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(共20张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
第3课时　多边形的内角和
三角形的内角和是180°，那么四边形、五边形的内角和是多少？外角和
呢？你能找到规律吗？
解：四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，n边形的内角和为
（n－2）·180°，多边形的外角和为360°.
　多边形的内角和
多边形的内角和：一个多边形所有内角的和叫做多边形的内角和.n边形的内
角和等于① .
【例1】正五边形的内角和为 .
（n－2）·180°
540°
如果一个多边形的内角和为1 080°，那么它是 边形.
八
【例2】如图，在五边形的ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°,∠D=105°，
则∠A+∠D= .

205°
变式训练2 求出图中的值.
解：由图可知70+
=(5-2)×180，解得
　正多边形每个内角的度数
正多边形中每个内角相等，因此在正多边形中每个内角的度数等于
② .
【例3】正六边形每个内角的度数是 ° .
120
变式训练3 正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是正 边形.
八
【例4】如图，六边形ABCDEF的每个内角都相等，且AD∥EF，求∠1的
度数.
解：∵六边形ABCDEF的每个内角都相等，
∴∠∠ =120°.
∵ABCD，∴∠∠
∴∠
∴∠
变式训练4 如图，正五边形ABCDE 的边AB，DC 的延长线交于点F，求∠F 的大小．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝∠BCD = =108°.
∵∠ABC +∠FBC ＝180°，∠BCD +∠BCF＝180°，
∴∠FBC＝180°∠ABC ＝180°108°＝72°，
∠BCF＝180°∠BCD ＝180°108°＝72°.
在△BCF 中，∠F +∠FBC +∠BCF ＝180°，
∴∠F＝180∠FBC∠BCF＝180°72°72°＝36°．
1. （2024·光明区期末）如图，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则
正九边形的内角和为 .
1 260°
2. 若一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是 边形.
3. 如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2 023个三角形，那么这个多边形的边数为 .
2 025
七
4. （2024·龙华区期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药
物传递等方面具有重要的应用前景.它的分子结构如图所示，所有多边形都
是正多边形，则∠ABC的度数为（　B　）.
B
A. 135° B. 120° C. 105° D. 60°
5. （教材第177页复习题第13题）分别确定一般三角形、四边形、五边形、
六边形……的内角和，以及正三角形、正四边形、正五边形、正六边形……
每个内角的度数，并填入下表：
边数 3 4 5 6 ... n
多边形的内角和
正多边形每个内角的度数
解：填表如下.
边数 3 4 5 6 ... n
多边形的内角和 180° 360° 540° 720° --- （n－2）·180°
正多边形每个内角
的度数 60° 90° 108° 120° ---
6. 将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图所示的位置放置，已知∠1＝
50°，求∠2的大小.
解：如图，过点C作CG∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CG∥MN，
∴∠2＝∠BCG，∠1＝∠DCG，
∴∠1＋∠2＝∠BCG＋∠DCG＝∠BCD.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD＝ ＝120°＝∠1＋∠2.
∵∠1＝50°，∴∠2＝120°－50°＝70°.
参考答案
【新课引入】
解：四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，n边形的内角和为
（n－2）·180°，多边形的外角和为360°.
【新课导学】
①（n－2）·180°
【例1】　540°
变式训练1　八
【例2】　205°
变式训练2　解：由图可知70+=(5-2)×180，
解得
【例3】　120 变式训练3　八
【例4】
变式训练4
【随堂小测】
1. 1 260°
2.七
3.2025
4.B
边数 3 4 5 6 …
多边形的 内角和 180° 360° 540° 720° （n－2）·180°
正多边形每个 内角的度数 60° 90° 108° 120°
5. 解：填表如下.
6. 解：如图，过点C作CG∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CG∥MN，
∴∠2＝∠BCG，∠1＝∠DCG，
∴∠1＋∠2＝∠BCG＋∠DCG＝∠BCD.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD＝ ＝120°＝∠1＋∠2.
∵∠1＝50°，
∴∠2＝120°－50°＝70°.(共22张PPT)
第一章　三角形的证明
2　等腰三角形
第2课时　等腰三角形的判定及反证法
我们已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形
是等腰三角形吗？
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB＝AC.
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADB和△ADC中，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（AAS），
∴AB＝AC.
　等腰三角形的判定定理的应用
判定1：有① 相等的三角形是等腰三角形（定义法）.
判定2：如果一个三角形中有② 相等，那么这两个角所对的边也
相等.（简称“③ ”）
温馨提示：等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定定理“等
角对等边”都是实现三角形边角关系转化的重要依据.
两条边
两个角
等角对等边
【例1】（教材第21页习题1.2第7题）已知：如图，在△ABC中，AB＝
AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F. 求
证：△AEF是等腰三角形.
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C. ∵EP⊥BC，
∴∠C＋∠E＝90°，∠B＋∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP. 又∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE.
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰三角形.
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作
DE∥BC，交AB于点E.
（1）请判断△BDE的形状，并说明理由；
解：（1）△BDE是等腰三角形.理由：
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴△BDE是等腰三角形.
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.
解：（2）CD＝ED，理由：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC.
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠ADE，∠ABC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，由（1）知，DE＝BE，
∴CD＝ED.
　反证法的应用
定义：先假设命题的结论④ ，然后推导出与⑤ 、⑥
、⑦ 或⑧ 相矛盾的结果，从而证明命题
的结论一定成立，这种证明方法称为⑨ .
温馨提示：反证法证明的步骤：（1）假设命题结论不成立；（2）从这个假
设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由这个矛盾判断假设不成立，从
而肯定命题的结论正确.
不成立
定义
基
本事实
已有定理
已知条件
反证法
【例2】（2024·龙华区期中）用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个
内角是锐角”时，应先假设（　C　）
A. 三个内角都锐角
B. 三个内角都是钝角
C. 三个内角都不是锐角
D. 三个内角都不是钝角
C
用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）.
已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1＋∠2≠180°.
求证：直线a与b不平行.
证明：假设所求证的结论不成立，即a b，则∠1＋∠2 180°
（ ），这与 矛盾，
故 不成立.所以 .
∥
＝
两直线平行，同旁内角互补
∠1＋∠2≠180°
a∥b
a与b不平行
1. 如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，则∠C的度数是（　C　）.
A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°
C
2. （2025·龙华区期中）在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝50°，AC＝
5，则AB＝ .
3. （教材第21页习题1.2第6题）已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
AD∥BC，且∠1＝∠2.求证AB＝AC.
2.5
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
4. （根据教材第22页习题1.2第12题改编）上午9时，一条船从海岛A出发，
以12海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，如图，海岛A在灯塔C
的南偏西32°方向，灯塔C在海岛B的北偏东64°方向，求灯塔C到海岛B
的距离.
解：根据题意得∠CBD＝64°，∠CAB＝32°，
∴∠BCA＝∠CBD－∠CAB＝32°＝∠CAB，
∴BC＝AB.
∵AB＝12×（12－9）＝36（海里），
∴BC＝36海里，即灯塔C到海岛B的距离是36海里.
5. （教材第18页随堂练习第2题）已知五个正数的和等于1，用反证法证明：
这五个正数中至少有一个数大于或等于 .
证明：假设这五个正数都小于 ，则这五个正数的和一定小于1，与已知矛
盾，故原命题正确，
即已知五个正数的和等于1，这五个正数中至少有一个数大于或等于 .
6. （2025·百合外国语学校期中）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC
＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE.
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（1）证明：∵AD∥EB，
∴∠A＝∠B.
在△ADC和△BCE中，
∴△ADC≌△BCE（SAS）.
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积.
（2）解：由（1）知△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE. 又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF.
∵CF＝3，DF＝4，
∴DE＝2DF＝8，
∴S△DCE＝ ＝ ＝12，即△DCE的面积是12.
参考答案
【新课引入】
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADB和△ADC中，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（AAS），
∴AB＝AC.
【新课导学】①两条边　②两个角　③等角对等边
【例1】　证明：在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵EP⊥BC，
∴∠C＋∠E＝90°，∠B＋∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP.
又∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE.
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰三角形.
变式训练1　解：（1）△BDE是等腰三角形.理由：
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴△BDE是等腰三角形.
（2）CD＝ED，理由：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC.
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠ADE，∠ABC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）知，DE＝BE，
∴CD＝ED.
