b的情况　
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2).
∴c2(a2－b2)－(a2－b2)(a2＋b2)＝0.
∴(c2－a2－b2)(a2－b2)＝0.
∴c2＝a2＋b2或a＝b.
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.
解：∵(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)]·[(n＋7)－(n－5)]
＝12(2n＋2)
＝24(n＋1)，
∴(n＋7)2－(n－5)2能被24整除.(共42张PPT)
第一部分 教材考点探究
第一章　数与式
第2课时　代数式与整式
列代数式 用含有数、 　① 和运算符号的式子把问题中的数量关系表示出来
代数式
求值 (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，计算求值；
(2)整体代入法：a.观察已知条件和所求代数式的关系；b.通过提公因式、公式法等，将所求代数式变形后用已知代数式表示；c.把已知代数式看成一个整体代入求值
字母
(100m＋50n)　
B
A
5　
简单
数式
规律 (1)正整数型：一列正整数：1，2，3，…，依照此规律，第n(n≥1)个数是 　② ，这n(n≥1)个数的和为 　③ .
(2)奇偶型：a.一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，第n(n≥1)个数是 　④ ，这n(n≥1)个数的和为 　⑤ ；
b.一列数：2，4，6，8，…，依照此规律，第n(n≥1)个数是 ⑥ ，这n(n≥1)个数的和为 　⑦ ；
n
2n－1
n2
2n
n2＋n
简单
数式
规律 c.一列数：－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，第n(n≥1) 个数是 　⑧ ；
d.一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，第n(n≥1)个 数是 　⑨ .
(3)平方型：一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，第n(n≥1)个数是 　⑩ .
(4)固定累加型：一列数：4，7，10，…，依照此规律，第n(n≥1)个数是 　 .
(－1)n
(－1)n＋1
n2
3n＋1
简单
数式
规律 (5)乘积型：一列数：1，3，6，10，…，依照此规律，第 n(n≥1)个数是 　 .
(6)循环规律型：若坐标系中一点绕原点O顺时针旋转，每次旋 转60°，则旋转 　 次为一个循环；每次旋转90°，则旋 转 　 次为一个循环；每次旋转45°，则旋转 　 次为一个循环
6
4
8
B
单 项 式 概念 由数或字母的 　 表示的式子.单独的一个数或一个字母也是单项式，如4，m，a
系数 单项式中的 　
次数 一个单项式中所有字母的指数的 　
积
数字因数
和
多 项 式 概念 几个单项式的 　 ，如m＋n3＋4
项 多项式中的每个单项式，不含字母的项叫 作 　
次数 一个多项式中次数最高项的次数
整式 　 与多项式统称为整式
和
常数项
单项式
同类项 所含 　 相同，并且相同字母的 　 也相同的项称为同类项.几个常数项也是同类项
字母
指数
①③　
②④　
①②③④　
4　
4　
4　
5　
B
C
合并同类项 把同类项的 　 相加减，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数 　 ，如4xy2＋5xy2＝9xy2
系数
不变
去括 号法 则 (1)括号前是“＋”号，去括号后括号内各项 　 ，如 a＋(b＋c)＝a＋b＋c；
(2)括号前是“－”号，去括号后括号内每一项都 　 ， 如a－(b－c)＝a－b 　 c.
口诀：“＋”不变，“－”变.
拓展：添括号法则：a－b－c＝a－( 　 )
运算
法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再
不变号
变号
＋
b＋c
合并同类项
C
D
解：原式＝2x3－4y2－x＋2y－x＋3y2－2x3
＝－y2－2x＋2y.
当x＝－3，y＝－2时，
原式＝－(－2)2－2×(－3)＋2×(－2)
＝－4＋6－4
＝－2.
(m，n为正整数，a≠0，b≠0)
同底数幂相乘 底数不变， 　 ，
即am·an＝ 　
同底数幂相除 底数不变， 　 ，
即am÷an＝ 　
