资源简介

(共34张PPT)
第六章　平行四边形
2　平行四边形的判定
第2课时　利用对角线判定平行四边形
通过上一节课的讨论，我们还发现：对角线互相平分的四边形是平行四边
形.请你尝试证明这一结论.
已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，并且OA＝
OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在△BAO和△DCO中，
OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴△BAO≌△DCO，
∴∠BAO＝∠DCO，AB＝CD，
∴AB∥CD.
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
　通过对角线判定平行四边形
对角线① 的四边形是平行四边形.
互相平分
【例1】（根据教材第162页例2改编）如图所示， ABCD的对角线AC，
BD交于点O，点E在AO上，点F在CO上，DE∥BF. 求证：四边形
DEBF是平行四边形.
证明：∵DE∥BF，∴∠DEO＝∠BFO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝BO.
又∵∠DOE＝∠BOF，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴EO＝FO.
又∵DO＝BO，
∴四边形DEBF是平行四边形.
如图，四边形ABCD的对角线交于点O，且O为AC的中点，AE
＝CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵O为AC的中点，
∴OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OE＝OF.
∵DF∥BE，
∴∠E＝∠F.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形.
　平行四边形性质与判定的综合应用
1. 两组对边分别② 的四边形是平行四边形.　　　
2. 两组对边分别③ 的四边形是平行四边形.
3. 一组对边④ 的四边形是平行四边形.　　　
4. 对角线⑤ 的四边形是平行四边形.
平行
相等
平行且相等
互相平分
【例2】（2024·南山区期中）如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC
上两点，BE∥DF.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ACB＝∠CAD.
又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA.
在△BEC和△DFA中，
∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF.
又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形.
（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积.
（2）解：如图，过点A作AG⊥BC，交CB的延长线于点G，
在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，
∴AG＝4.
∵BC＝6，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AG＝4×6＝24.
（2024·罗湖区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD
相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF，AE＝
CF.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（1）证明：如图，连接DF，BE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF.
∵DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴OD＝OB，OE＝OF.
∵AE＝CF，
∴AE＋OE＝CF＋OF，
∴OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）若AD⊥BD，AC＝10，BD＝6，求DE的长.
（2）解：∵OA＝OC，AC＝10，
∴OA＝5.
∵OB＝OD，BD＝6，
∴OD＝3.
∵AD⊥BD，
∴∠ADO＝90°，
∴AD＝4，
∴DE＝ ＝ .
1. 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（　D　）.
A. 对角线互相平分
B. 一组对边平行且相等
C. 两组对边分别平行
D. 一组对边平行，另一组对边相等
D
2. （2024·珠海期中）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，
则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（　C　）.
A. BE＝DF
B. AF⊥BD，CE⊥BD
C. AF＝CE
D. ∠BAE＝∠DCF
C
3. （2024·宝安区校级三模）如图1，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，
∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边
形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　D　）.
A. 只有甲、乙才是 B. 只有甲、丙才是
C. 只有乙、丙才是 D. 甲、乙、丙都是
图1
图2
D
4. （根据教材第176页复习题第7题改编）如图，剪两张对边平行的纸条，随
意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动
过程中，下列结论一定成立的是（　D　）.
A. 四边形ABCD的周长不变
B. AD＝CD
C. 四边形ABCD的面积不变
D. AD＝BC
D
5. （2024·福田区期末）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，BF与AD相
交于点E，且BE＝EF，AF∥BC.
（1）求证：四边形ADCF为平行四边形；
（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
又∵FE＝BE，∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF＝DB.
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴DB＝DC，
∴AF＝DC，∴四边形ADCF为平行四边形.
（2）若DA＝DC＝3，AC＝4，求△ABC的面积.
（2）解：∵DA＝DC＝3，DB＝DC，
∴DA＝DC＝DB＝ BC，
∴BC＝6，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝2 ，
∴S△ABC＝ AB·AC＝ ×2 ×4＝4 .