④不成立 ⑤定义 ⑥基本事实 ⑦已有定理 ⑧已知条件 ⑨反证法
【例2】 C
变式训练2　∥　＝　两直线平行，同旁内角互补　∠1＋∠2≠180°　
a∥b　a与b不平行
【随堂小测】
1. C　2.5
3. 证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
4. 解：根据题意得∠CBD＝64°，∠CAB＝32°，
∴∠BCA＝∠CBD－∠CAB＝32°＝∠CAB，
∴BC＝AB.
∵AB＝12×（12－9）＝36（海里），
∴BC＝36海里，即灯塔C到海岛B的距离是36海里.
5. 证明：假设这五个正数都小于 ，则这五个正数的和一定小于1，与已知矛
盾，故原命题正确，
即已知五个正数的和等于1，这五个正数中至少有一个数大于或等于 .
6. （1）证明：∵AD∥EB，
∴∠A＝∠B. 在△ADC和△BCE中，
∴△ADC≌△BCE（SAS）.
（2）解：由（1）知△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE.又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF.
∵CF＝3，DF＝4，
∴DE＝2DF＝8，
∴S△DCE＝ ＝ ＝12，即△DCE的面积是12.(共23张PPT)
第一章　三角形的证明
2　等腰三角形
第3课时　等边三角形的判定及含30°角的直角三角形
一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明你的结论.
已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证：AB＝AC＝BC.
证明：∵∠A＝∠B，
∴CA＝CB.
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC.
　运用等边三角形的性质定理和判定定理解题
判定1：三边① 的三角形是等边三角形.（定义法）
判定2：三个角② 的三角形是等边三角形.
判定3：有一个角等于③ 的等腰三角形是等边三角形.
温馨提示：已知或求证了一个三角形是等边三角形，必然要使用等边三角形
的边角性质.在判定一个三角形是等边三角形时，要根据已知或者隐含的边
角条件，选择恰当的判定定理.
都相等
都相等
60°
【例1】（教材第21页习题1.2第8题）已知：如图，△ABC是等边三角形，
与BC平行的直线分别交AB和AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形.
由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小颖同
学设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图
1，衣架杆OA＝OB＝18 cm（O为衣架的固定点），如图2，若衣架收拢
时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是（　C　）.
A. 9 cm C. 18 cm
C
　直角三角形的性质定理
性质定理：在直角三角形中，如果④ ，那么⑤
.
温馨提示：这个定理的前提是在直角三角形中，经常和直角三角形的两个锐
角互余结合在一起使用，是直角三角形中求边长的重要手段.
有一个角等于30°
这个
角所对的直角边等于斜边的一半
【例2】（根据教材第20页随堂练习第2题改编）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，∠B＝2∠A，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的长.
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝2∠A，
∴∠B＝60°，∠A＝30°.又∵CD是△ABC的高，
∴∠BCD＝∠A＝30°.
∵BD＝1，
∴BC＝2，
∴AB＝4，
∴AD＝AB－BD＝3.
如图，嘉琪想测量一座古塔CD的高度，在A处测得∠CAD＝
15°，再往前行进60 m到达B处，测得∠CBD＝30°，点A，B，D在同一
条直线上，根据测得的数据，这座古塔CD的高度为（　B　）.
A. 40 m B. 30 m D. 50 m
B
1. 下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　D　）.
A. ∠A＝∠B＝∠C
B. AB＝AC，∠B＝60°
C. ∠A＝60°，∠B＝60°
D. AB＝AC，且∠B＝∠C
D
2. 如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OC⊥AC于点C），
跷跷板的一头A着地时∠OAC＝30°，点A，C，B'在同一水平线上，若
OC＝1 m，则OA的长度为（　D　）.
A. 0.5 m B. 1 m C. 1.5 m D. 2 m
D
3. （根据教材第22页习题1.2第9题改编）房梁的一部分如图所示，其中
BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8 m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足
为E，则DE的长为 m.
2
解析：∵D为AB的中点，AB＝8 m，
∴AD＝4 m.
∵DE⊥AC于点E，∠A＝30°，
∴DE＝ AD＝2 m.故答案为2.
4. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，点D是AB的中点，过点D作
DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，则BE的长为（　C　）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
5. 如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点
D，BD＝ ，则AC＝ 　3 　.
3
6. 如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，
∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形.
证明：∵HB＝HC，∴∠HBC＝∠HCB.
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∴∠ABC＋∠BCH＝90°，∠ACB＋∠CBH＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC.
∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形.
7. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，交
AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE.
（1）若AD＝6，求CD的长；
解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°.∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA＝∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
∴∠A＝∠DBA＝30°，
∴DB＝DA＝6，∴CD＝ BD＝3.
（2）判断△BCE的形状，并说明理由.
解：（2）△BCE是等边三角形，理由：
∵DB＝DA，DE⊥AB，
∴BE＝EA. 在Rt△ACB中，∠A＝30°，
∴BC＝ AB＝BE，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形.
参考答案
【新课引入】
证明：∵∠A＝∠B，
∴CA＝CB.
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC.
【新课导学】
①都相等　②都相等　③60°
【例1】　证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形.
变式训练1　C
④有一个角等于30°　⑤这个角所对的直角边等于斜边的一半
【例2】　解：∵∠ACB＝90°，∠B＝2∠A，
∴∠B＝60°，∠A＝30°.
又∵CD是△ABC的高，
∴∠BCD＝∠A＝30°.
∵BD＝1，
∴BC＝2，
∴AB＝4，
∴AD＝AB－BD＝3.
变式训练2　B
【随堂小测】
1. D　2.D
3.2　解析：∵D为AB的中点，AB＝8 m，
∴AD＝4 m.
∵DE⊥AC于点E，∠A＝30°，
∴DE＝ AD＝2 m.故答案为2.
4. C　5.3
6. 证明：∵HB＝HC，
∴∠HBC＝∠HCB.
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∴∠ABC＋∠BCH＝90°，∠ACB＋∠CBH＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC.
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
7. 解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA＝∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
∴∠A＝∠DBA＝30°，
∴DB＝DA＝6，
∴CD＝ BD＝3.
（2）△BCE是等边三角形，
理由：∵DB＝DA，DE⊥AB，
∴BE＝EA.
在Rt△ACB中，∠A＝30°，
∴BC＝ AB＝BE，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形.(共21张PPT)
第一章　三角形的证明
4　线段的垂直平分线
第1课时　垂直平分线的性质定理与判定定理
线段垂直平分线上的点有什么性质？请证明自己的结论.
如图，直线MN⊥线段AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA＝PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°.在△PCA和△PCB中，
∴△PCA≌△PCB（SAS），∴PA＝PB.
　线段垂直平分线的性质定理
性质定理：线段① 的点到这条线段② 的距离
相等.
温馨提示：（1）此定理是证明两条线段相等的重要工具；（2）此定理也经
常用来进行线段的等量代换，与几何图形的周长问题联系紧密；（3）连接
垂直平分线上的点与线段的端点，是重要的作辅助线的思路.
垂直平分线上
两个端点
【例1】（根据教材第38页习题1.4第5题改编）如图，已知△ABC的边AC＝
5a，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE.
（1）找出图中相等的线段： ；（写出一组即可）
解析：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，EA＝EB.
故答案为AE＝BE（答案不唯一）.
AE＝BE
（2）若△ACE的周长为12a，求边BC的长.
解：（2）∵△ACE的周长为12a，
∴AC＋CE＋AE＝12a.
∵AE＝BE，
∴AC＋CE＋BE＝12a，
∴AC＋BC＝12a.
∵AC＝5a，
∴BC＝12a－5a＝7a，即边BC的长为7a.
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交
AC于点D，交BC于点E. 已知∠BAE＝20°，求∠C的度数.
解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠CAB＝∠EAC＋20°＝∠C＋20°.
∵∠C＋∠CAB＝90°，
∴2∠C＋20°＝90°，
∴∠C＝35°.
　线段垂直平分线的判定定理
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在③
.
温馨提示：此定理可以证明点在线段的垂直平分线上，是一个容易被忽视的
重要结论.
这条线段的垂直平分
线上
【例2】（教材第33页例1）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是
△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC，OB＝OC，
∴点A，O都在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AO垂直平分线段BC.
如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC垂直平分BD.
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB＝AD，BC＝DC，
∴AC垂直平分BD.
1. 如图，在△ABC中，直线AD是线段BC的垂直平分线，下列叙述错误的
是（　D　）.