指数相加
am＋n
指数相减
am－n
幂的乘方 底数不变， 　 ，即(am)n＝ 　
积的乘方 先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂 　 ，即(ab)n＝ 　
指数相乘
amn
相乘
anbn
D
D
单×(÷)单 (1)系数：系数与系数相乘(除)作为积(商)的系数；
(2)相同字母：同底数幂相乘(除)作为积(商)的一个因式；
(3)单独字母：单独含有的字母连同它的指数作为积的一个因式(只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式)
单×多 单×多 单×单 整式的加减
例：m(a＋b)＝ma＋mb
多×多 多×多 单×多 单×单 整式的加减
例：(m＋n)(a＋b)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
多÷单 多÷单 单÷单 整式的加减
例：(m＋n)÷a＝m÷a＋n÷a
6a3b2　
2a2－2a　
2a2＋3a－2　
2ab2　
3a2－ab＋1　
解：原式＝a2＋2a－a2
＝2a.
解：∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1.
(x＋2)(x－2)＋x(x－6)
＝x2－4＋x2－6x
＝2x2－6x－4
＝2(x2－3x)－4
＝2×(－1)－4
＝－6.
(2022年版课标新增利用乘法公式进行简单的推理)
平方 差公 式 (1)公式：(a＋b)(a－b)＝ 　 ；
(2)几何背景：
a2－b2
完全 平方 公式 (1)公式：(a±b)2＝ 　 ；
(2)几何背景：
a2±2ab＋b2
1. 常用的平方差公式变形：
(1)(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2；
(2)(－a－b)(a－b)＝b2－a2.
2. 常用的完全平方公式变形：
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； (2)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
(3)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (4)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
C
24　
解：原式＝(a2－1)－(a2－4a＋4)
＝4a－5.
解：原式＝9x2＋12xy＋4y2－(9x2－y2)
＝9x2＋12xy＋4y2－9x2＋y2
＝12xy＋5y2.
＝－4＋5
＝1.
A
A
D
C
A
D
－3　
7　
29　
解：原式＝x2－2xy＋y2＋x2－xy
＝2x2－3xy＋y2.
解：原式＝2x2－x－2(x2－4)
＝2x2－x－2x2＋8
＝8－x.
解：原式＝－6a2＋3ab＋4a2＋4ab－24＝－2a2＋7ab－24.
＝－40.
A
11. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如 图所示数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为C1＝1＋1＝2，第二个展开式中各项系数的和为C2＝1＋2＋1＝4，第三个展开式中各项系数的和为C3＝1＋3＋3＋1＝8，第四个展开式中各项系数的和为C4＝1＋4＋6＋4＋1＝16，
……记第n个展开式中各项系数的和为Cn.根据图中各式的规律，解答下列问题：
(1)(a－b)5＝ ；
a5－5a4b＋10a3b2－10a2b3＋5ab4－b5　
解：根据题意，可得规律：Cn＝2n.
则C2 026＝22 026，C2 025＝22 025，(共30张PPT)
第一部分 教材考点探究
第一章　数与式
第4课时　分式
定义
字母
三个
条件
B≠0
B＝0
A＝0且B≠0
B
x≠－3　
2　
基本
性质
约分 把一个分式的分子与分母的 　⑦ 约去，不改变分式的值
不等于0
不变
公因式
通分 把几个 　⑧ 的分式分别化成与原来的分式相等的 　⑨ 分式
最简分式 分子与分母没有 　⑩ 的分式
最简公
分母 一般取各分母所有因式最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母.
提醒：如果分母是多项式，那么应先把每个能因式分解的分母因式分解，然后再求最简公分母
公因式
异分母
同分母
C
B


