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(共21张PPT)
第二章　不等式与不等式组
4　一元一次不等式组
第1课时　一元一次不等式组的概念及解法
将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人
分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学
生的人数.设九（1）班有学生x人，你能列出哪些不等式？
解：
　一元一次不等式组的概念
定义：一般地，关于① 的几个② 合在
一起，就组成一个一元一次不等式组.
温馨提示：（1）不等式组中的未知数只能是③ 未知数；（2）组
成不等式组的不等式可以是多个，地位均等.
【例1】下列各项中，是一元一次不等式组的是（　D　）.
同一个未知数
一元一次不等式
同一个
D
A. B.
C. D.
（2024·新郑市多校联考期中）下列不是一元一次不等式组的是
（　C　）.
A. B.
C. D.
C
　一元一次不等式组的解集
定义：一元一次不等式组中各个不等式的解集的④ 部分，叫做这个
一元一次不等式组的解集.
解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.
解不等式组的步骤：（1）求出不等式组中的⑤ 的解集；
（2）在数轴上把各个不等式的解集分别表示出来；（3）找出各个不等式解
集的⑥ ，进而确定不等式组的解集.
公共
各个不等式
公共部分
不等式组
数轴表示
解集 ⑦ ⑧
⑨
⑩
口诀 同大取大 同小取小 大小小 大中间找 大大小
小找不到
x＞2
x＜－1
－1＜x＜2
无解
【例2】解不等式组，并把解集表示在数轴上.
解：
解不等式①，得x＜0，
解不等式②，得x＜－ ，
∴不等式组的解集为x＜－ .
在数轴上表示如图.
解不等式组：
解：由①得x＞－1，由②得x≤3.
∴此不等式组的解集为－1＜x≤3.
解：
解不等式①，得x＞2，
解不等式②，得x≤4，
∴原不等式组的解集为2＜x≤4.
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示.
【例3】（根据教材第72页例2改编）解不等式组，并把解集表示在数轴上.
（2024·宝安区10校联考期中）解不等式组 并把
解集在数轴上表示出来.
解：
解不等式①，得x＜4；
解不等式②，得x≥1.
∴原不等式组的解集为1≤x＜4.在数轴上表示如图.
1. 如果点P（1－x，x－3）在平面直角坐标系的第三象限内，那么x的取
值范围在数轴上可表示为（　D　）.
D
2. （2024·福田外国语学校期中）解不等式组：
解：
解不等式①，得x≥－4；
解不等式②，得x＜9.
故不等式组的解集为－4≤x＜9.
3. （2024·宝安区期末）解不等式组： 并把它的解集在
数轴上表示出来.
解：
解不等式①，得x≤3；
解不等式②，得x＞－2.
∴不等式组的解集为－2＜x≤3.
在数轴上表示如图.
4. 如果一次函数y＝（2－m）x＋m－3的图象经过第二、三、四象限，求
m的取值范围.
解：∵一次函数y＝（2－m）x＋m－3的图象经过第二、三、四象限，
∴ 解得2＜m＜3.
5. （根据教材第74页习题2.4第3题改编）若关于x的一元一次不等式组
的解集为x＜2，则a的取值范围是 .
a≥2
参考答案
【新课引入】
解：
【新课导学】
①同一个未知数 ②一元一次不等式 ③同一个
【例1】 D
变式训练1　C
④公共 ⑤各个不等式 ⑥公共部分 ⑦x＞2 ⑧x＜－1
⑨－1＜x＜2 ⑩无解
【例2】　解：
解不等式①，得x＜0，
解不等式②，得x＜－ ，
∴不等式组的解集为x＜－ .
在数轴上表示如图.
变式训练2　解：由①得x＞－1，由②得x≤3.
∴此不等式组的解集为－1＜x≤3.
【例3】　解：
解不等式①，得x＞2，
解不等式②，得x≤4，
∴原不等式组的解集为2＜x≤4.
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示.
变式训练3　解：
解不等式①，得x＜4；
解不等式②，得x≥1.
∴原不等式组的解集为1≤x＜4.
在数轴上表示如图.
【随堂小测】
1. D 2.解：
解不等式①，得x≥－4；
解不等式②，得x＜9.
故不等式组的解集为－4≤x＜9.
3. 解：
解不等式①，得x≤3；
解不等式②，得x＞－2.
∴不等式组的解集为－2＜x≤3.
在数轴上表示如图.
4. 解：∵一次函数y＝（2－m）x＋m－3的图象经过第二、三、四象限，
∴ 解得2＜m＜3.
5. a≥2(共19张PPT)
第二章　不等式与不等式组
1　不等式及其性质
第3课时　不等式的性质
　不等式的基本性质
（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不
等号的方向① .用代数式表示：若a＞b，则a＋c② b＋c，
a－c③ b－c.
（2）不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等
号的方向④ .用代数式表示：若a＞b，且c＞0，则⑤
.
不变
＞
＞
不变
ac＞bc或
＞
（3）不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等
号的方向⑥ . 用代数式表示：若a＞b，且c＜0，则⑦
.
改变
ac＜bc或
＜
【例1】设a＞b，用“＜”或“＞”填空：
（1）a－5 b－5；
（2）3a＋1 3b＋1；
（3）－4b－1 －4a－1.
＞
＞
＞
（2024 ·光明区期末）下列命题中，是假命题的是（　B　）.
A. 由a＞b，得a＋m＞b＋m
B. 由a＞b，得－a＞－b
C. 由a－2＜0，得a＜2
D. 由2a＜3，得a＜
B
　不等式性质的应用
温馨提示：运用不等式的基本性质1和基本性质2变形时不等号的方向不变；
而运用不等式的基本性质3时，不等号的方向要改变.
【例2】（根据教材第59页例题改编）根据不等式的基本性质解下列不等
式，并将解集表示在数轴上.
（1）x＋1＞3；
解：（1）x＞2.
（2）x－2＞3；
解：（2）x＞5.
（3） x＜3；
解：（3）x＜6.
（4）－x＞ .
解：（4）x＜－ .
（根据教材第59页例题改编）根据不等式的基本性质解下列不等
式，并将解集表示在数轴上.
（1）x－3＞2；
解：（1）x＞5.
（2）2x＞x＋3；
解：（2）x＞3.
（3） x＜－ ；
解：（3）x＜－4.
（4）－4x＞6.
解：（4）x＜－ .
1. （2024·福田区期中）若a＞b，则下列式子一定成立的是（　B　）.
A. a＋1＜b＋2 B. a－2＞b－2
C. －2a＞－2b D. ＜
B
2. （根据教材第76页习题2.1第4题改编）已知a＞b，用“＞”或“＜”
填空.
