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(共21张PPT)
第五章　分式与分式方程
2　分式的运算
第2课时　同分母分式的加减法
同分母分数相加减，分母不变，分子相加减．那么同分母分式的加减法呢？
例如： ＋ = 　 　．
　　同分母分式加减法法则
同分母分式相加减，分母① ，把分子② ．字母表示为
③ ．
【注意】（1）如果分式的分子是多项式，一定要加上④ ；（2）分
子相加减时，应先去括号，再合并同类项；（3）最后的结果，应化为
⑤ ．
不变
相加减
± ＝
括号
最简分式或整式
（1） － ；
（2） ＋ ．
解：（1）原式＝1；
【例1】计算：
解：（2）原式＝ ＝ ＝a＋b.
计算：
（1） － ；
解：（1）原式＝ ＝ ＝1；
（2） － ．
解：（2）原式＝ ＝ ＝y－x.
【例2】计算：
（1） ＋ ；
解：（1）原式＝ － ＝ ＝x；
（2） － ．
解：（2）原式＝ ＋ ＝ ＝－1.
计算：
（1） ＋ ；
解：（1）原式＝ － ＝ ＝ ＝2；
（2） ＋ － ．
解：（2）原式＝ － － ＝ ＝ ＝ ＝2.
（1） － ；
（2） － ．
解：（1）原式＝ ＝ ；
【例3】计算：
解：（2）原式＝ ＝ ＝1.
计算：
（1） － ；
解：（1）原式＝ ＝ ；
（2） － ．
解：（2）原式＝ ＝ ＝1.
1. 计算：
（1） ＋ ；
解：（1）原式＝ ＝ ＝1.
（2） ＋ ；
解：（2）原式＝ ＝ ＝x＋2.
（3） － ；
解：（3）原式＝ ＝ ＝ .
（4） － ．
解：（4）原式＝ － ＝ ＝4.
2. 数学课上，老师让计算 ＋ ．佳佳的解答如下：
解：原式= ①
= ②
= ③
=3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是（　D　）．
D
A． ①：同分母分式的加减法法则
B． ②：合并同类项法则
C． ③：逆用乘法分配律
D． ④：等式的基本性质
3. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是（　D　）．
＋■=
C． 2 D． 1
D
4. （教材第136页习题5.2第3题）先化简，再求值： － ，其中
x= ．
解：原式＝ ＝
＝
＝x－1，
当x＝ 时，原式＝ －1＝－ .
5. 阅读下面的解题过程：
已知 = ，求 的值．
解：由 = 知x≠0，所以 =3，即x＋ =3，所以 =x2＋ =
（x＋ ）2－2=32－2=7.故 的值为 ．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知 = ，则 的值是 　 　．

解析：由 ＝ 知x≠0，所以 ＝5，即x＋ ＝8，所以
＝x2＋ ＋1＝（x＋ ）2－1＝63，所以 的值为 .
参考答案
【新课引入】
【新课导学】
①不变　②相加减　③ ± ＝ 　④括号　⑤最简分式或整式
【例1】　解：（1）原式＝1；
（2）原式＝ ＝ ＝a＋b.
变式训练1　解：（1）原式＝ ＝ ＝1；
（2）原式＝ ＝ ＝y－x.
【例2】　解：（1）原式＝ － ＝ ＝x；
（2）原式＝ ＋ ＝ ＝－1.
变式训练2　解：（1）原式＝ － ＝ ＝ ＝2；
（2）原式＝ － － ＝ ＝ ＝ ＝2.
【例3】　解：（1）原式＝ ＝ ；
（2）原式＝ ＝ ＝1.
变式训练3　解：（1）原式＝ ＝ ；
（2）原式＝ ＝ ＝1.
【随堂小测】
1. 解：（1）原式＝ ＝ ＝1.
（2）原式＝ ＝ ＝x＋2.
（3）原式＝ ＝ ＝ .
（4）原式＝ － ＝ ＝4.
2. D　3.D
4. 解：原式＝ ＝
＝
＝x－1，
当x＝ 时，原式＝ －1＝－ .