6. （根据教材第169页习题6.2第14题改编）如图，在 ABCD中，对角线
AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别在AO，BO，CO，DO上.
（1）如果AE＝ AO，BF＝ BO，CG＝ CO，DH＝ DO，那么四边形
EFGH是平行四边形吗？请证明你的结论.
解：（1）四边形EFGH是平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝ AO，BF＝ BO，CG＝ CO，DH＝
DO，
∴OE＝OG，OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
（2）如果AE＝ AO，BF＝ BO，CG＝ CO，DH＝ DO，那么四边
形EFGH是平行四边形吗？请证明你的结论.
解：（2）四边形EFGH是平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝ AO，BF＝ BO，CG＝ CO，DH＝DO，
∴OE＝OG，OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
（3）如果AE＝ AO，BF＝ BO，CG＝ CO，DH＝ DO，那么四边
形的EFGH是平行四边形吗？请证明你的结论.
解：（3）四边形EFGH是平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝ AO，CG＝ CO，BF＝ BO，DH＝
DO，
∴OE＝OG，OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
参考答案
【新课引入】
证明：在△BAO和△DCO中，
OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴△BAO≌△DCO，
∴∠BAO＝∠DCO，AB＝CD，
∴AB∥CD.
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
①互相平分
【例1】　证明：∵DE∥BF，∴∠DEO＝∠BFO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO.
又∵∠DOE＝∠BOF，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴EO＝FO.
又∵DO＝BO，
∴四边形DEBF是平行四边形.
【新课导学】
变式训练1　证明：∵O为AC的中点，∴OA＝OC.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∵DF∥BE，∴∠E＝∠F.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
②平行　③相等　④平行且相等　⑤互相平分
【例2】　（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ACB＝∠CAD.
又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA.
在△BEC和△DFA中，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴BE＝DF.
又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形.
（2）解：如图，过点A作AG⊥BC，交CB的延长线于点G，
在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，
∴AG＝4.
∵BC＝6，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AG＝4×6＝24.
变式训练2（1）证明：如图，连接DF，BE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF.
∵DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴OD＝OB，OE＝OF.
∵AE＝CF，
∴AE＋OE＝CF＋OF，
∴OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）解：∵OA＝OC，AC＝10，
∴OA＝5.
∵OB＝OD，BD＝6，
∴OD＝3.
∵AD⊥BD，
∴∠ADO＝90°，
∴AD＝4，
∴DE＝ ＝ .
【随堂小测】
1. D　2.C　3.D　4.D
5. （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE.
又∵FE＝BE，∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（ASA），
∴AF＝DB.
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴DB＝DC，
∴AF＝DC，∴四边形ADCF为平行四边形.
（2）解：∵DA＝DC＝3，DB＝DC，
∴DA＝DC＝DB＝ BC，
∴BC＝6，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝2 ，
∴S△ABC＝ AB·AC＝ ×2 ×4＝4 .
6. 解：（1）四边形EFGH是平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝ AO，BF＝ BO，CG＝ CO，DH＝ DO，
∴OE＝OG，OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
（2）四边形EFGH是平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝ AO，BF＝ BO，CG＝ CO，DH＝ DO，
∴OE＝OG，OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
（3）四边形EFGH是平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝ AO，CG＝ CO，BF＝ BO，DH＝ DO，
∴OE＝OG，OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.(共26张PPT)
第六章　平行四边形
1　平行四边形的性质
第2课时　平行四边形对角线的性质
在上一节的探究过程中，我们发现平行四边形的对角线互相平分.请你证明
这一结论.
已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证：OA＝OC，OB＝OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO.
在△BAO和△DCO中，
∠AOB＝∠COD，∠BAO＝∠DCO，AB＝CD，
∴△BAO≌△DCO（AAS），
∴OA＝OC，OB＝OD.
　平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线① .
【例1】（根据教材第158页习题6.1第5题改编）平行四边形ABCD的对
角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝90°，OA＝5，OB＝3，求AD和AC
的长度.
互相平分
解：∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AC＝2OA＝2×5＝10，OD＝OB＝3.