（1）2a＋1 2b＋1；
（2）－5a －5b；
（3）3a＋3 3b＋2；
（4）－a＋2 －b＋2.
＞
＜
＞
＜
3. （2024 ·百合外国语学校期中）若x＞y，则下列式子中错误的是
（　B　）.
A. ＞ B. －2x＞－2y
C. x－2＞y－2 D. x＋3＞y＋3
B
4. （教材第72页复习题第8题）判断正误：
（1）由2a＞3，得a＞ . （　√　）
（2）由2－a＜0，得2＜a. （　√　）
（3）由a＜b，得2a＜2b. （　√　）
（4）由a＞b，得a＋m＞b＋m. （　√　）
（5）由a＞b，得－3a＞－3b. （　×　）
（6）由－ ＞－1，得－ ＞－a. （　×　）
√
√
√
√
×
×
5. 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－6＞1；
解：（1）x＞7.
（2）－2x＞－2；
解：（2）x＜1.　
（3）2x＜－3；
解：（3）x＜－ .　
（4）1－x＞3x＋5.
解：（4）x＜－1.
6. （根据教材第76页复习题第9题改编）实数a，b在数轴上的对应点如图所
示，用“＜”或“＞”填空：
（1）a b；
（2）a2 b2；
（3）a＋b 0；
（4）a－b 0；
（5）a＋b a－b；
（6）ab a.
＞
＜
＜
＞
＜
＜
参考答案
【新课导学】
①不变 ②＞ ③＞ ④不变 ⑤ac＞bc或 ＞
⑥改变 ⑦ac＜bc或 ＜
【例1】 （1）＞ （2）＞ （3）＞
变式训练1　B
【例2】　解：（1）x＞2.
（2）x＞5.
（3）x＜6.
（4）x＜－ .
变式训练2　解：（1）x＞5.
（2）x＞3.
（3）x＜－4.
（4）x＜－ .
【随堂小测】
1. B　2.（1）＞　（2）＜　（3）＞　（4）＜　3.B　
4. （1）√　（2）√　（3）√　（4）√　（5）×　（6）×
5. 解：（1）x＞7.　（2）x＜1.　（3）x＜－ .　（4）x＜－1.
6. （1）＞　（2）＜　（3）＜　（4）＞　（5）＜　（6）＜(共25张PPT)
第二章　不等式与不等式组
3　一元一次不等式与一次函数
第2课时　一元一次不等式与一次函数的综合应用
书店正在进行酬宾活动.方案①：原价450元的一套原版名著现在打八折；方
案②：如果在本次活动中先花20元办一张会员卡，还可以在打八折的基础上
再打九折.你认为哪种方案购买比较便宜？
解：方案①：450×80％＝360（元），
方案②：20＋450×80％×90％
＝20＋324
＝344（元），
344＜360.
答：方案②购买比较便宜.
　最优方案问题
温馨提示：先建立各种方案的函数关系式，然后根据要求建立各自函数关系
式的不等式，分别讨论自变量的取值范围，做出不同的判断和选择.
【例1】某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.
方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳
每次再付费5元；
方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数），方式一总费用为y1
（元），方式二总费用为y2（元）.
（1）根据题意，填写下表：
游泳次数 10 15 20 … x
方式一的总费用y1（元） 150 175 200 …

方式二的总费用y2（元） 90 135 … 9x
解：（1）解析：根据题意，得y1＝5x＋100；
当x＝20时，y2＝9×20＝180.
故答案为（5x＋100）；180.
5x＋
100
180
（2）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游
泳的次数比较多？
解：（2）当y1＝270时，5x＋100＝270，解得x＝34；
当y2＝270时，9x＝270，解得x＝30.
∵34＞30，
∴选择付费方式一，游泳的次数比较多.
（3）当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
解：（3）当5x＋100＜9x时，x＞25；
当5x＋100＝9x时，x＝25；
当5x＋100＞9x，x＜25.
∴当0＜x＜25时，选择付费方式二更合算；当x＝25时，选择两种付费方式
费用相同；当x＞25时，选择付费方式一更合算.
（根据教材第77页复习题第12题改编）目前国家出台政策，鼓励
学生去研学旅游.暑假期间，两名老师计划带若干名学生去桂林研学旅游，
他们联系了报价均为900元的两家旅行社.经协商，甲旅行社的优惠条件是：
两名老师全额收费，学生按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师、学生
都按八折收费.假设这两位老师带领x名学生去桂林.
（1）请你写出参加这两家旅行社所需的费用y1元、y2元；
解：（1）y1＝2×900＋x×900×0.7＝630x＋1 800，
y2＝（2＋x）×900×0.8＝720x＋1 440.
（2）他们应该选择哪家旅行社？
解：（2）①当y1＜y2时，630x＋1 800＜720x＋1 440，解得x＞4，
②当y1＝y2时，630x＋1 800＝720x＋1 440，解得x＝4，
③当y1＞y2时，630x＋1 800＞720x＋1 440，解得x＜4.
答：当学生数超过4人时，选择甲旅行社付费较少；当学生数为4人时，两家
旅行社付费相同；当学生数少于4人时，选择乙旅行社付费较少.
　利润问题
温馨提示：先列出关于自变量的方程（组），再求出函数表达式，根据自变
量的取值范围和函数的性质求出最大值或者最小值.
【例2】如图，l1反映了某公司产品的销售收入y1（元）与销售量x（吨）之
间的关系，l2反映了该公司产品的销售成本y2（元）与销售量x（吨）之间的
关系，根据图象填空：
（1）当销售量等于 吨时，利润为零（收入等于成本）；
当销售量 吨时，该公司盈利（收入大于成本）；
当销售量 吨时，该公司亏损（收入小于成本）.
4
大于4
小于 4
（2）l1对应的函数表达式是 .
（3）求利润w（元）（销售收入－销售成本）与销售量x（吨）之间的函数
表达式.
y1＝1 000x
解：（3）设l2对应的函数表达式为y2＝kx＋b，
∵l2过点（0，2 000），
∴b＝2 000.又∵l2过点（4，4 000），
∴4 000＝4k＋2 000，解得k＝500，
∴y2＝500x＋2 000.
∴w＝y1－y2＝1 000x－（500x＋2 000），即w＝500x－2 000.
如图，l1表示某摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量之间的
关系；l2表示摩托车厂一天的销售成本与销售量之间的关系.（利润＝销售收
入－销售成本）
（1）当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本？
解：（1）当一天的销售量为4辆时，销售收入等于销售成本.
（2）当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利？
解：（2）当一天的销售量超过4辆时，工厂才能获利.
（3）求l1对应的函数表达式.
解：（3）设l1对应的函数表达式为y＝kx，将（4，4）代入，得4＝4k，k＝1，
∴y＝x.