5. 　解析：由 ＝ 知x≠0，所以 ＝5，即x＋ ＝8，所以
＝x2＋ ＋1＝（x＋ ）2－1＝63，所以 的值为 .(共13张PPT)
第五章　分式与分式方程
3　分式方程的概念
第1课时　分式方程的概念
　　京张铁路全线长174 km，高速列车的平均速度是快速列车的3倍，高速
列车从北京市到张家口市的行驶时间比快速列车少2 h．如果设快速列车的平
均行驶速度是x km/h，那么x满足怎样的方程？
－ ＝2
　分式方程的概念
分母中含有① 的方程叫做分式方程．
【例1】下列关于x的方程，是分式方程的是（　D　）．
未知数
D
下列是分式方程的是（　D　）．
D
　分式方程的解
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解可能使原方程中② 为
零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，
则是原方程的解．否则，这个解不是原方程的解．
【例2】若x=4是分式方程 = ＋ 的根，则a的值为（　A　）．
A. 6 B． －6 C. 4 D． －4
已知x=2是分式方程 = 的解，则m的值为 ．
分母
A
－2
　列分式方程
【例3】某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货
物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相
同．设大货车每辆运输x吨，则可列方程为 ．
＝
某市为治理污水，需要铺设一段全长为3 000 m的污水排放管
道．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比
原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x m，则
可列方程为 ．
＝ ＋30
1. 下列方程中是分式方程的是（　C　）．
B． 2x2=x－3
C
2. 在① =5；② （x－1）＋ （x＋1）=4；③－ =1；④ ＋ =－
1；⑤ （3x－7）中，分式方程有（　B　）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. （2024 佛山市顺德区德胜学校月考）已知x=2是方程 － =1的解，
则k的值为（　A　）．
A． －2 B. 2 C. 1 D． －1
B
A
4. 某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023
年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公
园”，现需要购买A，B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3
倍，用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株．设B种绿
植单价是x元，则可列方程为 ．
＋50＝
5. （2024 道远学校二模）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压
强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）满足关系：p= ．通过对汽缸
顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少20%时，测得气体对气缸壁所产
生的压强增加15 kPa．设加压前汽缸内气体的体积为x（mL），则可列方程
为 ．
－ ＝15
6. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙
三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1∶3；若
甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，若乙、丙两
车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．若货物总吨数为x
吨，那么x满足的分式方程为．
＝
参考答案
【新课引入】
－ ＝2
【新课导学】
①未知数
【例1】　D
变式训练1　D
②分母
【例2】　 A
变式训练2　－2
【例3】　 ＝
变式训练3　 ＝ ＋30
【随堂小测】
1. C　2.B　3.A
4. ＋50＝
5. － ＝15
6. ＝(共20张PPT)
第五章　分式与分式方程
2　分式的运算
第1课时　分式的乘除法
回顾分数的乘除法，那么分式的乘除法如何计算？例如： = 　 　．
　分式的乘除法法则
分式的乘法法则：两个分式相乘，把① 作为积的分子，把
② 作为积的分母．用式子表达为 =③ 　 　．
分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母④ 后再
与被除式相乘．用式子表达为 ÷ =⑤ 　 · 　=⑥ 　 　．
【注意】分式的乘除法，当分子、分母为多项式时，在应用法则之前，应先
对其⑦ ，再进行运算．
分子相乘的积
分母相乘的积

颠倒位置
·

因式分解
【例1】（根据教材第133页例1改编）计算：
（1） ；
解：（1）原式＝ ；
（2） ÷ ．
解：（2）原式＝ · ＝ ＝ .
（根据教材第133页例1改编）计算：
（1） ；
解：（1）原式＝ ＝ .
（2） ÷ ．
解：（2）原式＝ · ＝ .
【例2】计算：
（1） ；　
解：（1）原式＝ · ＝ .
（2） ÷ ．
解：（2）原式＝ · ＝－ .
计算：
（1） ；
解：（1）原式＝ · ＝1.
（2） ÷（4x2－y2）．
解：（2）原式＝ · ＝ .
分式的乘方
分式乘方要把分子、分母分别⑧ ．用式子表达为（ ）n=⑨ ．
【注意】在一个算式中含有分式的乘方、乘法、除法时，先算⑩ ，
再算 ，有多项式时应先 ，分式运算的结果必须是
．
乘方

乘方
乘除
因式分解
最简分式或整式
【例3】计算：（ab3）2 （－ ）．
解：原式＝a2b6·（－ ）＝－b7.