A. AC＝AB B. DB＝DC
C. EB＝EC，∠AEC＝90° D. DA＝DB
D
2. 某同学做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH＝∠FDH，ED＝FD，则
下列结论不一定正确的是（　C　）.
A. EH＝FH B. ∠DEH＝∠DFH
C. EF垂直平分DH D. 点E与点F关于直线DH对称
C
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于点D，若AD＝2
cm，则BD＝ cm.
2
4. （2024·福田外国语学校期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝3，BC＝4，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC的延长线
于点E，连接BE，则BE的长为 .

5. （2024·麒麟中学期中）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝
∠C，BE＝DE.
求证：（1）OB＝OD；
证明：（1）在△AOB与△COD中，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD.
证明：（2）∵OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE＝DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD.
（2）OE垂直平分BD.
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E，连接BE.
（1）求证：AE＝2CE；
（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
（2）连接DC，试判断△BCD的形状，并说明理由.
（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点.
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD.
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形.
参考答案
【新课引入】
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°.
在△PCA和△PCB中，
∴△PCA≌△PCB（SAS），
∴PA＝PB.
【新课导学】
①垂直平分线上　②两个端点
【例1】　解：（1）AE＝BE（答案不唯一）
解析：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，EA＝EB. 故答案为AE＝BE（答案不唯一）.
（2）∵△ACE的周长为12a，∴AC＋CE＋AE＝12a.
∵AE＝BE，
∴AC＋CE＋BE＝12a，
∴AC＋BC＝12a.
∵AC＝5a，∴BC＝12a－5a＝7a，即边BC的长为7a.
变式训练1　解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠CAB＝∠EAC＋20°＝∠C＋20°.
∵∠C＋∠CAB＝90°，
∴2∠C＋20°＝90°，
∴∠C＝35°.
③这条线段的垂直平分线上
【例2】　证明：∵AB＝AC，OB＝OC，
∴点A，O都在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AO垂直平分线段BC.
变式训练2　证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB＝AD，BC＝DC，
∴AC垂直平分BD.
【随堂小测】
1. D　2.C　3.2　4.
5. 证明：（1）在△AOB与△COD中，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD.
（2）∵OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD.
6. （1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：
∵DE垂直平分AB，∴D为AB的中点.
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD. ∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形.(共29张PPT)
第一章　三角形的证明
5　角平分线
第1课时　角平分线的性质定理与判定定理
角平分线上的点有什么特点？如何判断一个点在角平分线上？
1. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°.
在△OPD和△OPE中，
∠ODP＝∠OEP，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，
∴△OPD≌△OPE（AAS），
∴PD＝PE.
2. 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为
D，E，且PD＝PE.
求证：OP平分∠AOB.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°.
在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP＝OP，PD＝PE，
∴△OPD≌△OPE（HL），
∴∠DOP＝∠EOP，
∴OP平分∠AOB.
　角平分线的性质定理
性质定理：角平分线上的点到① .
温馨提示：（1）此定理是证明两条线段相等的重要工具；（2）此定理也经
常用来进行线段的等量代换，与几何图形的面积问题联系紧密；（3）过角
平分线上的点向角的两边作垂线，是重要的作辅助线的思路.
这个角两边的距离相等
【例1】（根据教材第44页习题1.5第1题改编）如图，在△ABC中，AD是它
的角平分线，且EB＝FC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求
证：BD＝CD.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴BD＝CD.
（根据教材第44页习题1.5第4题改编）如图，已知P是∠AOB的
平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D. 连接CD，交线
段OP于点E.
（1）求证：OC＝OD；
（1）证明：∵P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD. 在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴OC＝OD.
（2）若CP＝6，OP＝10，求线段DE的长.
（2）解：由（1）得OC＝OD，∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠COE＝∠DOE. 在△COE与△DOE中，
∴△COE≌△DOE（SAS），∴CE＝DE，OE⊥CD.
在Rt△OCP中，由勾股定理，得OC＝ ＝ ＝8，
设OE＝x，则PE＝10－x，∵CP2－PE2＝CE2＝OC2－OE2，
∴62－（10－x）2＝82－x2，解得x＝6.4，
∴DE＝CE＝ ＝ ＝4.8.
　角平分线的判定定理
判定定理：在一个角的内部，② 点在这个角的平
分线上.
温馨提示：此定理可以证明点在角的平分线上，进而判定角平分线，并运用
角平分线的性质解决问题.
到角的两边距离相等的
【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝20，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，
∴AD是∠BAC的平分线.∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.又∵∠AED＝90°，AD＝20，
∴DE＝ AD＝ ×20＝10.
（教材第45页习题1.5第6题）如图，在△ABC中，点D在BC
上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接AD，EF. 当AD与
EF满足什么条件时，AD是△ABC的角平分线？为什么？
解：当AD垂直平分EF时，AD是△ABC的角平分线.
理由：∵AD垂直平分EF，
∴DE＝DF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线.
　角平分线的画法
温馨提示：作图的实质是构造边边边对应相等的两个全等三角形.
【例3】在如图所示的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平
分∠BAC的是（　B　）.
B
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有①
现要在三角形地ABC内建一中心医院，使医院到A，B两个居民
小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院
的位置P. （尺规作图，保留作图痕迹）
解：如图，点P即为所求.
1. （2024·沙湾中学月考）如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点
D，PD＝5，则点P到OB的距离是（　D　）.
A. 1 B. 2.5 C. 4 D. 5
D
2. （2024·南山区期末）如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作
∠AOB的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是
（　D　）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
D
3. 如图，在△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE＝1 cm，
BC＝4 cm，则△BEC的面积是（　B　）.
A. 1 cm2 B. 2 cm2 C. 3 cm2 D. 4 cm2
B
4. （2024·福田外国语学校期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的
周长分别为13和3，则AB的长为（　D　）.
A. 10 B. 16 C. 8 D. 5
D
5. （教材第45页习题1.5第8题）如图，用尺规在∠AOB内部作一点P，使
PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等.
解：如图，先作线段CD的垂直平分线，再作∠AOB的平分线，两线交点即
为所求.
6. （根据教材第45页习题1.5第7题改编）如图，△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°.
（1）用尺规作图作AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E.
（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边的垂直平分线.
（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA.
（2）证明：∵DE是AB边的垂直平分线，∠A＝30°，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°.
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠CBA.
参考答案
【新课引入】
1. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°.
在△OPD和△OPE中，
∠ODP＝∠OEP，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，
∴△OPD≌△OPE（AAS），
∴PD＝PE.
2. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°.
在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP＝OP，PD＝PE，
∴△OPD≌△OPE（HL），
∴∠DOP＝∠EOP，
∴OP平分∠AOB.
【新课导学】
①这个角两边的距离相等
【例1】　证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF. 在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴BD＝CD.
变式训练1　（1）证明：∵P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，
PD⊥OB，
∴PC＝PD. 在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），∴OC＝OD.
（2）解：由（1）得OC＝OD，∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠COE＝∠DOE. 在△COE与△DOE中，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴CE＝DE，OE⊥CD.
在Rt△OCP中，由勾股定理，得OC＝ ＝ ＝8，
设OE＝x，则PE＝10－x，∵CP2－PE2＝CE2＝OC2－OE2，
∴62－（10－x）2＝82－x2，解得x＝6.4，
∴DE＝CE＝ ＝ ＝4.8.
②到角的两边距离相等的
【例2】　解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，
∴AD是∠BAC的平分线.∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
又∵∠AED＝90°，AD＝20，
∴DE＝ AD＝ ×20＝10.
变式训练2　解：当AD垂直平分EF时，AD是△ABC的角平分线.
理由：∵AD垂直平分EF，
∴DE＝DF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线.
【例3】　B
变式训练3　解：如图，点P即为所求.
【随堂小测】
1. D　2.D　3.B　4.D
5. 解：如图，先作线段CD的垂直平分线，再作∠AOB的平分线，两线交点
即为所求.
6. （1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边的垂直平分线.
（2）证明：∵DE是AB边的垂直平分线，∠A＝30°，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°.
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠CBA.(共21张PPT)
第一章　三角形的证明
2　等腰三角形
第1课时　等腰三角形与等边三角形的性质
等腰三角形除了两边相等外，还有哪些特殊的性质呢？你能证明这些性
质吗？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C.
证明：如图，取BC的中点D，连接AD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD. 在△ADB和△ADC中，AD＝AD，
BD＝CD，AB＝AC，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠B＝∠C.