∵∠ADB＝90°，∴AD2＝OA2－OD2.
∴AD＝ ＝4.
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC＋BD＝
20，BC＝8，则△AOD的周长为 .
18
　平行四边形性质的综合应用
（1）平行四边形是② 图形，两条对角线的交点是它的③
.
（2）平行四边形的对边④ .
（3）平行四边形的对角⑤ ，邻角⑥ .
（4）平行四边形的对角线⑦ .
中心对称
对
称中心
平行且相等
相等
互补
互相平分
【例2】（根据教材第158页习题6.1第6题改编）如图，点O为 ABCD的对
角线BD的中点，经过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，交DA和BC
的延长线于点G，H.
（1）求证：OE＝OF；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠OEB＝∠OFD.
∵O是BD的中点，∴OB＝OD.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（AAS），∴OE＝OF.
（2）若OG＝5，HF＝2，求OF的长.
（2）解：∵CB∥AD，∴∠H＝∠G.
在△BOH和△DOG中，
∴△BOH≌△DOG（AAS）.
∴OH＝OG＝5，
∴OF＝OH－HF＝5－2＝3，
即OF的长是3.
（2025·惠州期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，则下列结论一定正确的是（　C　）.
A. AO＝BO
B. AB＝AD
C. ∠DAC＝∠BCA
D. ∠ADC＝∠BCD
C
　梯形的性质
一组对边⑧ 、另一组对边⑨ 的四边形叫做梯形.平行的
两边称为梯形的⑩ ，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下
底.不平行的两边称为梯形的 ，两腰相等的梯形称为等腰梯形.
平行
不平行
底
腰
【例3】（教材第168页习题6.1第17题）已知：如图，在梯形ABCD中，
AD∥BC，AB＝DC. 求证：∠B＝∠C.
证明：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，AB∥DE，
∴AB＝DE，∠1＝∠B.
又∵AB＝DC，
∴DC＝DE，
∴∠1＝∠C，
∴∠B＝∠C.
如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，∠A＝112°，且BD⊥CD，求
∠C的度数.
解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠ADB.
又∵∠1＝∠2，∠A＝112°，
∴∠1＝∠2＝∠ADB＝34°.
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C＝90°－34°＝56°.
1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论一定正
确的是（　A　）.
A. OB＝OD B. AB＝BC
C. AC＝BD D. ∠ABC＋∠ADC＝180°
A
2. 如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△BOC
的周长是 .
3. （根据教材第176页复习题第6题改编）梯形的两底长分别是4 cm，14
cm，下底上的两个内角分别是∠B＝60°和∠C＝30°，则短腰AB的长
为 cm.
21
5
4. （根据教材第156页例2改编）如图，在平行四边形ABCD中，对角线
AC，BD交于点O，过点O任意作直线分别交AB，CD于点E，F.
（1）求证：△AEO≌△CFO；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（ASA）.
（2）若CD＝10，AD＝8，OE＝3，求四边形AEFD的周长.
（2）解：∵△OAE≌△OCF，
∴CF＝AE，OE＝OF，
∴DF＋AE＝AB＝CD＝10.
又∵EF＝2OE＝6，
∴四边形AEFD的周长＝AD＋DF＋AE＋EF＝8＋10＋6＝24.
5. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB
＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，展平后使得点B落在点B'的位
置，连接DB'，求DB'的长.
解：由折叠的性质可得，△ABE≌△AB'E，
∴∠BEA＝∠B'EA.
∵∠AEB＝45°，
∴∠BEB'＝90°，
∴∠DEB'＝90°.
∵BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴ED＝B'E＝2，
∴DB'＝2 .
参考答案
【新课引入】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO.
在△BAO和△DCO中，
∠AOB＝∠COD，∠BAO＝∠DCO，AB＝CD，
∴△BAO≌△DCO（AAS），
∴OA＝OC，OB＝OD.
【新课导学】
①互相平分
【例1】　解：∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AC＝2OA＝2×5＝10，OD＝OB＝3.