B
乘除
运算
乘方
运算


加减
运算
混合
运算 运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面 的；
实数的运算法则、各种运算律也适用于分式的运算.
提醒：分式运算的结果要化成最简分式或整式
C
A
B

②　
④　
解：选择小红的解法：
(小莉的解法略)
A
D
B
A
A
C
x≠3　

－x－2　
解：从第②步开始出现错误.正确的解题过程如下：

＝1.
A
C
7　
＝a＋1.
∵分式要有意义，
∴a≠0且a≠1.
∴a＝－1或a＝2.(共27张PPT)
第一部分 教材考点探究
第一章　数与式
第5课时　二次根式
相 关 概 念
大于或等于0
分母
性 质
a


≥
＞
x≥5　
x＞1　
x≤2且x≠1　
6(答案不唯一)　
C
B
A
2　
1　
加减
运算 (1)运算实质：同类二次根式的合并；
(2)步骤：a.化为 ⑨ 二次根式；
b.合并 ⑩ 二次根式
最简
同类
乘除
运算



C
1. 确定与二次根式相邻的两个连续整数
步骤 示例
(1)先对二次根式平方；
(2)找出与二次根式平方后所得数字相邻 的两个开得尽方的整数；
(3)对以上两个整数开方；
(4)确定这个二次根式的值在开方后所得 的这两个整数之间
2. 确定与二次根式最接近的整数
步骤 示例
(1)确定二次根式在哪两个整数之间；
(2)求这两个整数的平均数；
(3)对二次根式和平均数进行平方：若二次根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，反之，离较小的整数近
3　
1　
D
D
A
D
D
B
D
x≥－1且x≠2　
1　
3　
＝0.
C
A
13. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为1和6，则图中阴 影部分的面积为 .(共52张PPT)
第一部分 教材考点探究
第一章　数与式
第1课时　实数
0
0
2. 正负数的意义(2022年版课标新增)
用正数和负数表示一对具有相反意义的量，一般规定其中一个量为正 (＋)，则另一个量为负(－).如：若规定向东为正(＋)，则向西为负(－).
在数轴上用圆规和直尺表示无理数.(2022年版课标新增)
作法
图示
依据 利用勾股定理画出斜边长为无理数的直角三角形
(1)正数： ； (2)负有理数： ；
(3)无理数： ； (4)整数： ；
(5)负分数： ； (6)非负整数： .
⑤⑥⑦⑩ 　
①③⑧　
④⑦⑨ 　
①②⑥　
③⑧　
②⑥　
例2 若向东走80 m记作＋80 m，则向西走60 m记作 .
变式2 如果收入10元记作＋10元，那么－3元表示 .
－60 m　
支出3元　
数 轴 (1)三要素：
(2) 　⑤ 与数轴上的点是一一对应的，它们从左到右的顺 序，就是从小到大的顺序；
(3)数轴上两点之间的距离：若数轴上A，B两点所表示的数分别为 a，b，则A，B两点之间的距离为 　⑥
实数
｜a－b｜
相 反 数
－a
0
－1
相等
绝 对 值
越大
倒 数 (1)非0实数a的倒数为 　 ；
(2)实数a，b互为倒数 ab＝ 　 ；
(3)0没有倒数；
(4)倒数等于它本身的数是 　
1
±1
A
A
D
例4 如图，观察数轴，并解答下面的问题.
(1)点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，点A与点B之间的距离是 .
(2)到点B的距离为4个单位长度的点表示的数是 .
(3)将点A向右移动7个单位长度到点C，则点C表示的数是 ；将点A
先向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，则终点表示的数 是 .
－4　
2　
6　
6或－2　
3　
－6　
科 学 记 数 法 (1)表示形式：a×10n，其中 　 ≤｜a｜＜ 　 ，n 为整数.
(2)常见单位换算：
a.计数单位：1千＝ 　 ，1万＝1×104，
1亿＝ 　 ，1万亿＝ 　 ；
b.计量单位：1 mm＝ m，1 μm＝ m，
1 nm＝ m，1 km＝1×103m，1 h＝ s，
1 m/s＝3.6 km/h，1 t＝1×103 kg，1 kg＝1×103 g
1
10
1×103
1×108
1×1012
1×10－3
1×10－6
1×10－9
3.6×103
近似数与 精确度 (1)近似数：与实际接近但存在一定的偏差的数，如π取3.14，身高约为165 cm等；
(2)精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度来表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位
B
变式5 (1)“海葵一号”是我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产 储卸油装置，是集原油生产、存储、外输等功能于一体的海洋装备，最 大储油量达6万吨.数据60 000用科学记数法表示为 .
(2)数据0.000 008 4用科学记数法表示为 .
(3)数据140万用科学记数法表示为 .
6×104　
8.4×10－6　
1.4×106　
B
数轴法 在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 　
性质法 正数＞0＞负数；两个负数比较大小， 　 大的数反而小
作差法 设a，b是任意两个实数，若a－b＞0，则a 　 b；若a－b＝0，则a 　 b；若a－b＜0，则a 　 b
大
绝对值
＞
＝
＜
特殊法
＞
＞
＞
＝
＜
＞
A
A
变式7-2 (2025贵州)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a与b 的大小关系是a b(填“＞”“＜”或“＝”).
＜　
平方根 正数a的平方根是 　 ，0的平方根是0，负数没有平方根
算术平方根 正数a的算术平方根是 　 ，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根
立方根 实数a的立方根是 　 ，立方根的被开方数为任意实数，其符号与立方根的符号相同
3　
－3　
±2　
B
C
解：∵实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于y，
∴x－y＝27－4＝23.
1. 实数的运算法则、运算律及运算顺序
运 算 法 则 加法法则 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加
异号两数相加：绝对值相等时，和为 ；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数：a－b＝a＋(－b)
乘除法则 两数相乘(除)，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘(除)；任何数同0相乘后都得0；
0除以任何一个不等于0的数，都得0
0
运 算 律 交换律 加法交换律：a＋b＝b＋a；
乘法交换律：ab＝ba
结合律 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)
分配律 a(b＋c)＝ab＋ac
运算 顺序 先乘方，再乘除，最后加减；
如有括号，先进行括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行；
同级运算，从左到右进行
2. 实数常考运算
乘方
零次幂 a0＝ 　 (a≠0)
1
负整数
指数幂 a－n＝ 　 (a≠0，n是正整数)，特别地，a－1 ＝ 　 (a≠0)
去绝对
值符号
特殊角
的三角
函数值
＝2－4＋1
＝－1.
解：原式＝4－1＋3－1
＝5.
C
D
C
4. 亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m －415 －28 －156 －40
A
B
A
C
C
C
D
－2　
1　
＝3－3＋2
＝2.
＝4.
＝2.
＝3.
B
D
4×10－10
17. 定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn－mn(m，n均为整 数，且m≠0).例：2*3＝23－2×3＝2，则(－2)*2＝ .
8　

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