　等腰三角形的两个底角相等，简述为等边对等角
温馨提示：已知三角形是等腰三角形，则可得到两底角相等（边角转化）.
若已知等腰三角形的一个内角，要注意分析已知角是顶角还是底角，要分情况
讨论的可能性.
【例1】若等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是 .
65°
（2024·南山外国语学校期中）已知等腰三角形的一个内角是
70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是 .
70°或40°
　等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重
合（三线合一）
温馨提示：已知一个三角形是等腰三角形，则可得到三线合一的结论，这也是引出辅助线的思路.
【例2】（根据教材第20页习题1.2第1题改编）如图，在△ABC中，AB＝
AC，∠BAC＝106°，AD⊥BC，垂足为点D，求∠BAD的度数.
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝ ×106°＝53°.
（根据教材第15页随堂练习第1题改编）如图，在△ABC中，BC
＝16，AB＝AC，AD平分∠BAC，求CD的长.
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴CD＝DB＝ BC＝ ×16＝8.
知识点3 等边三角形的性质
（1）等边三角形的① 都相等.（2）等边三角形的② 都相
等，都等于③ .（3）等边三角形各边上的中线、高和所对的角平分线④ .（4）等边三角形是轴对称图形，有⑤ 条对称轴.
三边
三个内角
60°
三线合一
3
【例3】（根据教材第17页习题1.2第4题改编）如图，D，E分别是等边三角
形ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE，BE，DC相交于点P.
（1）求证：CD＝BE；
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝∠CAD，BC＝CA.
在△BCE和△CAD中，
∴△BCE≌△CAD（SAS），
∴CD＝BE.
（2）求∠BPD的度数.
（2）解：∵△BCE≌△CAD，
∴∠ACD＝∠CBE，
∴∠BPD＝∠PCB＋∠CBE＝∠PCB＋∠ACD＝∠ACB＝60°.
变式训练3 如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是边AC，BC上的点，
若AE＝AD，∠CED＝20°，则∠BAE＝ .
40°
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC于点D，且BD＝2，则
△ABC的周长为（　D　）.
A. 10 C. 12 D. 14
D
2. （2024·翠园中学期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
CD⊥AB于点D，则∠DCB等于（　C　）.
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
C
3. （教材第15页随堂练习第2题）如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分
点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：∵D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
∴BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－30°＝120°.
4. 如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，且点D，E，F分别在边AB，
BC，AC上，若△ABC的周长为12，AD＝1，求EC的长度.
解：∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，DE＝DF＝EF，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠EDF＝
∠DEF＝∠EFD＝60°，
∴∠BDE＋∠ADF＝120°，∠ADF＋∠AFD＝120°，
∴∠BDE＝∠AFD. 又∠A＝∠B，DF＝DE，
∴△ADF≌△BED（AAS），
∴AD＝BE＝1.∵△ABC的周长为12，
∴BC＝ ×12＝4，∴EC＝BC－BE＝3.
5. （1）如图1，AC，BD交于点E，AE＝DE，BE＝CE，∠A＝85°，
∠DCE＝25°，则∠EBC的度数为 .
35°
解：（2）如图，延长BE至点D，
使DE＝AE＝2，连接CD.
∵EB＝EC，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴AB＝DC.
∵AB＝BC，
∴CD＝BC.
∵CM⊥BE，
∴BM＝MD＝ME＋DE＝1＋2＝3.
（2）如图2，在△ABC中，AB＝BC，点E在AC上，EB＝EC，
CM⊥BE于点M，若EM＝1，AE＝2，求BM的长.
参考答案
【新课引入】
证明：如图，取BC的中点D，连接AD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在△ADB和△ADC中，AD＝AD，BD＝CD，AB＝AC，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠B＝∠C.
【新课导学】
【例1】　65°
变式训练1　70°或40°
【例2】　解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝ ×106°＝53°.
变式训练2　解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴CD＝DB＝ BC＝ ×16＝8.
例3（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝∠CAD，BC＝CA.
在△BCE和△CAD中，
∴△BCE≌△CAD（SAS），∴CD＝BE.
（2）解：∵△BCE≌△CAD，
∴∠ACD＝∠CBE，
∴∠BPD＝∠PCB＋∠CBE＝∠PCB＋∠ACD＝∠ACB＝60°.
变式训练3 40°
【随堂小测】
1. D　2.C
3.解：∵D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
∴BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－30°＝120°.
4.解：∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，DE＝DF＝EF，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠EDF＝∠DEF＝∠EFD＝60°，
∴∠BDE＋∠ADF＝120°，∠ADF＋∠AFD＝120°，
∴∠BDE＝∠AFD. 又∠A＝∠B，DF＝DE，
∴△ADF≌△BED（AAS），
∴AD＝BE＝1.∵△ABC的周长为12，
∴BC＝ ×12＝4，∴EC＝BC－BE＝3.
5. （1）35°（2）如图，延长BE至点D，
使DE＝AE＝2，连接CD.
∵EB＝EC，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴AB＝DC.
∵AB＝BC，
∴CD＝BC.
∵CM⊥BE，
∴BM＝MD＝ME＋DE＝1＋2＝3.(共23张PPT)
第一章　三角形的证明
1　三角形内角和定理
第2课时　三角形内角和定理的推论
在三角形中，除了三个内角，还有与内角相邻的外角.观察下图，∠FAC是
三角形的外角，它与其他角有什么关系？
已知：如图，∠FAC是△ABC的一个外角.
求证：∠FAC＝∠B＋∠C.
证明：如图，过点A作DE∥BC，
∵DE∥BC，
∴∠FAE＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠FAE＋∠EAC＝∠B＋∠C.
　三角形的外角的定义
温馨提示：定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形
的外角.
如图，① 是△ABC的一个外角.
∠ACD
说明：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线.
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以一个三角形共
有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三
个外角.
【例1】如图，∠1，∠2是不是△ABC的外角？图中还有哪些角可以看作一
个三角形的外角？
解：∠1不是△ABC的外角，∠2是△ABC的外角.
题图中，∠BFE是△AEF的外角，∠BAE是△ABC的外角，∠BAC是
△AEF的外角.
如图，E为△ABC的边BA延长线上的一点，F为边CA延长线上
的一点，AD平分∠EAC. 图中△ABC的外角有哪几个？
解：题图中△ABC的外角有2个，分别是∠EAC和∠FAB.
　三角形的外角的性质
温馨提示：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之② .
说明：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的证明经
常使用的理论依据.另外，在证角的不等关系时也常用到外角的性质.
和
【例2】如图，已知∠A＝75°，∠B＝25°，∠C＝35°，求∠BDC和∠1
的度数.
解：∵∠A＝75°，∠C＝35°，
∴∠BDC＝∠A＋∠C＝75°＋35°＝110°.
∵∠B＝25°，
∴∠1＝∠BDC＋∠B＝110°＋25°＝135°.
（根据教材第6页随堂练习第1题改编）如图，在△ABC中，∠B
＝40°，AE是∠BAC的平分线，外角∠ACD＝110°，求∠AEC的度数.
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠B＋∠BAC.
∵∠B＝40°，∠ACD＝110°，
∴∠BAC＝70°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝35°.
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝40°＋35°＝75°.
1. 如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为
（　B　）.
A. 110° B. 100° C. 55° D. 45°
B
2. 如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB，若∠ACB＝75°，∠ECD
＝55°，则∠A的度数为（　A　）.
A. 50° B. 55° C. 70° D. 75°
A
3. （根据教材第11页习题1.1第11题改编）如图，点E在AC上，且∠A＝
∠CED＋∠D. 求证：AB∥CD.
证明：由三角形的内角和，得∠C＋∠CED＋∠D＝180°，
∵∠A＝∠CED＋∠D，
∴∠C＋∠A＝180°，
∴AB∥CD.
4. 如图，∠P是△ABC内一点，连接PB,PC.求证：∠BPC＞∠A.
解：如图，延长BP，交AC 于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角，
∴∠BPC＞∠PDC.
∵∠PDC是△ABD的一个外角，
∴∠PDC＞∠A，
∴∠BPC＞∠A.
5. 如图，在△ABC中，∠A＝40°.
（1）如图1，若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC＋∠ACB＝140°，
∴∠PBC＋∠PCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝ ×140°＝70°，
∴∠BPC＝180°－70°＝110°.
（2）如图2，若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
解：（2）∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴ ∠DBC＝ ∠A＋ ∠ACB，
同理可得， ∠BCE＝ ∠A＋ ∠ABC.
∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，
∴ （∠ACB＋∠ABC）＝90°－ ∠A.
∵180°－∠BPC＝ ∠DBC＋ ∠BCE
＝ ∠A＋ ∠ACB＋ ∠A＋ ∠ABC，
∴180°－∠BPC＝∠A＋ ∠ACB＋ ∠ABC，
即180°－∠BPC＝∠A＋90°－ ∠A，
∴∠BPC＝90°－ ∠A＝70°.
（3）如图3，若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
解：（3）∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCF＝ ∠ACF.
∵∠PCF＝∠P＋∠PBC，∠ACF＝∠A＋∠ABC，
∴2 ＝∠A＋∠ABC，
∴∠P＝ ∠A＝20°.
（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，
直接写出结果）.
解：（4）若∠A＝β，
在（1）中，∠P＝180°－ ＝90°＋ β；
在（2）中，∠P＝90°－ β；
在（3）中，∠P＝ ∠A＝ β.
参考答案
【新课引入】
证明：如图，过点A作DE∥BC，
∵DE∥BC，
∴∠FAE＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠FAE＋∠EAC＝∠B＋∠C.
【新课导学】
①∠ACD
【例1】　解：∠1不是△ABC的外角，∠2是△ABC的外角.
题图中，∠BFE是△AEF的外角，∠BAE是△ABC的外角，∠BAC是
△AEF的外角.
变式训练1　解：题图中△ABC的外角有2个，分别是∠EAC和∠FAB.
②和
【例2】　解：∵∠A＝75°，∠C＝35°，
∴∠BDC＝∠A＋∠C＝75°＋35°＝110°.
∵∠B＝25°，∴∠1＝∠BDC＋∠B＝110°＋25°＝135°.
变式训练2　解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠B＋∠BAC.
∵∠B＝40°，∠ACD＝110°，
∴∠BAC＝70°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝35°.
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝40°＋35°＝75°.
【随堂小测】
1. B　2.A
3. 证明：由三角形的内角和，得∠C＋∠CED＋∠D＝180°，
∵∠A＝∠CED＋∠D，
∴∠C＋∠A＝180°，∴AB∥CD.
4.解：如图，延长BP，交AC 于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角，
∴∠BPC＞∠PDC.
∵∠PDC是△ABD的一个外角，
∴∠PDC＞∠A，∴∠BPC＞∠A.
5. 解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC＋∠ACB＝140°，
∴∠PBC＋∠PCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝ ×140°＝70°，
∴∠BPC＝180°－70°＝110°.
（2）∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴ ∠DBC＝ ∠A＋ ∠ACB，同理可得， ∠BCE＝ ∠A＋ ∠ABC.
∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，
∴ （∠ACB＋∠ABC）＝90°－ ∠A.
∵180°－∠BPC＝ ∠DBC＋ ∠BCE
＝ ∠A＋ ∠ACB＋ ∠A＋ ∠ABC，
∴180°－∠BPC＝∠A＋ ∠ACB＋ ∠ABC，
即180°－∠BPC＝∠A＋90°－ ∠A，∴∠BPC＝90°－ ∠A＝70°.
（3）∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCF＝ ∠ACF.
∵∠PCF＝∠P＋∠PBC，∠ACF＝∠A＋∠ABC，
∴2 ＝∠A＋∠ABC，
∴∠P＝ ∠A＝20°.
（4）若∠A＝β，
在（1）中，∠P＝180°－ ＝90°＋ β；
在（2）中，∠P＝90°－ β；
在（3）中，∠P＝ ∠A＝ β.(共20张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第1课时　三角形内角和定理的证明
我们已经知道三角形的内角和是180°，你还记得这个结论的探索过程吗？
你能说说这个结论的证明思路吗？
如图，已知△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，过点A作DE∥BC，
∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝∠BAC＋∠DAB＋∠EAC＝180°.
　三角形的内角和定理
温馨提示：三角形的内角和等于 .
符号表示：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－
∠B－∠C.
180°
　三角形内角和定理的证明
温馨提示：（1）构造平角：利用平行线的性质进行转化（作平行线），让
三个内角组成一个平角.如图1和图2.
（2）构造同旁内角：如图3，过点C作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是
同旁内角可证.
【例1】在三角形这一章的学习中我们知道，“三角形的内角和是180°”.
这个结论的证明方法有很多.如图，已知△ABC，请用与上面不同的方法证
明∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，延长BC到点D，过点C作CE∥BA.
∵BA∥CE，
∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠2（两直线平行，内错角相等）.
又∵∠BCD＝∠ACB＋∠2＋∠1＝180°（平角的定义），
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）.
如图，已知△ABC，请用与上面例题不同的方法证明：∠A＋
∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，过线段BC上任一点F（点B，C除外），作FH∥AC，
FG∥AB，则∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∠B＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠BHF（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠BHF（两直线平行，内错角相等），
∴∠A＝∠2（等量代换）.
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°（平角的定义），
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°（等量代换）.
【例2】（根据教材第3页例1改编）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C
＝72°，BD平分∠ABC，求∠DBC的度数.
解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C
＝180°－36°－72°
＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝ ×72°＝36°，即∠DBC的度数为36°.
（根据教材第3页例1改编）如图，AD平分∠BAC，其中∠B＝
35°，∠ADC＝82°，求∠BAC，∠C的度数.
解：∵∠ADC＝82°，
∴∠ADB＝180°－82°＝98°，
∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－35°－98°＝47°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×47°＝94°，
∴∠C＝180°－35°－94°＝51°.
1. 如果三角形的一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角形是
三角形.
2. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，则∠1＋∠2＝ °.
直
角
110
3. 已知△ABC中，∠C＝ ∠B＝ ∠A，求△ABC各个内角的度数.
解：根据题意有∠B＝2∠C，∠A＝3∠C，
可得∠C＋2∠C＋3∠C＝180°，
解得∠C＝30°，
∴∠B＝60°，∠A＝90°.
4. 如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是高，∠ABC＝70°，∠DAC＝
25°，求∠CBE的度数.
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝25°.
∵BE是△ABC的高，
∴∠AEB＝90°.
∵∠BAE＋∠AEB＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝180°－90°－25°－25°＝40°.
∵∠ABC＝70°，
∴∠CBE＝70°－40°＝30°.
5. （根据教材第4页随堂练习第1题改编）如图，在△ABC中，BD⊥AC，
CE⊥AB，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O.
（1）已知∠A＝50°，求∠BOC的度数；
解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠DOE＝360°－（∠A＋∠AEC＋∠ADB）
＝360°－（50°＋90°＋90°）
＝360°－230°
＝130°.
∵∠BOC和∠DOE是对顶角，
∴∠BOC＝130°.
（2）探究∠BOC与∠A的关系.
解：（2）∵∠BOC＝∠DOE，∠DOE＋∠A＝180°，
∴∠DOE与∠A互补，
∴∠BOC与∠A互补.
参考答案
【新课引入】
证明：如图，过点A作DE∥BC，
∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝∠BAC＋∠DAB＋∠EAC＝180°.
【新课导学】180°
【例1】　证明：如图，延长BC到点D，过点C作CE∥BA.
∵BA∥CE，∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠2（两直线平行，内错角相等）.
又∵∠BCD＝∠ACB＋∠2＋∠1＝180°（平角的定义），
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）.
变式训练1　证明：如图，过线段BC上任一点F（点B，C除外），作
FH∥AC，FG∥AB，则∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∠B＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠BHF（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠BHF（两直线平行，内错角相等），
∴∠A＝∠2（等量代换）.
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°（平角的定义），
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°（等量代换）.
【例2】　解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C
＝180°－36°－72°
＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝ ×72°＝36°，
即∠DBC的度数为36°.
变式训练2　解：∵∠ADC＝82°，
∴∠ADB＝180°－82°＝98°，
∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－35°－98°＝47°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×47°＝94°，
∴∠C＝180°－35°－94°＝51°.
【随堂小测】
1. 直角　2.110
3. 解：根据题意有∠B＝2∠C，∠A＝3∠C，
可得∠C＋2∠C＋3∠C＝180°，
解得∠C＝30°，
∴∠B＝60°，∠A＝90°.
4. 解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝25°.
∵BE是△ABC的高，
∴∠AEB＝90°.
∵∠BAE＋∠AEB＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝180°－90°－25°－25°＝40°.