∵∠ADB＝90°，
∴AD2＝OA2－OD2.
∴AD＝ ＝4.
变式训练1　18
②中心对称 ③对称中心 ④平行且相等 ⑤相等
⑥互补 ⑦互相平分
【例2】　（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OEB＝∠OFD.
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴OE＝OF.
（2）解：∵CB∥AD，
∴∠H＝∠G.
在△BOH和△DOG中，
∴△BOH≌△DOG（AAS）.
∴OH＝OG＝5，
∴OF＝OH－HF＝5－2＝3，
即OF的长是3.
变式训练2　C
⑧平行　⑨不平行　⑩底　 腰
【例3】　证明：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，AB∥DE，
∴AB＝DE，∠1＝∠B.
又∵AB＝DC，
∴DC＝DE，
∴∠1＝∠C，
∴∠B＝∠C.
变式训练3　解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠ADB.
又∵∠1＝∠2，∠A＝112°，
∴∠1＝∠2＝∠ADB＝34°.
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C＝90°－34°＝56°.
【随堂小测】
1. A　2.21　3.5
4. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（ASA）.
（2）解：∵△OAE≌△OCF，
∴CF＝AE，OE＝OF，
∴DF＋AE＝AB＝CD＝10.又∵EF＝2OE＝6，
∴四边形AEFD的周长＝AD＋DF＋AE＋EF＝8＋10＋6＝24.
5. 解：由折叠的性质可得，△ABE≌△AB'E，
∴∠BEA＝∠B'EA.
∵∠AEB＝45°，
∴∠BEB'＝90°，
∴∠DEB'＝90°.
∵BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴ED＝B'E＝2，
∴DB'＝2 .(共25张PPT)
第六章　平行四边形
2　平行四边形的判定
第3课时　平行线之间的距离及平行四边形
判定方法的综合运用
在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明
理由吗？
解：一样长，夹在两条平行线之间的平行线段相等.
　平行线之间的距离
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上① 一点到另一条直线的
② 都相等，这个距离称为平行线之间的距离.
【例1】（2024·惠城区期末）如图，若直线m∥n，则下列哪条线段的长可
以表示平行线m与n之间的距离： .
任意
距离
AC
平行线之间的距离是指（　B　）.
A. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线长度
D. 从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
B
　平行线之间的距离的性质的应用
平行线间的距离：平行线间的③ 的长，平行线间的距离④
，夹在两条平行线间的平行线段都⑤ .
垂线段
处处
相等
相等
【例2】如图，已知在 ABCD中，AB＝8 cm，BC＝10 cm，∠B＝30°，
求两组平行线间的距离.
解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长
线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴AE＝ AB＝4 cm，AF＝ AD＝ BC＝5 cm，
即两组平行线间的距离分别为4 cm，5 cm.
如图，为了检验一块木板相对的两个边缘是否平行，木工师傅常
常把两把曲尺的一边紧靠木板一个边缘，再看木板另一边缘对应曲尺上的刻
度是否相等，如果刻度相等，木工师傅就判断木板的两个边缘平行.木工师
傅这样做的道理是 .
平行线间的距离处处相等
【例3】（2024·增城区期末）如图，a∥b，点A，B分别在直线a，b上，
∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°.若a，b之间的距离为3，则
线段AC的长度为 .
6
如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置
发生变化时，△PCD的面积（　C　）.
A. 向左移动变小
B. 向右移动变小
C. 始终不变
D. 无法确定
C
1. 如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点F，下列说法
错误的是（　C　）.
A. AB＝CD
B. CE＝FG
C. AD＝BG
D. AC＝BD
C
2. 如图所示，能表示直线AB，CD之间距离的是线段（　B　）.
A. PQ的长度
B. PM的长度
C. PN的长度
D. 以上都不对
B
3. 如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是
∠DCE的平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于 .