（4）你能求出利润w与销售量x之间的函数表达式吗？
解：（4）设直线l2对应的函数表达式为y＝kx＋b，
则 解得 ∴y＝ x＋2.
∴w＝x－ ＝x－ x－2＝ x－2.
∴w与x之间的函数表达式为w＝ x－2.
1. 某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一
道题扣2分，不答的题不扣分也不得分.已知某同学参加了这次竞赛，成绩超
过了60分，且只有一道题未作答.设该同学答对了x道题，根据题意，下面列
出的不等式正确的是（　B　）.
A. 6x－2（16－1－x）≥60
B. 6x－2（16－1－x）＞60
C. 6x－2（16－x）≥60
D. 6x－2（16－x）＞60
B
2. 如图，周日下午小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离
为720 m.假设公交车的速度是小明速度的5倍，要保证小明不会错过这辆公
交车，则小明到A站之间的距离最大为 m.
120
3. （教材第69页习题2.3第2题）如图，l1反映了某产品的销售收入与销售量
之间的关系，l2反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入
大于销售成本时，该产品才开始盈利.该产品的销售量达到多少吨时，生产
该产品才能盈利？
解：横轴代表销售量，纵轴表示费用，
在交点的右侧，相同的x值，l1的值＞l2
的值，那么表示开始盈利.
∴x＞4时，l1＞l2.故该产品的销售量达
到4吨时，生产该产品才能盈利.
4. （根据教材第70页习题2.3第3题改编）已知甲、乙两地相距120 km，小
明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，
线段OC分别表示小明、小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数
关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
解：（1）由题意，设OC的函数表达式为s＝kt，
∵过点（3，80），
∴80＝3k.∴k＝ .
∴s＝ t（0≤t≤3）.
（2）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20 km.
解：（2）由题意，设小明的路程与时间的函数
表达式为s'＝kt＋b（k≠0，k，b为常数），
把（1，0），（3，120）代入得
∴ ∴s'＝60t－60.
∴相遇前， t－（60t－60）＝20，解得t＝ ；
相遇后，（60t－60）－ t＝20，解得t＝ .
∴小红出发 h或 h后两人相距20 km，即当t＝ 或 h时，
都在行驶中的两人恰好相距20 km.
参考答案
【新课引入】
解：方案①：450×80％＝360（元），
方案②：20＋450×80％×90％
＝20＋324
＝344（元），
344＜360.
答：方案②购买比较便宜.
【新课导学】
【例1】　解：（1）5x＋100　180　解析：根据题意，得y1＝5x＋100；
当x＝20时，y2＝9×20＝180.
故答案为（5x＋100）；180.
（2）当y1＝270时，5x＋100＝270，解得x＝34；
当y2＝270时，9x＝270，解得x＝30.
∵34＞30，
∴选择付费方式一，游泳的次数比较多.
（3）当5x＋100＜9x时，x＞25；
当5x＋100＝9x时，x＝25；
当5x＋100＞9x，x＜25.
∴当0＜x＜25时，选择付费方式二更合算；当x＝25时，选择两种付费方式
费用相同；当x＞25时，选择付费方式一更合算.
变式训练1　解：（1）y1＝2×900＋x×900×0.7＝630x＋1 800，
y2＝（2＋x）×900×0.8＝720x＋1 440.
（2）①当y1＜y2时，630x＋1 800＜720x＋1 440，解得x＞4，
②当y1＝y2时，630x＋1 800＝720x＋1 440，解得x＝4，
③当y1＞y2时，630x＋1 800＞720x＋1 440，解得x＜4.
答：当学生数超过4人时，选择甲旅行社付费较少；当学生数为4人时，两家
旅行社付费相同；当学生数少于4人时，选择乙旅行社付费较少.
【例2】　解：（1）4　大于4　小于 4
（2）y1＝1 000x
（3）设l2对应的函数表达式为y2＝kx＋b，
∵l2过点（0，2 000），
∴b＝2 000.
又∵l2过点（4，4 000），
∴4 000＝4k＋2 000，解得k＝500，
∴y2＝500x＋2 000.
∴w＝y1－y2＝1 000x－（500x＋2 000），
即w＝500x－2 000.
变式训练2　解：（1）当一天的销售量为4辆时，销售收入等于销售成本.
（2）当一天的销售量超过4辆时，工厂才能获利.
（3）设l1对应的函数表达式为y＝kx，将（4，4）代入，得4＝4k，k＝1，
∴y＝x.
（4）设直线l2对应的函数表达式为y＝kx＋b，
则 解得 ∴y＝ x＋2.
∴w＝x－ ＝x－ x－2＝ x－2.
∴w与x之间的函数表达式为w＝ x－2.
【随堂小测】
1. B　2.120
3. 解：横轴代表销售量，纵轴表示费用，
在交点的右侧，相同的x值，l1的值＞l2的值，那么表示开始盈利.
∴x＞4时，l1＞l2.故该产品的销售量达到4吨时，生产该产品才能盈利.
4. 解：（1）由题意，设OC的函数表达式为s＝kt，
∵过点（3，80），
∴80＝3k.∴k＝ .
∴s＝ t（0≤t≤3）.
（2）由题意，设小明的路程与时间的函数表达式为s'＝kt＋b（k≠0，k，
b为常数），把（1，0），（3，120）代入得
∴ ∴s'＝60t－60.
∴相遇前， t－（60t－60）＝20，解得t＝ ；相遇后，（60t－60）
－ t＝20，解得t＝ .∴小红出发 h或 h后两人相距20 km，
即当t＝ 或 h时，都在行驶中的两人恰好相距20 km.(共16张PPT)
第二章　不等式与不等式组
1　不等式及其性质
第2课时　不等式的解集
什么是不等式的解？你能找出多少个不等式6＋x＞10的解？如何表示不等式
6＋x＞10的所有解？
在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式
的解.6＋x＞10的解有无数个，表示为x＞4.
　不等式的解
定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做① .显然，一个
不等式的解通常有② 个.
【例1】（教材第60页习题2.1第2题）在0，－4，3，－3， ，－5，4，－10
中， 是方程x＋4＝0的解； 是不等式x＋
4≥0的解； 是不等式x＋4＜0的解.
不等式的解
无数
－4
0，－4，3，－3， ，4
－5，－10
（2024·龙岗区华附集团校期中）下列各数中，能使不等式 x－2
＜0成立的是（　D　）.
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
D
　不等式的解集及其在数轴上的表示
（1）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的③ .
（2）求不等式解集的过程叫做④ .
（3）不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“ ＞”空心圆圈向右画折
线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线，“≤ ”实心
圆点向左画折线.
【例2】用不等式表示图中的解集，其中正确的是（　D　）.