计算：（ ）2÷ ．
解：原式＝ · ＝ .
1. 计算：
（1） ；
解：（1）原式＝ .
（2） ÷ ；
解：（2）原式＝ · ＝ .
（3） ÷ ；
解：（3）原式＝ ÷ ＝ · ＝ .
（4）（ ）3 （ ）2；
解：（4）原式＝ · ＝ .
2. 若 ÷M= ，则M应为 ．
3. 已知x=3y，求代数式 的值．
解：∵x＝3y，
∴ · ＝ · ＝ × ＝ × ＝ .
（x－2）
4. （教材第141页习题5.2第8题）对于a÷b ，小明是这样计算的：
a÷b =a÷1=a．他的计算过程正确吗？为什么？
解：他的计算过程不对，计算顺序错误.
a÷b· ＝a· · ＝ .
5. （根据教材第134页尝试 交流改编）通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的
质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越
好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的
皮厚都是d，已知球的体积公式为V= πR3（其中R为球的半径）．求：
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
解：（1）西瓜瓤的体积是 π（R－d）3，整个西瓜的体积是 πR3.
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
解：（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是 ＝ .
（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
解：（3）根据球的体积公式，得V西瓜瓤＝ π（R－d）3，
则西瓜瓤与整个西瓜的体积比是 ＝ ，故买大西瓜比买小
西瓜合算.
参考答案
【新课引入】
【新课导学】
①分子相乘的积　②分母相乘的积　③ 　④颠倒位置　⑤ · 　⑥ 　⑦
因式分解
【例1】　解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝ · ＝ ＝ .
变式训练1　解：（1）原式＝ ＝ .
（2）原式＝ · ＝ .
【例2】　解：（1）原式＝ · ＝ .
（2）原式＝ · ＝－ .
变式训练2　解：（1）原式＝ · ＝1.
（2）原式＝ · ＝ .
⑧乘方　⑨ 　⑩乘方　 乘除　 因式分解　 最简分式或整式
【例3】　解：原式＝a2b6·（－ ）＝－b7.
变式训练3　解：原式＝ · ＝ .
【随堂小测】
1. 解：（1）原式＝ .
（2）原式＝ · ＝ .
（3）原式＝ ÷ ＝ · ＝ .
（4）原式＝ · ＝ .
2. （x－2）
3. 解：∵x＝3y，
∴ · ＝ · ＝ × ＝ × ＝ .
4. 解：他的计算过程不对，计算顺序错误.
a÷b· ＝a· · ＝ .
5. 解：（1）西瓜瓤的体积是 π（R－d）3，整个西瓜的体积是 πR3.
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是 ＝ .
（3）根据球的体积公式，得V西瓜瓤＝ π（R－d）3，
则西瓜瓤与整个西瓜的体积比是 ＝ ，故买大西瓜比买小
西瓜合算.(共16张PPT)
第五章　分式与分式方程
1　分式及其基本性质
第1课时　分式的概念
李叔叔计划用x元购买一批单价为a元/kg的苹果，由于购买量大，现每千克
便宜了b元，那么李叔叔现在可以购买多少千克苹果？
kg
　分式的概念
一般地，A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式，如果B中含有
① ，则称 为分式 ．
【注意】任意一个分式，分母都不能为② ，即当B≠0时，分式 才有
意义．
字母
0
【注意】判断一个代数式是否为分式，不能把原式变形后再判断，必须依据
原来的形式进行判断，如 的分母中含有字母，我们认定它为分式，而不能
看化简后的结果．
【例1】（2025春 南山区期中）下列各式中是分式的是（　C　）．
D． x＋y
下列各式： ＋1， ， ， 中，是分式的共有 个．
C
2
　列分式、求分式的值
【例2】（教材第131页习题5.1第1题（2））水果店购进一箱橘子需要a元，
已知橘子与箱子的总质量为m kg，箱子的质量为n kg，为了不亏本，这箱橘
子的零售价至少应定为每千克多少元？
解：这箱橘子的零售价至少应定为每千克 元.