1
4. 如图，l1∥l2，直线l1与直线l2之间的距离为4，点A是直线l1与l2外一点，
点A到直线l1的距离为2，点B，D分别是直线l1与直线l2上的动点，以点B
为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧
交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为 .
8
5. 已知：如图，在 ABCD中，E，F分别是AB和CD上的点，AE＝CF，M，N分别是DE和BF的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C.
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ABF，
∴ME∥FN.
又∵M，N分别是DE，BF的中点，且DE＝BF，
∴ME＝FN，
∴四边形ENFM是平行四边形.
6. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，点D从点C出
发沿CA方向以 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB
方向以1 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点
也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t s（0＜t≤60）.过点D作
DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（1）证明：∵在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，
∴AB＝BC＝60 cm，∠C＝45°.
由题意，得CD＝ t cm，AE＝t cm，
∵DF⊥BC，
∴DF＝t cm，∠CFD＝90°，
∴DF＝AE，DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形.
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
（2）解：①当∠EDF＝90°时，如图1，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝45°，
∴AD＝ AE，即60 － t＝ t，
解得t＝30；
②当∠DEF＝90°时，如图2，
∵AD∥EF，
∴DE⊥AC，
∴AE＝ AD，即t＝ ×（60 － t），
解得t＝40；
③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在.
综上所述，当t＝30或40时，△DEF为直角三角形.
参考答案
【新课引入】
解：一样长，夹在两条平行线之间的平行线段相等.
【新课导学】
①任意 ②距离
【例1】 AC
变式训练1　B
③垂线段　④处处相等　⑤相等
【例2】　解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥DC，交
DC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴AE＝ AB＝4 cm，AF＝ AD＝ BC＝5 cm，
即两组平行线间的距离分别为4 cm，5 cm.
变式训练2　平行线间的距离处处相等
【例3】　6
变式训练3　C
【随堂小测】
1. C　2.B　3.1　4.8
5. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C.
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ABF，
∴ME∥FN.
又∵M，N分别是DE，BF的中点，且DE＝BF，
∴ME＝FN，
∴四边形ENFM是平行四边形.
6. （1）证明：∵在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，
∴AB＝BC＝60 cm，∠C＝45°.
由题意，得CD＝ t cm，AE＝t cm，
∵DF⊥BC，
∴DF＝t cm，∠CFD＝90°，
∴DF＝AE，DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形.
（2）解：①当∠EDF＝90°时，如图1，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝45°，
∴AD＝ AE，即60 － t＝ t，
解得t＝30；
　　
②当∠DEF＝90°时，如图2，
∵AD∥EF，∴DE⊥AC，
∴AE＝ AD，即t＝ ×（60 － t），解得t＝40；
③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在.
综上所述，当t＝30或40时，△DEF为直角三角形.(共23张PPT)
第六章　平行四边形
1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形边和角的性质
平行四边形的对边和对角有怎样的数量关系？
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB＝CD，AD＝BC.
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA.
在△BAC和△DCA中，
∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，∠DAC＝∠BCA，
∴△BAC≌△DCA（ASA），
∴AB＝CD，AD＝BC.
　平行四边形的定义及对称性
两组对边分别① 的四边形叫做平行四边形；平行四边形不相邻的两
个顶点连成的线段叫做它的② .平行四边形是③ 图
形，两条对角线的交点是它的对称中心.
【例1】如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形
ABCD的面积为30 cm2，则四边形EDCF的面积为 .
平行
对角线
中心对称
15 cm2
如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O
的直线分别交AD和BC于点F，E. 若该平行四边形的面积为2，则图中阴影
部分的面积为 .
1
平行四边形边的性质
平行四边形的对边④ .
【例2】（根据教材第154页例1改编）如图，在 ABCD中，BE⊥AC于点
E，DF⊥AC于点F. 求证：BE＝DF.
平行且相等
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF.
如图，点E在 ABCD的边CB的延长线上，且BC＝BE，连接
DE，交AB于点F，求证：AF＝BF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠BEF，∠DAF＝∠EBF.
∵BC＝BE，∴AD＝BE.