A. x≥－2 B. x≤－2
C. x＜－2 D. x＞－2
解集
解不等式
D
某不等式的解集x≤－1在数轴上的表示正确的是（　B　）.
B
1. 在－2，－1，0，1，2这五个数中，不等式2x＋3＞0的解共有（　D　）.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
D
2. （2024·翠园中学期中）不等式2x－1≤5的解集在数轴上表示为（　A　）.
A
3. （根据教材第58页随堂练习第1题改编）判断正误：
（1）不等式x－1＞0有无数个解. （　√　）
（2）不等式2x－3＜0的解集为x≥ . （　×　）
4. （2023·东升学校一模）满足x≤3的最大整数x是（　C　）.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
√
×
C
5. （根据教材第61页习题2.1第7题改编）（1）不等式x＜ 有多少个解？请
找出几个.
解：（1）不等式x＜ 有无数个解，如x＝1，x＝0，x＝－1，
x＝－0.5，….
（2）不等式x＜ 有多少个正整数解？请一一写出.
解：（2）不等式x＜ 有3个正整数解，如x＝1，x＝2，x＝3.
6. （根据教材第60页习题2.1第3题改编）将下列不等式的解集分别表示在数
轴上.
（1）x＞4；
解：（1）
（2）x＜ ；
解：（2）
（3）x≥－2.5；
解：（3）
（4）x≤0.
解：（4）
7. （教材第61页习题2.1第9题）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这
两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表所示：
原料 甲 乙
维生素C的含量/（单位/kg） 600 100
原料价格/（元/kg） 8 4
（1）现配制这种饮料10 kg，要求至少含有4 200单位的维生素C，试写出所
需甲种原料的质量x（单位：kg）应满足的不等式.
解：（1）设需甲种原料的质量为x kg，则需乙种原料的质量为（10－x）
kg，根据题意，得600x＋100（10－x）≥4 200.
（2）如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出x
（单位：kg）应满足的另一个不等式吗？
解：（2）由题意得8x＋4（10－x）≤72.
原料 甲 乙
维生素C的含量/（单位/kg） 600 100
原料价格/（元/kg） 8 4
参考答案
【新课引入】
在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式
的解.6＋x＞10的解有无数个，表示为x＞4.
【新课导学】
①不等式的解 ②无数
【例1】 －4 0，－4，3，－3， ，4 －5，－10
变式训练1　D
③解集 ④解不等式
【例2】 D
变式训练2　B
【随堂小测】
1. D　2.A　3.（1）√　（2）×　4.C
5. 解：（1）不等式x＜ 有无数个解，如x＝1，x＝0，x＝－1，
x＝－0.5，….
（2）不等式x＜ 有3个正整数解，如x＝1，x＝2，x＝3.
6. 解：（1）
（2）
（3）
（4）
7. 解：（1）设需甲种原料的质量为x kg，
则需乙种原料的质量为（10－x） kg，
根据题意，得600x＋100（10－x）≥4 200.
（2）由题意得8x＋4（10－x）≤72.(共25张PPT)
第二章　不等式与不等式组
2　一元一次不等式
第1课时　一元一次不等式的概念及解法
回顾一元一次方程2x＋3＝7的求解过程，如何求解不等式2x＋3＞7？每一
步求解的依据是什么？
2x＞7－3（不等式的性质1），
2x＞4（合并同类项），
x＞2（不等式的性质2）.
　一元一次不等式的概念
概念：不等式的左、右两边都是① ，只含有② 未知数， 未
知数的最高次数是③ ，叫做一元一次不等式.
整式
1个
1
【例1】（2025春·三水区校级月考）下列不等式中，属于一元一次不等式的
是（　A　）.
A. x＋1＞0 B. 3＞1
C. 3x－1＜2x2 D. 7x－16
A
（2025春·南海区月考）下列各式中，是一元一次不等式的是
（　B　）.
A. x2≥ B. －5＞x
C. ＋3≥1 D. 3x＋y＜0
B
　解一元一次不等式
步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项、合并同类项；（4）未知数
的系数化为1.
【例2】（2024·南山区期末）解不等式：－x＋1＞7x－3.
解：移项，得－x－7x＞－3－1，
合并同类项，得－8x＞－4，
系数化为1，得x＜ .
解不等式：2－5x≥8－2x.
解：移项，得－5x＋2x≥8－2，
合并同类项，得－3x≥6，
系数化为1，得x≤－2.
　解一元一次不等式（去括号）
温馨提示：去括号时要注意：括号前面的系数为正数时，每一项都不改变符
号；括号前面的系数为负数时，每一项都要改变符号.
【例3】解不等式：x－4≥2（x＋2）.
解：去括号，得x－4≥2x＋4，
移项，得x－2x≥4＋4，
合并同类项，得－x≥8，
系数化为1，得x≤－8.
解不等式：2（－3＋x）＞3（x＋2）.
解：去括号，得－6＋2x＞3x＋6，
移项，得2x－3x＞6＋6，
合并同类项，得－x＞12，
系数化为1，得x＜－12.
　解一元一次不等式（去分母）
温馨提示：去分母时，每一项要同乘公分母.当分子是多项式时，分子要看
成整体.
【例4】解不等式： ＋1＜ .
解：去分母，得2（x＋2）＋6＜3（x＋3），
去括号，得2x＋4＋6＜3x＋9，
移项，合并同类项，得x＞1.
解不等式：2－ ＞ .
解：去分母，得24－4（5x－2）＞3（3x＋1），
去括号，得24－20x＋8＞9x＋3，
移项，得－20x－9x＞3－24－8，
合并同类项，得－29x＞－29，
两边同除以－29，得x＜1.
1. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　B　）.
A. 4＞1 B. x＜3
C. ＜2 D. 4x－3＜2y－1
B
2. 下面是小颖同学解不等式 －1＜ 的过程.
解：去分母，得x＋5－1＜3x＋2……①
移项、合并同类项，得－2x＜－2……②
两边都除以－2，得x＞1……③
小明第 步出错，请写出正确的求解过程.
解：正确的求解过程：
去分母，得x＋5－2＜3x＋2，
移项、合并同类项，得－2x＜－1，
两边都除以－2，得x＞ .
①
3. 求不等式1＋2（x－1）≤3的最大整数解.
解：去括号，得1＋2x－2≤3，
移项，得2x≤3－1＋2，
合并同类项，得2x≤4，
系数化为1，得x≤2，
最大整数解为2.
4. （2024·福田区期中）若关于x的不等式（3－a）x＞2可化为x＜ ，
则a的取值范围是 .
a＞3
5. （教材第64页随堂练习第1题）解下列不等式，并把它们的解集分别表示
在数轴上.