（教材第131页习题5.1第1题（3））有两块棉田，第一块x hm2，
产棉花m kg；第二块y hm2，产棉花n kg．这两块棉田平均每公顷的棉产量
是多少千克？
解：这两块棉田平均每公顷的棉产量是 kg.
【例3】（根据教材第128页例1改编）当a=0，1，2时，分别求分式
的值．
解：当a＝0时， ＝ ＝－1；
当a＝1时， ＝ ＝ ，
当a＝2时， ＝ ＝ .
（教材第131页习题5.1第3题）当a=－1，b= 时，求分式
的值．
解：∵a＝－1，b＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ .
　分式有意义、无意义、值为0的条件
分式 有意义 ⑥ ；分式 无意义 ⑦ ；分式 的值为0
⑧ ．
【例4】（2024 深圳宝安区期末）若分式 有意义，则y满足的条件
是 ．
B≠0
B＝0
A＝0，B≠0
y≠－3
（2024 深圳光明区期末）若分式 的值为0，则x的值
为 ．
3
1. （2024 佛山期末）下列选项中是分式的是（　C　）．
2. （2024 深圳福田区期末）已知代数式 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是 ．
3. 如果分式 的值为0，那么x的值为 ．
C
x≠1
1
4. （教材第131页习题5.1第1题（4））一件商品售价x元，利润率为a%（a
＞0），则这种商品每件的成本是多少元？
解：设这种商品每件的成本是m元，
根据题意，得m（1＋a％）＝x，
∴m＝ ，
∴这种商品每件的成本是 元.
5. 已知x＋2y－1=0，求代数式 的值．
解：∵x＋2y－1＝0，
∴x＋2y＝1，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝2，
即 的值为2.
6. 已知分式 ．
（1）当x为何值时，此分式有意义？
解：（1）由题意，得（x－1）（x－4）≠0，解得x≠1且x≠4.
（2）当x为何值时，此分式的值等于0？
解：（2）由题意，得3x－4＝0，（x－1）（x－4）≠0，解得x＝ ，
∴当x＝ 时，此分式的值为0.
（3）当x=2时，分式的值是多少？
解：（3）当x＝2时，原式＝ ＝ ＝－1.
参考答案
【新课引入】
kg
【新课导学】
①字母 ②0 ③整式 ④字母 ⑤0
【例1】 C
变式训练1　2
【例2】　解：这箱橘子的零售价至少应定为每千克 元.
变式训练2　解：这两块棉田平均每公顷的棉产量是 kg.
【例3】　解：当a＝0时， ＝ ＝－1；
当a＝1时， ＝ ＝ ，
当a＝2时， ＝ ＝ .
变式训练3　解：∵a＝－1，b＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ .
⑥B≠0 ⑦B＝0 ⑧A＝0，B≠0
【例4】 y≠－3
变式训练4　3
【随堂小测】
1. C　2.x≠1　3.1
4. 解：设这种商品每件的成本是m元，
根据题意，得m（1＋a％）＝x，
∴m＝ ，
∴这种商品每件的成本是 元.
5. 解：∵x＋2y－1＝0，∴x＋2y＝1，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝2，
即 的值为2.
6. 解：（1）由题意，得（x－1）（x－4）≠0，解得x≠1且x≠4.
（2）由题意，得3x－4＝0，（x－1）（x－4）≠0，解得x＝ ，
∴当x＝ 时，此分式的值为0.
（3）当x＝2时，原式＝ ＝ ＝－1.(共28张PPT)
第五章　分式与分式方程
2　分式的运算
第3课时　异分母分式的加减法
异分母分数相加减需要通分，那么异分母分式相加减呢？例如： ＋
= ．
　最简公分母
最简公分母：取各分母系数的① 与各分母所有字母因式的
② 的积作为公分母，叫做最简公分母．
确定最简公分母的方法：
（1）系数取各系数的③ ；
（2）凡出现的因式都要取（特别注意：多项式要先④ ）；
（3）相同因式的次数取⑤ 的．
最小公倍数
最高次幂
最小公倍数
因式分解
最高
（1） 和 的最简公分母是 ；
（2） 和 的最简公分母是 ．
15ab
x（x＋3）（x－3）
【例1】确定下列分式的最简公分母：
确定下列分式的最简公分母：
（1）－ 和 的最简公分母是 ；
（2） ， 和 的最简公分母是 ．
12x2yz
2b（a－2）2（a＋2）
通分
通分：根据分式的⑥ ，使分子和分母同乘适当的⑦
，不改变分式的值，把⑧ 的分式化成⑨ 的分式，这样的分式变形叫做通分．通分的关键是确定几个分式的⑩ ．
基本性质
整式（或
整数）
异分母
同分母
最简公分母
【例2】将下列各组分式通分：
（1） ， ；
解：（1） ， .