∵∠ABC＝70°，
∴∠CBE＝70°－40°＝30°.
5. 解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠DOE＝360°－（∠A＋∠AEC＋∠ADB）
＝360°－（50°＋90°＋90°）
＝360°－230°
＝130°.
∵∠BOC和∠DOE是对顶角，
∴∠BOC＝130°.
（2）∵∠BOC＝∠DOE，∠DOE＋∠A＝180°，
∴∠DOE与∠A互补，
∴∠BOC与∠A互补.(共24张PPT)
第一章　三角形的证明
3　直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
直角三角形是特殊的三角形，它的边和角有哪些特殊性质？我们如何判定一
个三角形是直角三角形？
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
　直角三角形两个锐角互余
直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角① .
直角三角形的判定定理：有两个角② 的三角形是直角三角形.
温馨提示：在直角三角形中证明存在垂直关系时，通常需要考虑这个性质定
理.反之，证明三角形中两个角互余也是证明垂直关系的重要方法.
互余
互余
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AB，AC上，
∠B＝∠1，求证：△ADE是直角三角形.
证明：∵∠B＝∠1，∠C＝90°，
∴∠1＋∠A＝∠B＋∠A＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴△ADE是直角三角形.
在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的三倍还多14°，则较
大锐角的度数是 .
71°
　勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的③ 等于④ ，
即a2＋b2＝c2.
勾股定理的逆定理：如果一个三角形⑤
，那么这个三角形是直角三角形.
平方和
斜边的平方
两边的平方和等于第三边的平
方
【例2】（根据教材第26页随堂练习第1题改编）如图，在△ABC中，已知
∠A＝∠B＝45°，BC＝5，求AB的长.
解：∵∠A＝∠B＝45°，
∴AC＝BC＝5，∠C＝180°－45°－45°＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝5 .
在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，求
AB，AC的长.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，根据勾股定理得AC＝ ＝ ＝3 .
【例3】（2024·海韵学校月考）以下列各组数为边长的三角形，能组成直角
三角形的是（　A　）.
B. 2，3，4
D. 6，8，12
A
（2024·百合外国语学校期中）以下列长度的线段为边，不能构成
直角三角形的是（　A　）.
A. 2，3，4
D. 5，12，13
A
　互逆命题
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
结论和条件，那么这两个命题称为⑥ ，其中一个命题称为另一
个命题的⑦ .
互逆命题
逆命题
【例4】写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.
（1）四边形是多边形；
解：（1）原命题为真命题，逆命题：多边形是四边形（假命题）.
（2）两直线平行，同旁内角互补；
解：（2）原命题为真命题，逆命题：同旁内角互补，两直线平行（真命题）.
（3）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.
解：（3）原命题为假命题，逆命题：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0（真命
题）.
（2024·福田外国语学校期中）下列命题：①同旁内角互补，两直
线平行；②若｜a｜＝｜b｜，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶
角.它们的逆命题是真命题的个数是（　B　）.
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
B
1. 若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a－b）（a2＋b2－c2）＝
0，则△ABC是（　D　）.
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
D
2. （2024·深圳市13校联考期中）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的
是（　D　）.
B. AC∶BC∶AB＝3∶4∶5
C. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D
3. （根据教材第27页随堂练习第2题改编）在△ABC中，AB＝13 cm，BC
＝10 cm，BC边上的高AD＝12 cm.求证：AB＝AC.
证明：如图，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴△ABD为直角三角形.在Rt△ABD中，AB＝13 cm，AD＝12 cm，
∴BD＝5 cm.又∵BC＝10 cm，
∴BD＝CD＝5 cm.在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），∴AB＝AC.
4. （教材第52页复习题第18题）如图，在△ABC中，∠B＝64°，∠BAC
＝72°，D为BC上一点，DE交AC于点F，且AB＝AD＝DE，连接AE，
∠E＝55°.请判断△AFD的形状，并说明理由.
解：△AFD是直角三角形.理由如下：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝64°，
∴∠BAD＝180°－2×64°＝52°，∠DAC＝72°－52°＝20°.
∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠E＝55°，
∴∠ADE＝180°－2×55°＝70°.
∵∠DAC＋∠ADE＝90°，
∴△AFD是直角三角形.
5. 如图，在钝角△ABC中，∠A为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别交
BC于点D，E，且BD2＋CE2＝DE2.
（1）求∠BAC的度数；
解：（1）如图，连接DA，EA.
∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C.
∵BD2＋CE2＝DE2，∴AD2＋AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，∴2∠B＋2∠C＋90°＝180°，
∴∠B＋∠C＝45°，∴∠BAC＝135°.
（2）若AB＝12，AC＝8，求△ABC的面积.
解：（2）如图，过点C作CF垂直于BA的延长线于点F.
∵∠BAC＝135°，
∴∠FAC＝45°，
∴CF＝ AC＝4 ，
∴S△ABC＝ AB·CF＝ ×12×4 ＝24 .
参考答案
【新课引入】
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
【新课导学】
①互余　②互余
【例1】　 证明：∵∠B＝∠1，∠C＝90°，
∴∠1＋∠A＝∠B＋∠A＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴△ADE是直角三角形.
变式训练1　71°
③平方和　④斜边的平方　⑤两边的平方和等于第三边的平方
【例2】　解：∵∠A＝∠B＝45°，
∴AC＝BC＝5，∠C＝180°－45°－45°＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝5 .
变式训练2　解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，根据勾股定理得AC＝ ＝ ＝3 .
【例3】　A
变式训练3　A
⑥互逆命题　⑦逆命题
【例4】　解：（1）原命题为真命题，逆命题：多边形是四边形（假命题）.
（2）原命题为真命题，逆命题：同旁内角互补，两直线平行（真命题）.
（3）原命题为假命题，逆命题：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0（真命题）.
变式训练4　B
【随堂小测】
1. D　2.D
3. 证明：如图，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴△ABD为直角三角形.在Rt△ABD中，AB＝13 cm，AD＝12 cm，
∴BD＝5 cm.又∵BC＝10 cm，
∴BD＝CD＝5 cm.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB＝AC.
4. 解：△AFD是直角三角形.
理由如下：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝64°，
∴∠BAD＝180°－2×64°＝52°，∠DAC＝72°－52°＝20°.
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝55°，
∴∠ADE＝180°－2×55°＝70°.
∵∠DAC＋∠ADE＝90°，
∴△AFD是直角三角形.
5. 解：（1）如图，连接DA，EA.
∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C.
∵BD2＋CE2＝DE2，
∴AD2＋AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，
∴2∠B＋2∠C＋90°＝180°，
∴∠B＋∠C＝45°，
∴∠BAC＝135°.
（2）如图，过点C作CF垂直于BA的延长线于点F.
∵∠BAC＝135°，
∴∠FAC＝45°，
∴CF＝ AC＝4 ，
∴S△ABC＝ AB·CF＝ ×12×4 ＝24 .(共15张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
1　三角形的内角和定理
第4课时 多边形的外角和
在三角形每个顶点处取这个三角形的一个外角，你能计算出这三个外角的和吗？四边形、五边形的外角和又是多少呢？
解：三角形的三个外角和为360°，四边形、五边形的外角和都是360°。
　多边形的外角和及外角和定理
多边形的外角:多边形内角的一边与另一边的① 所组成的角叫做这个多边形的外角.多边形的外角和:在每个顶点处取这个多边形的② 个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形的外角和都等于③_______.
反向延长线
一
360°
【例1】（教材第8页情境改编）如图，小强站在五边形健身步道的起点P 处，
沿着P，B，C，D，E，A，P 的方向行走，最终回到了P 处．在这过程中，小强
转过的角度说明了（　　）
A．五边形的内角和是540°
B．五边形的外角和是360°
C．五边形的内角和是360°
D．五边形的外角和是180°
B
如图，小刚在一个正五边形广场周围的小路按逆时针
方向跑步，小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的
角度是 °．
72
【例2】（2024·福田区期末）若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这
个正多边形的边数为 .
12
变式训练2 若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ．
8
多形的内角和与外角和有关的计算
【例3】如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是 .
12
变式练习3 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为 .
45°
1.正十二边形的外角和为 .
360°
2.正十边形的一个外角的度数是 .
36°
3.若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形是（　　）.
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
4.已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为 ．
5.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的边数
是（　　）.
A．5 B．6 C．7 D．8
6.在正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）.