（1）5x＜200；
解：（1）∵5x＜200，
∴x＜40，
将解集表示在数轴上如图.
（2）－ ＜3；
解：（2）∵－ ＜3，
∴x＋1＞－6，则x＞－7，
将解集表示在数轴上如图.
（3）x－4≥2（x＋2）；
解：（3）∵x－4≥2（x＋2），
∴x－4≥2x＋4，
∴x－2x≥4＋4，
∴－x≥8，
∴x≤－8，
将解集表示在数轴上如图.
（4） ＜ .
解：（4）∵ ＜ ，
∴3x－3＜8x－10，
∴3x－8x＜－10＋3，－5x＜－7，
∴x＞ ，
将解集表示在数轴上如图.
6. 若关于x的不等式x＋2＜a有3个正整数解，则a的取值范围是 .
5＜a≤6
参考答案
【新课引入】
2x＞7－3（不等式的性质1），
2x＞4（合并同类项），
x＞2（不等式的性质2）.
【新课导学】
①整式 ②1个 ③1
【例1】 A
变式训练1　B
【例2】　解：移项，得－x－7x＞－3－1，
合并同类项，得－8x＞－4，系数化为1，得x＜ .
变式训练2　解：移项，得－5x＋2x≥8－2，
合并同类项，得－3x≥6，
系数化为1，得x≤－2.
【例3】　 解：去括号，得x－4≥2x＋4，
移项，得x－2x≥4＋4，
合并同类项，得－x≥8，
系数化为1，得x≤－8.
变式训练3　解：去括号，得－6＋2x＞3x＋6，
移项，得2x－3x＞6＋6，
合并同类项，得－x＞12，
系数化为1，得x＜－12.
【例4】　解：去分母，得2（x＋2）＋6＜3（x＋3），
去括号，得2x＋4＋6＜3x＋9，
移项，合并同类项，得x＞1.
变式训练4　解：去分母，得24－4（5x－2）＞3（3x＋1），
去括号，得24－20x＋8＞9x＋3，
移项，得－20x－9x＞3－24－8，
合并同类项，得－29x＞－29，
两边同除以－29，得x＜1.
【随堂小测】
1. B2.解：①　正确的求解过程：
去分母，得x＋5－2＜3x＋2，
移项、合并同类项，得－2x＜－1，
两边都除以－2，得x＞ .
3. 解：去括号，得1＋2x－2≤3，
移项，得2x≤3－1＋2，合并同类项，得2x≤4，
系数化为1，得x≤2，最大整数解为2.
4. a＞3
5. 解：（1）∵5x＜200，
∴x＜40，将解集表示在数轴上如图.
（2）∵－ ＜3，
∴x＋1＞－6，则x＞－7，
将解集表示在数轴上如图.
（3）∵x－4≥2（x＋2），
∴x－4≥2x＋4，
∴x－2x≥4＋4，
∴－x≥8，
∴x≤－8，
将解集表示在数轴上如图.
（4）∵ ＜ ，
∴3x－3＜8x－10，
∴3x－8x＜－10＋3，－5x＜－7，
∴x＞ ，
将解集表示在数轴上如图.
6.5＜a≤6(共16张PPT)
第二章　不等式与不等式组
2　一元一次不等式
第2课时　一元一次不等式的应用
生活中存在很多不等关系，比如商场中某种商品进价为200元，标价300元销
售，商场规定可以打折销售，但利润率不能低于5％.请你帮售货员计算一
下，这种商品最多可以打几折？
利润＝售价－成本，利润率＝ ×100％
解：设可以打x折出售，根据题意得
300× －200≥200×5％，x≥7.
答：这种商品最多可以打七折.
　竞赛问题
列一元一次不等式解决实际问题的步骤：（1）设未知数；（2）找到不等关
系，列不等式；（3）解一元一次不等式；（4）求出符合题意的答案；
（5）作答.
温馨提示：竞赛问题，重点在于理清得分规则.
【例1】（根据教材第65页例3改编）在比赛中，每名射手打10枪，每命中一
次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成
为优胜者，至少要中靶多少次？
解：设中靶x次，则5x－（10－x）≥35，
解得x≥7.5.即要成为优胜者，至少要中靶8次.
某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5
分.小玉要想得分超过95分，她至少要答对 道题.
14
　打折问题
打折问题：折扣价＝原价×（折扣÷10），利润＝售价－成本，利润率＝
×100％.
【例2】（根据教材第66页习题2.2第6题改编）某商品每件进价100元，每件
标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于20％，则这
种商品最多可以打几折？
解：设这种商品打x折，根据题意得150× －100≥100×20％，
解得x≥8，
∴x的最小值为8，
∴这种商品最多可以打8折.
某种商品的进价为100元，商品的标价是150元，适逢春节，商场
准备打m折促销，为了保证利润率不低于5％，则m的值应不小于 .
7
　一元一次不等式的综合应用
【例3】（根据教材第66页习题2.2第7题改编）某校学生会组织七年级和八年
级学生共60名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集了20个废弃塑料
瓶，八年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶.为了保证所收集的塑料瓶总
数不少于1 000个，至少需要多少名七年级学生参加活动？
解：设需要x名七年级学生参加活动，则参加活动的八年级学生为（60－
x）个，由题意，得20x＋15（60－x）≥1 000，解得x≥20.
∴至少需要20名七年级学生参加活动.
有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为45人/辆，乙种客车的载客
量为30人/辆，学校组织300名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8
辆，一次将全部师生送到指定地点至少需要租用甲种客车多少辆？
解：设需要租用x辆甲车，则租用（8－x）辆乙车，
依题意得45x＋30（8－x）≥300，
解得x≥4，
∴x的最小值为4.
答：至少需要租用甲种客车4辆.
1. （2024·宝安区10校联考期中）某商场店庆活动中，商家准备对某种进价
为600元、标价为1 100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10％，
则最低折扣是 折.
六
2. （2024·宝安中学期中）2024年春晚，刘谦表演的扑克牌魔术“约瑟夫
环”，是数学与神奇的完美结合，通过一定指令的操作，会得到一个数学规
律.已知定义f（a，b）＝2－ ，若f（2，x）≥1，则x的取值范围
为 .
x≤0
3. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于
10％，则最多可打 折.
8.8
4. 学校准备用2 000元购买名著和词典作为艺术节奖品，其中名著每套65元，
词典每本40元，现已购买名著20套，问最多还能买词典多少本？
解：设还能买词典x本，根据题意得20×65＋40x≤2 000，
40x≤700，x≤ ，x≤17 .
答：最多还能买词典17本.
5. （2024·福田区期中）开学前夕，某书店计划购进A，B两种笔记本共350
本.已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4
800元.