在△ADF和△BEF中，
∴△ADF≌△BEF（ASA），∴AF＝BF.
　平行四边形角的性质
平行四边形的对角⑤ ，邻角⑥ .
【例3】如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝125°，∠CAD＝21°，求∠ABC，∠CAB的度数.
相等
互补
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝125°，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝125°，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°，则∠DAB＝180°－125°＝55°.
又∵∠CAD＝21°，
∴∠CAB＝∠DAB－∠CAD＝55°－21°＝34°.
综上所述，∠ABC，∠CAB的度数分别是125°，34°.
已知在平行四边形ABCD中，∠A比∠B小40°，求∠C的度数.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°.
又∵∠B－∠A＝40°，
∴∠B＝110°，∠A＝70°，
∴∠C＝∠A＝70°.
1. （2024·龙岗区中考二模）如图， ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2
上，l1∥l2，若∠1＝32°，∠B＝66°，则∠2的度数为 .
34°
2. （2024·南山区联鹏学校期中复习）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD
交CD于点E，AD＝4，AB＝6，则CE的长为（　C　）.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
C
3. （教材第175页复习题第1题）在 ABCD中，已知AB＝6，AD为 ABCD周长的 ，求BC的长度.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC.
∵AD＝ （AB＋BC＋CD＋AD），
∴AD＝ （2AD＋12），
解得AD＝8，
∴BC＝8.
4. 已知：如图，在 ABCD中，E，F分别是BC和AD上的点，且BE＝DF.
求证：△ABE≌△CDF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
5. 如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，
△PBC的面积为S2，求S1＋S2的值.（用含S的代数式表示）
解：如图，过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S＝BC·EF，S1＝ ，S2＝ .
∵EF＝PE＋PF，AD＝BC，
∴S1＋S2＝ ＋ ＝ ＝ ＝ .
参考答案
【新课引入】
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA.
在△BAC和△DCA中，
∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，∠DAC＝∠BCA，
∴△BAC≌△DCA（ASA），∴AB＝CD，AD＝BC.
【新课导学】
①平行 ②对角线 ③中心对称
【例1】 15 cm2
变式训练1　1
④平行且相等
【例2】　证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF.
变式训练2　证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠BEF，∠DAF＝∠EBF.
∵BC＝BE，
∴AD＝BE.
在△ADF和△BEF中，
∴△ADF≌△BEF（ASA），∴AF＝BF.
⑤相等　⑥互补
【例3】　解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝125°，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝125°，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°，则∠DAB＝180°－125°＝55°.
又∵∠CAD＝21°，
∴∠CAB＝∠DAB－∠CAD＝55°－21°＝34°.
综上所述，∠ABC，∠CAB的度数分别是125°，34°.
变式训练3　解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°.
又∵∠B－∠A＝40°，
∴∠B＝110°，∠A＝70°，
∴∠C＝∠A＝70°.
【随堂小测】
1.34°　2.C
3. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC.
∵AD＝ （AB＋BC＋CD＋AD），
∴AD＝ （2AD＋12），
解得AD＝8，
∴BC＝8.
4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
5. 解：如图，过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S＝BC·EF，S1＝ ，S2＝ .
∵EF＝PE＋PF，AD＝BC，
∴S1＋S2＝ ＋ ＝ ＝ ＝ .(共21张PPT)
第六章　平行四边形
3　三角形的中位线
　　你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方法
将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
解：如图.
　　三角形中位线的定义与性质
连接三角形两边① 的线段叫做三角形的中位线.
【注意】三角形的中位线是线段，一个三角形有② 条中位线.
三角形的中位线③ 于第三边，且等于第三边的④ .
【注意】三条中位线将原三角形分割成四个⑤ 的小三角形.每个小
三角形的周长都为原三角形周长的⑥ ，每个小三角形的面积都是原
三角形面积的⑦ .
中点
3
平行
一半
全等
一半
四分之一
【例1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC两边的中点，若∠A＝
75°，∠ADE＝35°，则∠C的度数为 .