A．1:3 B．1:2 C．2:1 D．3:1
A
十
C
D
7.已知一个多边形的边数为n．
（1）若n＝8，求这个多边形的内角和．
（2）若这个多边形的内角和是外角和的2倍，求n的值．
解：（1）（8﹣2）×180°＝1080°，即这个多边形的内角和1080°.
（2）（n﹣2）×180°＝360°×2，180°n﹣360°＝720°，
解得n＝6，即这个多边形的边数 n 为 6．
8.有一块长方形的纸片，把它剪去一个角后，所成的多边形纸片的内角和可能是多少度？所成的多边形纸片的外角和可能是多少度？
解：因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变.如图，当截线经过正方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形，内角和为180°；当截线经过正方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形，内角和360°；当截线只经过正方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形，内角和为540°．剪去一个角后，所成的多边形纸片的外角和都是360°.
参考答案
【新课引入】
解：三角形的三个外角和为360°，四边形、五边形的外角和都是360°。
【新课导学】
①反向延长线
【例1】　B
变式训练1　72
②一
③360°
【例2】　12
变式训练2　8
【例3】　12
变式训练3　45°
【随堂小测】
1.360°　2.36°　3.A　4.10 5.C 6.D
7.解：（1）（8﹣2）×180°＝1080°，即这个多边形的内角和1080°.
（2）（n﹣2）×180°＝360°×2，180°n﹣360°＝720°，
解得n＝6，即这个多边形的边数 n 为 6．
8.解：因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变.如图，当截线经过正方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形，内角和为180°；当截线经过正方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形，内角和360°；当截线只经过正方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形，内角和为540°．剪去一个角后，所成的多边形纸片的外角和都是360°.(共24张PPT)
第一章　三角形的证明
3　直角三角形
第2课时　直角三角形全等的判定
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一
组等边的对角是直角呢？
不一定　一定
　直角三角形的作图
已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形.
已知：如图所示，线段a，c（a＜c），直角α.
求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.
作法如下：（1）作∠MCN＝∠α＝90°.
（2）在射线CM上截取CB＝a.
（3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A.
（4）连接AB，得到Rt△ABC（如右图）.
【例1】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形
的顶点上，在图中画△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角
三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）
解：如图1，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，AB2＝32＋52＝34.因为AC2＋
BC2＝52＋32＝34＝AB2，所以∠ACB＝90°，即△ABC为直角三角形.
如图2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2＋AD2＝12＋12＝2.在Rt△BCE中，CB2
＝CE2＋BE2＝42＋42＝32.在Rt△ABF中，AB2＝AF2＋BF2＝32＋52＝34.所
以AC2＋CB2＝AB2，所以∠ACB＝90°，即△ABC为直角三角形.
如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格
点上.若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形的
边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（　D　）.
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
D
　直角三角形全等的判定（HL）
① 和② 分别相等的两个③ 全等
（HL）.
斜边
一条直角边
直角三角形
【例2】（根据教材第30页例题改编）如图，幼儿园有两个长度相等的滑
梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.
（1）△ABC与△DEF全等吗？
解：（1）△ABC与△DEF全等.理由如下：
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
（2）两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的大小有什么关系？
解：（2）∠ABC＋∠DFE＝90°，理由如下：
由（1）知，Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF.
∵∠DEF＋∠DFE＝90°，
∴∠ABC＋∠DFE＝90°.
（根据教材第50页复习题第9题改编）如图，AN⊥OB，
BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM＝ON，BM与AN相交于点P.
（1）求证：PM＝PN；
证明（1）：∵AN⊥OB于点N，BM⊥OA于点M，BM与AN相交于点P，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°.
在Rt△POM和Rt△PON中，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴PM＝PN.
（2）解：∵∠ONA＝90°，∠AOB＝30°，AN＝2，
∴OA＝2AN＝4，
∴ON＝ ＝ ＝2 ，
∴OM＝ON＝2 ，即OM的长为2 .
（2）若∠AOB＝30°，AN＝2，求OM的长.
1. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　C　）.
A. 两直角边对应相等
B. 斜边和一条直角边对应相等
C. 两锐角对应相等
D. 一个锐角和斜边对应相等
C
2. 如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB
＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，
添加的条件可以是（　D　）.
A. BC∥EF B. ∠BCA＝∠F
C. AB∥DE D. AD＝CF
D
3. （2025·龙岭学校月考）如图，∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，
DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF. 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都是直角三角形.
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）.
4. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，
DF⊥BC，垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵D是AB的中点，
∴AD＝BD. ∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴AC＝CB，即△ABC是等腰三角形.
5. （2025·南山第二外国语学校集团月考）如图，在四边形ABCD中，∠A
＝∠B＝90°，且AD＝BE＝ ，连接DE，CE，∠1＝∠2.
（1）求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；
（1）证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE与△BEC都是直角三角形.
∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE. 在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）.
（2）若∠AED＝30°，求CD的长.
（2）解：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠ADE＝∠BEC.
∵∠A＝90°，
∴∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠BEC＋∠AED＝90°，
∴∠DEC＝180°－90°＝90°.
∵∠AED＝30°，AD＝BE＝ ，
∴DE＝CE＝2 ，
∴CD＝ ＝ ＝4.
参考答案
【新课引入】不一定　一定
【新课导学】
【例1】　 解：如图1，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，AB2＝32＋52＝34.
因为AC2＋BC2＝52＋32＝34＝AB2，所以∠ACB＝90°，即△ABC为直角三
角形.
如图2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2＋AD2＝12＋12＝2.在Rt△BCE中，CB2
＝CE2＋BE2＝42＋42＝32.在Rt△ABF中，AB2＝AF2＋BF2＝32＋52＝34.所
以AC2＋CB2＝AB2，所以∠ACB＝90°，即△ABC为直角三角形.
变式训练1　D
①斜边　②一条直角边　③直角三角形
【例2】　解：（1）△ABC与△DEF全等.理由如下：
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
（2）∠ABC＋∠DFE＝90°，理由如下：
由（1）知，Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF.
∵∠DEF＋∠DFE＝90°，
∴∠ABC＋∠DFE＝90°.
变式训练2　（1）证明：∵AN⊥OB于点N，BM⊥OA于点M，BM与
AN相交于点P，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°.
在Rt△POM和Rt△PON中，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴PM＝PN.
（2）解：∵∠ONA＝90°，∠AOB＝30°，AN＝2，
∴OA＝2AN＝4，
∴ON＝ ＝ ＝2 ，
∴OM＝ON＝2 ，即OM的长为2 .
【随堂小测】
1. C　2.D
3. 证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都是直角三角形.
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）.
4. 证明：∵D是AB的中点，
∴AD＝BD.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴AC＝CB，即△ABC是等腰三角形.
5. （1）证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE与△BEC都是直角三角形.
∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE.
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）.
（2）解：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠ADE＝∠BEC.
∵∠A＝90°，
∴∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠BEC＋∠AED＝90°，
∴∠DEC＝180°－90°＝90°.
∵∠AED＝30°，AD＝BE＝ ，
∴DE＝CE＝2 ，
∴CD＝ ＝ ＝4.(共21张PPT)
第一章　三角形的证明
5　角平分线
第2课时　三角形三个内角的平分线
三角形的三个内角的平分线有什么特点？它们会交于一点吗？这一点有什么
性质？
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P.
求证：∠A的平分线经过点P.
证明：如图，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，
F，连接PA.
∵BM平分∠ABC，PE⊥BC，PD⊥AB，
∴PE＝PD.
∵CN平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，
∴PD＝PE＝PF.
∵PD⊥AB，PF⊥AC，PD＝PF，
∴点P在∠BAC的平分线上，即∠A的平分线经过点P.
　角平分线的性质定理
性质定理：三角形的三条角平分线相交于① ，并且这一点到②
的距离相等.
【例1】（教材第44页习题1.5第3题）已知：如图，△ABC的外角∠CBD和
∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上.
一点
三
条边
证明：如图，作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，FG⊥AC于点G，
∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，同理，FG＝FN，
∴FM＝FG. 又FM⊥AB，FG⊥AC，
∴点F在∠DAE的平分线上.
如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交
AC于点D，若AD＝2，BC＝8，则△BCD的面积为 .
8
　角平分线的性质定理和判定定理的综合应用
角平分线上的点到③ 的距离相等；在一个角的④ ，
到角的⑤ 的点在这个角的平分线上.