（1）请问购进了A种笔记本多少本？
解：（1）设购进A种笔记本x本，则购进B种笔记本（350－x）本，
由题意可得12x＋15×（350－x）＝4 800，解得x＝150.
答：购进了A种笔记本150本.
（2）在销售过程中，A，B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本.因某
些原因，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A
种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种
笔记本的总利润不少于2 348元，请求出m的最小值.
解：（2）由（1）可得，购进了B种笔记本200本.
由题意可得20m＋25m＋20×0.7×（150－m）＋15×（200－m）－4
800≥2 348，解得m≥128.
答：m的最小值为128.
参考答案
【新课引入】
解：设可以打x折出售，根据题意得
300× －200≥200×5％，x≥7.
答：这种商品最多可以打七折.
【新课导学】
【例1】　解：设中靶x次，则5x－（10－x）≥35，
解得x≥7.5.即要成为优胜者，至少要中靶8次.
变式训练1　14
【例2】　解：设这种商品打x折，根据题意得150× －100≥100×20％，
解得x≥8，
∴x的最小值为8，
∴这种商品最多可以打8折.
变式训练2　7
【例3】　解：设需要x名七年级学生参加活动，则参加活动的八年级学生为
（60－x）个，由题意，得20x＋15（60－x）≥1 000，解得x≥20.
∴至少需要20名七年级学生参加活动.
变式训练3　解：设需要租用x辆甲车，则租用（8－x）辆乙车，依题意得
45x＋30（8－x）≥300，
解得x≥4，
∴x的最小值为4.
答：至少需要租用甲种客车4辆.
【随堂小测】
1. 六　2.x≤0　3.8.8
4. 解：设还能买词典x本，根据题意得20×65＋40x≤2 000，
40x≤700，x≤ ，x≤17 .
答：最多还能买词典17本.
5. 解：（1）设购进A种笔记本x本，则购进B种笔记本（350－x）本，
由题意可得12x＋15×（350－x）＝4 800，解得x＝150.
答：购进了A种笔记本150本.
（2）由（1）可得，购进了B种笔记本200本.
由题意可得20m＋25m＋20×0.7×（150－m）＋15×
（200－m）－4 800≥2 348，解得m≥128.
答：m的最小值为128.(共14张PPT)
第二章　不等式与不等式组
1　不等式及其性质
第1课时　不等关系
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算它的树龄.通常规定以树干
离底面1.5 m的地方为测量部位.某树栽种时的树围为6 cm，在一定生长期内
每年增加约1 cm，设经过x年后这棵树的树围超过10 cm，请你列出x满足的
关系式 .
6＋x＞10
　不等式的概念
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接的
式子叫做① .
温馨提示：不等号的种类可分为：“＞”读作② ，表示左边的量比
右边的量大；“≥”读作③ ，表示左边的量不小于右边的
量；“＜”读作④ ，表示左边的量比右边的量小；“≤”读作
⑤ ，表示左边的量不大于右边的量；“≠”读作⑥
，表示左边的量不等于右边的量.
不等式
大于
大于或等于
小于
小于或等于
不等
于
【例1】（2025·福田区校级开学）已知：①x＋y＝1；②x＞y；③x＋2y；
④x2－y≥1；⑤x＜0.其中属于不等式的有（　B　）个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
（2024·深圳开学）下列式子：①x－1≥1；②x＋2；③－2＜0；
④x－ y＝0；⑤x＋2y≤0.其中是不等式的有（　B　）.
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
B
　不等式的表示方法
温馨提示：与不等关系相关联的常见词语：（1）“＞”： 大于、超过、多
于、高于、正数； （2）“≥”：不小于、不低于、不少于、至少、非负
数；（3）“＜”： 小于、少于、低于、不足、负数；（4）“≤”：不大
于、不多于、不高于、不超过、至多、非正数；（5）“≠”：不等于、不
相等.
【例2】根据下列数量关系列出不等式.
（1）5x与4的和是负数；
解：（1）5x＋4＜0.
（2）m的3倍大于或等于10；
解：（2）3m≥10.
（3）一个篮球的半径r不大于12.3厘米；
解：（3）r≤12.3.
（4）y的 与x的10％的和不小于0.
解：（4） y＋10％x≥0.
（根据教材第56页随堂练习第1题改编）根据题意列出不等式.
（1）x＋1不是正数；
解：（1）x＋1≤0.
（2）m的2倍与n的和大于3；
解：（2）2m＋n＞3.
（3）a的 与3的差不小于0；
解：（3） a－3≥0.
（4）x与y的20％的差是负数；
解：（4）x－20％y＜0.
（5）a与b的差的平方是非负数.
解：（5）（a－b）2≥0.
1. （2024春·龙岗区校级月考）在下列数学表达式：①－2＜0；②2y－5＞
1；③m＝1；④x2－x；⑤x≠－2；⑥x＋1＜2x－1中，是不等式的有
（　C　）.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
C
2. 列出下列不等式：
（1）x的2倍与y的差大于3；
解：（1）2x－y＞3.
（2）x的平方与a的平方之差不是正数；
解：（2）x2－a2≤0.
（3）x的3倍与y的和是正数.
解：（3）3x＋y＞0.
3. （2024·宝安中学期中）宝安凤凰山森林公园位于“宝安第一山”凤凰山
脚下，公园树木丰茂，景色优美，所以小青想带她初三的表姐去游玩放松释
放压力，计划15点10分从学校出发，已知两地相距5.1千米，她们跑步的平均
速度为190米/分钟，步行的平均速度为80米/分钟，若她们要在16点之前到
达，那么她们至少需要跑步多少分钟？设她们跑步的时间为x分钟，则列出
的不等式为（　A　）.
A
A. 190x＋80（50－x）≥5 100
B. 190x＋80（50－x）≤5 100
C. 190x＋80（50－x）≥5.1
D. 190x＋80（50－x）≤5.1
4. （学科融合）如图1，一个容量为300 mL的杯子中装有150 mL的水，将五
颗相同的玻璃球放入这个杯子中（如图2），结果水没有满.设每颗玻璃球的
体积为x cm3.
请列出不等式： .
150＋5x＜300
5. 某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过10 m3，则
每立方米收费2.4元；若每户每月用水超过10 m3，则超过的部分每立方米收
费3元.小亮家某月的水费不少于25元，若设小亮家该月的用水量为x m3，那
么他家这个月的用水量至少是多少？请列出关于x的不等式.
解：10×2.4＋（x－10）×3≥25.
参考答案
【新课引入】
6＋x＞10
【新课导学】
①不等式 ②大于 ③大于或等于 ④小于 ⑤小于或等于 ⑥不等于
【例1】 B
变式训练1　B
【例2】　解：（1）5x＋4＜0.