70°
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，D，E分别是
AC，BC的中点，连接DE，则∠DEC的度数为 .
36°
【例2】（根据教材第173页例题改编）如图，平行四边形ABCD的对角线
AC与BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，AB＝4，AC＝6，BD＝
10，求OE的长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝10，
∴AO＝ AC＝3，BO＝ BD＝5.
∵AB＝4，∴AB2＋AO2＝BO2，∴∠BAC＝90°.
在Rt△BAC中，BC＝ ＝2 ，
∵E为AB的中点，O为AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝ ＝ .
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，D，E分别是
AB，BC的中点，若DE＝3，求BC的长.
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，DE＝3，
∴AC＝2DE＝6.
∵∠A＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC＝12.
1. （根据教材第173页随堂练习第2题改编）如图，小明要测量池塘的宽度
AB，选取点O，使D，E分别是OA，OB的中点，现测得DE的长为28
m，则池塘的宽AB大约是 m.
56
2. （2024·南山区期末）如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点O，且垂
直地面于点C，OC＝0.60 m.当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度
为 .
1.2 m
（1）证明：∵AD⊥BE，AD为∠BAC的平分线，
∴∠ADE＝∠ADB＝90°，∠EAD＝∠BAD.
又AD＝AD，∴△ADE≌△ADB，
∴AE＝AB，DE＝BD.
∵M为BC的中点，
∴DM＝ CE.
3. （2024·光明区校级开学）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，线
段BE垂直于∠BAC的平分线于点D，点M为边BC的中点，连接DM.
（1）求证：DM＝ CE；
（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝4，求AC的长.
（2）解：在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，
由勾股定理，得AB＝ ＝10，
∴AE＝AB＝10.
∵DM＝4，DM＝ CE，
∴CE＝8，
∴AC＝10＋8＝18.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，
延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于
点O.
（1）试说明AF与DE互相平分；
解：（1）∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝ AB.
又AB＝2AD，即AD＝ AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分.
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长.
解：（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝4 .
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝ AC＝ .
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝ AB＝4，OA＝ ，
∴由勾股定理，得DO＝ ＝ ＝ .
参考答案
【新课引入】
解：如图.
　　
【新课导学】
①中点　②3　③平行　④一半　⑤全等　⑥一半
⑦四分之一
【例1】　70°
变式训练1　36°
【例2】　解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝10，
∴AO＝ AC＝3，BO＝ BD＝5.
∵AB＝4，
∴AB2＋AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°.
在Rt△BAC中，BC＝ ＝2 ，
∵E为AB的中点，O为AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ ＝ .
变式训练2　解：∵D，E分别是AB，BC的中点，DE＝3，
∴AC＝2DE＝6.
∵∠A＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC＝12.
【随堂小测】
1.56　2.1.2 m
3. （1）证明：∵AD⊥BE，AD为∠BAC的平分线，
∴∠ADE＝∠ADB＝90°，∠EAD＝∠BAD.
又AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB，
∴AE＝AB，DE＝BD.
∵M为BC的中点，
∴DM＝ CE.
（2）解：在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，
由勾股定理，得AB＝ ＝10，
∴AE＝AB＝10.
∵DM＝4，DM＝ CE，
∴CE＝8，
∴AC＝10＋8＝18.
4. 解：（1）∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝ AB.
又AB＝2AD，即AD＝ AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分.
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝4 .
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝ AC＝ .
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝ AB＝4，OA＝ ，
∴由勾股定理，得DO＝ ＝ ＝ .(共21张PPT)
第六章　平行四边形
　2 平行四边形的判定
第1课时　利用边判定平行四边形
根据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.除此之外，你还能发
现平行四边形的哪些判定条件？你是怎样想到的？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：如图，连接AC.
∵AB＝CD，BC＝AD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠BAC＝∠DCA，∠BCA＝∠DAC，
∴AB∥CD，BC∥AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
　　平行四边形的判定
1. 两组对边分别① 的四边形是平行四边形.