这个角两边
内部
两边距离相等
【例2】（教材第44页习题1.5第2题）已知：如图，在△ABC中，∠C＝
90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线.求证：BD＝2CD.
证明：因为∠C＝90°，∠B＝30°，所以∠BAC＝60°.又因为AD是
△ABC的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝30°＝∠B，所以AD＝BD
（等角对等边），AD＝2CD（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于
斜边的一半），所以BD＝AD＝2CD.
如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库.
（1）如果要求油库到两条公路AB，AC的距离相等，那么该如何选择油库
的位置？
解：（1）油库应建在公路AB和AC构
成的夹角的角平分线上，如图中直线
MN或直线EF.
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位
置？
解：（2）油库应建在三条公路AB，AC，BC两两相交所构成的角的平分线
的交点处.如图中点P1，P2，P3，P4的位置.
1. （2025·百合外国语学校期中）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD
平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15 cm，AD＝9 cm，DE⊥AB，则DE
＝（　C　）.
A. 9 cm B. 7 cm C. 6 cm D. 5 cm
C
2. 如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定
在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相
等，则这个集贸市场应建在（　B　）.
A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三个角的平分线的交点处
C. 三角形三条高的交点处 D. 三角形三条中线的交点处
B
3. 小明同学只用两把完全相同的直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一
把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P.
小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线”.他这样做的依据是（　A　）.
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条角平分线交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
A
4. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且
与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是（　C　）.
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
C
5. 如图，在△ABC中，两条角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC于点
D. 若PD＝1，△ABC的周长为12，则△ABC的面积为 .
6
6. （2024·红岭实验学校月考）如图，在△ABC中，DE为BC边的垂直平分
线，与∠BAC的平分线交于点E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点
F，作EG⊥AC，交AC于点G.
（1）求证：BF＝CG；
（1）证明：如图，连接BE，CE，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AC，EF⊥AB，
∴EF＝EG，∠EFB＝∠EGC＝90°.∵DE为BC边的垂直平分线，
∴BE＝CE. 在Rt△EFB和Rt△EGC中，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC（HL），∴BF＝CG.
（2）若AB＝6，AC＝15，求CG的长.
（2）解：由（1）得BF＝CG，EF＝EG，∠EFB＝∠EGC＝90°，
同理，Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），
∴AF＝AG，
∴AC＝AG＋GC＝AF＋GC＝AB＋BF＋GC＝AB
＋GC＋GC＝AB＋2GC.
∵AB＝6，AC＝15，
∴CG＝4.5.
参考答案
【新课引入】
证明：如图，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，
F，连接PA.
∵BM平分∠ABC，PE⊥BC，PD⊥AB，
∴PE＝PD.
∵CN平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，
∴PD＝PE＝PF.
∵PD⊥AB，PF⊥AC，PD＝PF，
∴点P在∠BAC的平分线上，即∠A的平分线经过点P.
【新课导学】
①一点　②三条边
【例1】　证明：如图，作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，FG⊥AC
于点G，
∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，
同理，FG＝FN，
∴FM＝FG.
又FM⊥AB，FG⊥AC，
∴点F在∠DAE的平分线上.
变式训练1　8
③这个角两边　④内部　⑤两边距离相等
【例2】　 证明：因为∠C＝90°，∠B＝30°，所以∠BAC＝60°.又因
为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝30°＝∠B，所以AD
＝BD（等角对等边），AD＝2CD（在直角三角形中，30°角所对的直角
边等于斜边的一半），所以BD＝AD＝2CD.
变式训练2　解：（1）油库应建在公路AB和AC构成的夹
角的角平分线上，如图中直线MN或直线EF.
（2）油库应建在三条公路AB，AC，BC两两相
交所构成的角的平分线的交点处.如图中点P1，
P2，P3，P4的位置.
【随堂小测】
1. C　2.B　3.A　4.C　5.6
6. （1）证明：如图，连接BE，CE，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AC，EF⊥AB，
∴EF＝EG，∠EFB＝∠EGC＝90°.
∵DE为BC边的垂直平分线，
∴BE＝CE.
在Rt△EFB和Rt△EGC中，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC（HL），
∴BF＝CG.
（2）解：由（1）得BF＝CG，EF＝EG，∠EFB＝∠EGC＝90°，
同理，Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），
∴AF＝AG，
∴AC＝AG＋GC＝AF＋GC＝AB＋BF＋GC
＝AB＋GC＋GC＝AB＋2GC.
∵AB＝6，AC＝15，
∴CG＝4.5.(共17张PPT)
第一章　三角形的证明
4　线段的垂直平分线
第2课时　三角形三边的垂直平分线及
用尺规作已知直线的垂线
如何用尺规过直线l上一点P作l的垂线？如果点P在l外呢？
如图，已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
解：如图所示.
　三角形三边垂直平分线的性质
性质：三角形三条边的垂直平分线相交于① ，并且②
相等.
温馨提示：三角形三边垂直平分线交于一点，锐角三角形在三角形内部，直
角三角形在斜边中点，钝角三角形在三角形外部.
【例1】如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线
相交于点P，则AP＝ ＝ ，点P 边
AC的垂直平分线上（填“在”或“不在”）.
一点
这一点到三
个顶点的距离
BP
CP
在
如图，三座商场分别坐落在A，B，C所在位置，现要规划一个
地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，则该地铁站应建在
（　D　）.
D
A. 三角形三条中线的交点
B. 三角形三条高所在直线的交点
C. 三角形三个内角的角平分线的交点
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点
　与垂直平分线有关的作图
（1）尺规作线段；（2）尺规作线段的垂直平分线；（3）尺规作三角形.
温馨提示：作线段的垂直平分线，隐含了作垂直和作中点两重功能.
【例2】（根据教材第37页随堂练习第1题改编）如图，已知△ABC.
（1）用尺规作AC边上的中线BD（保留作图痕迹，不写作法）；
解：（1）如图，线段BD即为所求的AC边上的中线.
（2）作AB边上的高CE.
解：（2）如图，线段CE即为所求的AB边上的高.
已知：如图，线段a，h，求作：△DEF，使DE＝DF，且EF
＝a，高DG＝h.
解：作法：①作线段EF＝a；
②作线段EF的垂直平分线l，交EF于点G；
③在l上作线段DG，使DG＝h；
④连接DE，DF，△DEF为所求作的三角形.
1. （2024·福田外国语学校期中）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤尺
规作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于
两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD. 若CD＝AC，∠A＝
50°，则∠B的度数为（　B　）.
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
B
2. （2024·罗湖外国语期中）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，AB的
垂直平分线交BC于点D，那么△ADC的周长为（　B　）.
A. 11 B. 13 C. 18 D. 21
B
3. （2024·深圳实验学校期中）如图，在△ABC中，AB＝AE，且
AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E. 若△ABC的周长
为16，AC＝6，则DC的长为（　A　）.
A. 5 B. 8 C. 9 D. 10
A
4. （根据教材第38页习题1.4第6题改编）如图，直线l表示一条公路，
点A，B表示两个村庄，现要在公路l上建一个加油站，并使加油站到两
村庄A，B的距离相等.加油站应建在何处？在图中标出加油站位置，并
说明理由.
解：如图所示，P点即为所求.理由：垂直平分线上的点到线段两端点的距离
相等.
5. 如图，在△ABC中，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于
点E.
（1）尺规作图：在射线BD上作点F，使得CF∥AE（不写作法，只保留作
图痕迹）；
（1）解：如图，点F即为所作.
（2）证明：△ADE≌△CDF.
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∴∠DAE＝∠DCF.
∵点D为AC的中点，
∴DA＝DC. 在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（ASA）.
参考答案
【新课引入】
解：如图所示.
①一点 ②这一点到三个顶点的距离
【例1】 BP CP 在
【新课导学】
变式训练1　D
【例2】　解：（1）如图，线段BD即为所求的AC边上的中线.
（2）如图，线段CE即为所求的AB边上的高.
变式训练2　解：如图，作法：①作线段EF＝a；②作线段EF的垂直平分线l，交EF于点G；③在l上作线段DG，使DG＝h；④连接DE，DF，△DEF为所求作的三角形.
【随堂小测】
1. B　2.B　3.A
4. 解：如图所示，P点即为所求.理由：垂直平分线上的点到
线段两端点的距离相等.
5. （1）解：如图，点F即为所作.
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∴∠DAE＝∠DCF.
∵点D为AC的中点，
∴DA＝DC.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（ASA）.

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