（2）3m≥10.
（3）r≤12.3.
（4） y＋10％x≥0.
变式训练2　解：（1）x＋1≤0.
（2）2m＋n＞3.
（3） a－3≥0.
（4）x－20％y＜0.
（5）（a－b）2≥0.
【随堂小测】
1. C 2.解：（1）2x－y＞3.　（2）x2－a2≤0.　（3）3x＋y＞0.
3. A　4.150＋5x＜300
5. 解：10×2.4＋（x－10）×3≥25.(共23张PPT)
第二章　不等式与不等式组
3　一元一次不等式与一次函数
第1课时　一元一次不等式与一次函数的关系
如果y＝2x－5，那么当x取哪些值时，y＜0？当x取哪些值时，y＜1？
解：令2x－5＜0，得x＜ ，
∴当x＜ 时，y＝2x－5＜0.
令2x－5＜1，得x＜3，
∴当x＜3时，y＝2x－5＜1.
　利用图象法解一元一次不等式
温馨提示：（1）一次函数值等于a时，解一元一次方程；一次函数值不等于
a时，解一元一次不等式.
（3）一次函数y1＝kx＋b的图象在y2＝mx＋n图象上方的部分，表示y1＞
y2，即kx＋b＞mx＋n；一次函数y1＝kx＋b的图象与y2＝mx＋n图象的
交点为（x，y），表示y1＝y2，即kx＋b＝mx＋n；一次函数y1＝kx＋b
的图象在y2＝mx＋n图象下方的部分，表示y1＜y2，即kx＋b＜mx＋n.
（2）一次函数y＝kx＋b的图象在x轴上方的部分，表示y＞0，即kx＋b＞
0；一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点（x，0），表示y＝0，即kx＋b＝
0；一次函数y＝kx＋b的图象在x轴下方的部分，表示y＜0，即kx＋b＜0.
【例1】（2024·光明区期末）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴和y轴
分别交于A（－ ，0）和B（0，3），则关于x的不等式kx＋b＞0的解集
是 .
x＞－
（2024·福田外国语学校期中）如图，一次函数y1＝x＋b与一次
函数y2＝kx＋3的图象交于点P（1，2），则关于x的不等式x＋b＞kx＋3
的解集是（　C　）.
A. x＞0 B. x＜0 C. x＞1 D. x＜1
C
　利用代数法解一元一次不等式
温馨提示：结合数量关系和一次函数的性质，解一元一次不等式.
【例2】已知y1＝－x＋3，y2＝3x－4，当x取哪些值时，y1＜y2？
解：∵y1＝－x＋3，y2＝3x－4，y1＜y2，
∴－x＋3＜3x－4，解得－4x＜－7，解得x＞ .
已知函数y1＝x－2和y2＝2x＋1，当y1＞y2时，x的取值范围是
（　B　）.
A. x＜－5 B. x＜－3
C. x＞－5 D. x＞－3
B
　一元一次不等式与一次函数的应用
【例3】（教材第70页习题2.3第4题）某公司计划购买若干台电脑，现从两家
商场了解到同一型号电脑每台报价均为6 000元，并且多买都有一定优惠.各
商场的优惠条件如下表所示：
商场 优惠条件
甲商场 第一台按原报价收费，其余每台优惠25％
乙商场 每台优惠20％
（1）试写出甲、乙两商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系式；
解：（1）由题意可得，甲商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系
式是y甲＝6 000＋6 000（x－1）×（1－25％）＝4 500x＋1 500；
乙商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系式是y乙＝6 000x×（1－
20％）＝4 800x.
（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？什么情况下到乙商场购买更优惠？
什么情况下两商场的收费相同？
解：（2）令4 500x＋1 500＞4 800x，解得x＜5；
令4 500x＋1 500＜4 800x，解得x＞5；
令4 500x＋1 500＝4 800x，解得x＝5.
∴当购买电脑小于5台时，在乙商场购买比较优惠；当购买电脑大于5台时，
在甲商场购买比较优惠；当购买电脑5台时，两商场收费相同.
（教材第70页习题2.3第3题）甲、乙两辆摩托车从相距20 km的
A，B两地相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s
（单位：km）与行驶时间t（单位：h）之间的函数关系.
（1）哪辆摩托车的速度较快？
解：（1）由题意，得甲摩托车的速度为
20÷0.6＝ （km/h），乙摩托车的速度为
20÷0.5＝40（km/h）.
∵ ＜40，
∴乙摩托车的速度较快.
（2）何时甲摩托车到B地的距离大于乙摩托车到B地的距离？
解：（2）设x h时甲摩托车到B地的距离大于乙
摩托车到B地的距离.由题意，得20－ x＞
40x，解得x＜ .
答：当x＜ 时，甲摩托车到B地的距离大于乙摩托车到B地的距离.
1. （2024·南山实验教育集团期中）已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图
象如图所示，则不等式kx＋b≤0的解集是（　A　）.
A. x≤2 B. x＜2 C. x≥2 D. x＞2
A
2. （2024·罗湖外国语学校期中）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx
＋n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x＋1≥mx＋n的解集为
（　C　）.
A. x≤2 B. x≥2 C. x≥1 D. x≤1
C
3. 已知函数y＝3x＋5.
（1）当x 时，y＞0；
（2）当x 时，y＝0；
（3）当x 时，y＜0.
4. 已知点A（－2，m）和点B（3，n）都在直线y＝－2x＋b的图象上，
则m与n的大小关系为（　A　）.
A. m＞n B. m＜n
C. m≤n D. 无法判断
＞－
＝－
＜－
A
5. 如图，一次函数y＝－x－1与y＝mx＋n（m，n为常数，m≠0）的图
象相交于点（1，－2），则不等式－x－1＜mx＋n的解集在数轴上表示为
（　A　）.
A
6. 一次函数y＝kx＋b的图象分别交x轴，y轴于A（2，0），B（0，2）两
点，则不等式kx＋b＞2的解集是（　B　）.
A. x＞0
B. x＜0
C. x＞2
D. x＜2
B
7. 如图，直线y＝kx＋2与直线y＝ x相交于点A（3，1），与x轴交于点
B.
（1）求点B的坐标；
解：（1）∵直线y＝kx＋2与直线y＝ x相交于点
A（3，1），与x轴交于点B，
∴3k＋2＝1，解得k＝－ ，
∴y＝－ x＋2.当y＝0时，x＝6，
∴点B的坐标为（6，0）.
（2）根据图象写出不等式组0＜kx＋2＜ x的解集.
解：（2）由图象可知，0＜kx＋2＜ x的解集是3＜x＜6.
参考答案
【新课引入】
解：令2x－5＜0，得x＜ ，
∴当x＜ 时，y＝2x－5＜0.