2. 两组对边分别② 的四边形是平行四边形.
3. 一组对边③ 的四边形是平行四边形.
平行
相等
平行且相等
【例】（教材第176页复习题第5题）已知：如图，点E在 ABCD边BC的
延长线上，且CE＝BC. 求证：四边形ACED是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵CE＝BC，
∴AD＝CE.
又∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形.
（根据教材第161页例1改编）如图，在 BFDE中，A，C分别在
DE，BF的延长线上，且AE＝CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE∥BF，DE＝BF.
∵AE＝CF，
∴AE＋DE＝CF＋BF，即AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
1. 如图，两条射线AE∥BF，点C，D分别在射线BF，AE上，只需添
加一个条件，即可判断四边形ABCD为平行四边形.这个条件可以是
.
AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一）
2. 如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　B　）.
A. AB∥CD，AD＝BC
B. AB＝CD，AD＝BC
C. ∠A＝∠B，∠C＝∠D
D. AB＝AD，∠B＝∠D
B
3. （2024春·房山区期中）下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四
边形的有（　B　）.
①AB＝CD，AD＝BC；②AB＝CD，AB∥CD；③AB＝CD，
AD∥BC；④AB∥CD，AD∥BC.
A. ②③④ B. ①②④
C. ①②③ D. ①③④
B
4. （教材第167页习题6.2第3题）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝
∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝
∠D，∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC.
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
5. 如图，已知点A，F，C，D在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，
AC＝DF. 求证：
（1）EC＝BF.
证明：（1）∵AC＝DF，∴AF＝DC.
∵AB∥DE，∴∠BAF＝∠EDC.
在△AFB和△DCE中，
∴△AFB≌△DCE（SAS），
∴EC＝BF.
（2）四边形BCEF是平行四边形.
证明：（2）∵△AFB≌△DCE，
∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，
∴∠BFC＝∠ECF，
∴FB∥CE.
又∵FB＝CE，
∴四边形BCEF是平行四边形.
6. 如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，0），B（2，3），C（0，4）.
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
解：（1）△ABC是直角三角形.理由：
∵AC2＝42＋22＝20，BC2＝22＋12＝5，
AB2＝42＋32＝25，
∴AB2＝AC2＋BC2，
∴△ACB是直角三角形.
（2）点D为平面直角坐标系中的点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平
行四边形，写出所有满足条件的点D的坐标.
解：（2）如图，以A，B，C，D为顶点的四
边形是平行四边形，
∴D1（0，－1），
D2（－4，1），
D3（4，7）.
即D点坐标为（0，－1）
或（－4，1）或（4，7）.
参考答案
【新课引入】
证明：如图，连接AC.
∵AB＝CD，BC＝AD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠BAC＝∠DCA，∠BCA＝∠DAC，
∴AB∥CD，BC∥AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
【新课导学】
①平行　② 相等　③平行且相等
【例】　证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵CE＝BC，
∴AD＝CE.
又∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形.
变式训练　证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE∥BF，DE＝BF.
∵AE＝CF，
∴AE＋DE＝CF＋BF，即AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
1. AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一）
2. B　3.B
4. 证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC.
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
【随堂小测】
5. 证明：（1）∵AC＝DF，
∴AF＝DC.
∵AB∥DE，
∴∠BAF＝∠EDC.
在△AFB和△DCE中，
∴△AFB≌△DCE（SAS），
∴EC＝BF.
（2）∵△AFB≌△DCE，
∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，
∴∠BFC＝∠ECF，
∴FB∥CE.
又∵FB＝CE，
∴四边形BCEF是平行四边形.
6. 解：（1）△ABC是直角三角形.理由：
∵AC2＝42＋22＝20，BC2＝22＋12＝5，AB2＝42＋32＝25，
∴AB2＝AC2＋BC2，
∴△ACB是直角三角形.
（2）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴D1（0，－1），D2（－4，1），D3（4，7）.
即D点坐标为（0，－1）或（－4，1）或（4，7）.

展开更多......

收起↑