（2） ， ．
解：（2） ， .
（根据教材第138页随堂练习第1题改编）将下列各分式通分：
（1） ，－ ；
解：（1）最简公分母是2a－b，
，－ ＝ ；
（2） ， ．
解：（2）最简公分母是2（x＋2）（x－2），
＝ ＝ ，
＝－ ＝－ .
　异分母分式的加减法法则
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的
加减法法则进行计算．字母表示为 ± = ± = ．
（2） ＋ ．
【例3】化简：
（1） ＋ ；
解：（1）原式＝ ＋ ＝ ＝ ；
解：（2）原式＝ ＋ ＝ ＝
＝ ＝ .
（根据教材第137页例5改编）计算：
（1） － ；
解：（1）原式＝ － ＝ ＝
＝ ；
（2） － ．
解：（2）原式＝ － ＝ ＝ ＝ .
1. 分式 和 的最简公分母是 ．
2. 通分： ， ．
解：∵x2－y2＝（x＋y）（x－y），x2＋xy＝x（x＋y），
∴最简公分母是x（x＋y）（x－y），
∴ ＝ ， ＝ .
6a2b2c
3. 计算：
（1） － ；
解：（1）原式＝ － ＝ ；
（2） － ；
解：（2）原式＝ － ＝ ＝ .
（3） ＋ ；
解：（3）原式＝ ＋ ＝ ＝ ＝ .
（4） － ．
解：（4）原式＝ .
4. 已知A= － ．
（1）化简A；
解：（1）原式＝ － ＝ － ＝ ＝ ，即化简A
的结果为 .
（2）当a3=8时，求A的值．
解：（2）∵a3＝8，
∴a＝ ＝2，
∴原式＝ ＝1，即A的值为1.
5. （教材第138页例6）小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km，其中小丽骑
车走的是平路，速度是2v km/h；小刚骑车需要走1 km的上坡路、2 km的下
坡路，在上坡路上的速度是v km/h，在下坡路上的速度是3v km/h．
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
解：（1）小刚上坡路走的时间为 ，下坡路走的时间为 ，
总时间为 ＋ ＝ （h）.
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
解：（2）小丽花费的时间为 ，
∵ － ＝ ，
∴小丽花费的时间少，少用 h.
6. （根据教材第142页习题5.2第15题改编）将a克糖放入水中，得到b克糖
水，此时糖水的含糖量我们可以记为 （b＞a＞0）．
【操作发现】再往杯中加入m（m＞0）克糖．
（1）糖水的含糖量为 　　　　（用分式表示）；
解：（1）再往杯中加入m（m＞0）克糖，糖水的含糖量为 .
故答案为 .
（2）生活中的经验告诉我们糖水变甜了，请用一个不等式表示这两次糖水
含糖量的大小： 　　　　；
解：（2）生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为
＞ ，故答案为 ＞ .
【探究论证】
（3）请证明（2）中的结论正确．
解：（3）证明： － ＝ － ＝ ＝ ，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b－a＞0，b＋m＞0，即 ＞0，
∴ － ＞0，
∴ ＞ .
参考答案
【新课引入】
【新课导学】
①最小公倍数　②最高次幂　③最小公倍数　④因式分解
⑤最高
【例1】 （1）15ab （2）x（x＋3）（x－3）
变式训练1（1）12x2yz （2）2b（a－2）2（a＋2）
⑥基本性质 ⑦整式（或整数） ⑧异分母 ⑨同分母
⑩最简公分母
【例2】　解：（1） ， .（2） ， .
变式训练2　解：（1）最简公分母是2a－b，
，－ ＝ ；
（2）最简公分母是2（x＋2）（x－2），
＝ ＝ ，
＝－ ＝－ .