令2x－5＜1，得x＜3，
∴当x＜3时，y＝2x－5＜1.
【新课导学】
【例1】　x＞－
变式训练1　C
【例2】　解：∵y1＝－x＋3，y2＝3x－4，y1＜y2，
∴－x＋3＜3x－4，解得－4x＜－7，解得x＞ .
变式训练2　B
【例3】　解：（1）由题意可得，甲商场的收费y（元）与所买电脑台数x
之间的关系式是y甲＝6 000＋6 000（x－1）×（1－25％）＝4 500x＋1
500；
乙商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系式是y乙＝6 000x×（1－
20％）＝4 800x.
（2）令4 500x＋1 500＞4 800x，解得x＜5；
令4 500x＋1 500＜4 800x，解得x＞5；
令4 500x＋1 500＝4 800x，解得x＝5.
∴当购买电脑小于5台时，在乙商场购买比较优惠；当购买电脑大于5台时，
在甲商场购买比较优惠；当购买电脑5台时，两商场收费相同.
变式训练3　解：（1）由题意，得甲摩托车的速度为20÷0.6＝
（km/h），乙摩托车的速度为20÷0.5＝40（km/h）.
∵ ＜40，
∴乙摩托车的速度较快.
（2）设x h时甲摩托车到B地的距离大于乙摩托车到B地的距离.由题意，得
20－ x＞40x，解得x＜ .
答：当x＜ 时，甲摩托车到B地的距离大于乙摩托车到B地的距离.
【随堂小测】
1. A　2.C
3. （1）＞－ 　（2）＝－ 　（3）＜－
4. A　5.A　6.B
7. 解：（1）∵直线y＝kx＋2与直线y＝ x相交于点A（3，1），与x轴交
于点B，
∴3k＋2＝1，解得k＝－ ，∴y＝－ x＋2.当y＝0时，x＝6，
∴点B的坐标为（6，0）.
（2）由图象可知，0＜kx＋2＜ x的解集是3＜x＜6.(共16张PPT)
第二章　不等式与不等式组
4　一元一次不等式组
第2课时　一元一次不等式组的应用
在实际问题中，有时需要同时满足多个条件（不等式），用一元一次不等式
组可以解决实际问题.
　列不等式组解应用题
温馨提示：列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：（1）审：审清题目
已知条件和求什么，明确各数量之间的关系；（2）设：设适当的未知数；
（3）找：找到题目中存在的等量和不等量关系；（4）列：列出不等式组；
（5）解：求出不等式组的解集；（6）答：写出符合题意的答案.
【例1】（2025春·龙岗区期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果
的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克.已知购买香蕉的质量比购买苹
果的质量的3倍少4千克.如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购
买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列
不等式组为（　A　）.
A
A．
C．
B．
D．
某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20
元，折扇的单价为10元.已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3
件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商
品的总费用少于560元.设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组为
（　A　）.
A
A．
C．
B．
D．
　分配问题
分配问题：一是找全所有不等关系，用确定的条件来设出未知数并表示其他
未知数，用不确定或者不相等的条件列不等式；二是自变量的取值需要考虑
实际意义，例如取正整数解等.
温馨提示：四种不等式组的解集求法用口诀描述为（1）同大取大；（2）同
小取小；（3）大小小大中间找；（4）大大小小找不到.
【例2】（2024·深圳实验学校初中部月考）若干学生分住宿舍，每间住4人余
20人；每间住8人有一间不空也不满，则宿舍有多少间？学生有多少人？
解：设宿舍有x间，则
解得5＜x＜7，
∴x＝6，4×6＋20＝44（人）.
答：宿舍有6间，学生有44人.
（2024·翠园文锦中学模考）用若干辆载质量为8吨的汽车运一批
货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一
辆车装的货物不满也不空.若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是
（　D　）.
A． B．
C． D．
D
1. （2025·龙华区三模）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不
小于7.2，且不大于7.8.前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三
次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得
（　A　）.
A. 7.2×3≤7.4＋7.9＋x≤7.8×3
B. 7.2×3＜7.4＋7.9＋x≤7.8×3
C. 7.2×3＞7.4＋7.9＋x＞7.8×3
D. 7.2×3＜7.4＋7.9＋x＜7.8×3
A
2. 已知点M（m＋2，m）在第四象限，则m的取值范围是（　D　）.
A. m＞－2 B. m＜－2
C. m＞0 D. －2＜m＜0
3. （2025春·龙岗区校级月考）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋
友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友
分到苹果但不到8个苹果.求这一箱苹果的个数与小朋友的人数.若设有x人，
则可列不等式组为（　C　）.
A. 8（x－1）＜5x＋12＜8 B. 0＜5x＋12＜8x
C. 0＜5x＋12－8（x－1）＜8 D. 8x＜5x＋12＜8
D
C
4. 某街道组织志愿者到小区服务，若每个小区安排4人，那么还剩下61人；
若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人，则这个街
道共安排了 名志愿者.
125
5. （2025春·宝安区校级月考）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入
人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/
辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
A型车销售（辆） B型车销售（辆） 总销售额（元）
第一周 10 12 20 000
第二周 20 15 31 000
（1）求a，b的值；
解：（1）由题意得
解得 所以a的值为800，b的值为1 000.
（2）若计划第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量
大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B
型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？
解：（2）设该专卖店第三周售出A型车x辆，B型车（25－x）辆，销售
总额为w元，由题意得w＝800x＋1 000（25－x）＝－200x＋25 000，
由x＜25－x≤2x，解得 ≤x＜ .∵x取整数，
∴x＝9，10，11，12.∵w随着x的增大而减小，
∴当x＝9时，w取得最大值，此时w＝－200×9＋25 000＝23 200
（元），25－x＝16（辆）.
∴该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额最大，为23 200元.
参考答案
【新课导学】
【例1】　A
变式训练1　A
【例2】　解：设宿舍有x间，则
解得5＜x＜7，
∴x＝6，4×6＋20＝44（人）.
答：宿舍有6间，学生有44人.
变式训练2　D
【随堂小测】
1. A　2.D　3.C　4.125
5. 解：（1）由题意得
解得 所以a的值为800，b的值为1 000.
（2）设该专卖店第三周售出A型车x辆，B型车（25－x）辆，销售总额为
w元，由题意得w＝800x＋1 000（25－x）＝－200x＋25 000，
由x＜25－x≤2x，解得 ≤x＜ .
∵x取整数，
∴x＝9，10，11，12.
∵w随着x的增大而减小，
∴当x＝9时，w取得最大值，此时w＝－200×9＋25 000＝23 200（元），
25－x＝16（辆）.
∴该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额最大，为23
200元.

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