【例3】　解：（1）原式＝ ＋ ＝ ＝ ；
（2）原式＝ ＋ ＝ ＝ ＝
＝ .
变式训练3　解：（1）原式＝ － ＝ ＝
＝ ；
（2）原式＝ － ＝ ＝ ＝ .
【随堂小测】
1.6a2b2c
2. 解：∵x2－y2＝（x＋y）（x－y），x2＋xy＝x（x＋y），
∴最简公分母是x（x＋y）（x－y），
∴ ＝ ， ＝ .
3. 解：（1）原式＝ － ＝ ；
（2）原式＝ － ＝ ＝ .
（3）原式＝ ＋ ＝ ＝ ＝ .
（4）原式＝ .
4. 解：（1）原式＝ － ＝ － ＝ ＝ ，即化简
A的结果为 .
（2）∵a3＝8，
∴a＝ ＝2，
∴原式＝ ＝1，即A的值为1.
5. 解：（1）小刚上坡路走的时间为 ，下坡路走的时间为 ，
总时间为 ＋ ＝ （h）.
（2）小丽花费的时间为 ，
∵ － ＝ ，
∴小丽花费的时间少，少用 h.
6. 解：（1）再往杯中加入m（m＞0）克糖，糖水的含糖量为 .故答案
为 .
（2）生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为 ＞
，故答案为 ＞ .
（3）证明： － ＝ － ＝ ＝ ，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b－a＞0，b＋m＞0，即 ＞0，
∴ － ＞0，
∴ ＞ .(共37张PPT)
第五章　分式与分式方程
3　分式方程
第3课时　分式方程的应用
　　已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等．若乙比
甲每小时多做9个零件，则甲、乙两人每小时各做多少个零件？
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x＋9）个零件，
依题意，得 ＝ ，解得x＝18，
经检验，x＝18是所列方程的根，
∴x＋9＝27.
答：甲每小时做18个零件，乙每小时做27个零件.
　　列分式方程解应用题的一般步骤
①审：分析问题，寻找已知量、未知量及相等关系；
②设：设恰当的未知数；
③列：根据相等关系列出分式方程；
④解：求出所列方程的根；
⑤验（双验）：首先检验所求的根是不是分式方程的根，然后检验所求的根
是否与实际相符；
⑥答：写出答语．
类型一　商业问题
【例1】（教材第147页习题5.3第4题）甲种原料与乙种原料的单价比为2∶3，
将价值2 000元的甲种原料与价值1 000元的乙种原料混合后，单价为9元，求
甲种原料的单价．
解：设甲种原料的单价为x元，乙种原料的单价为y元，
∵甲种原料与乙种原料的单价比为2∶3，∴ ＝ ，∴y＝ x.
根据题意，得 ＋ ＝ ，
解得x＝8，经检验：x＝8是所列方程的根.
故甲种原料的单价为8元.
某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，则这种服装
的成本价是 ．
120
类型二　工程问题
【例2】（2024 新安学校中考三模）在创建文明城市的进程中，某市为美化
城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计
划多30%，结果提前2天完成任务．设原计划每天植树x万棵，由题意得到的
方程是 ．
－ ＝2
（根据教材第147页习题5.3第3题改编）某工程队修建一条长
1 200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完
成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
解：（1）设原计划每天修建道路x m，
根据题意，得 － ＝4，解得x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的根.
答：原计划每天修建道路100 m.
（2）在这项工程中，如果要求提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道
路多少米？
解：（2）1 200÷（1 200÷100－2）＝120（m）.
答：实际平均每天修建道路120 m.
类型三　行程问题
【例3】（2024 深圳中学龙岗学校中考模拟）“孔子周游列国”是流传很广
的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发
1 h后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到
达书院．设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为．
＝ ＋1
明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路
程约为2.5 km．明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4
min．设妹妹跑步的速度为x km/h，则可列方程为．
＋ ＝
类型四　分式方程与不等式（组）的综合应用
【例4】（2024 龙岗区期末）阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发
展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用
1 200元购进蓝莓销售，由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售
完．该水果店又用1 500元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，
但每千克的价格比第一次购进的贵了10元．
（1）该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少？
解：（1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克x元，则该水果店第二次购进蓝
莓每千克（x＋10）元，
根据题意，得 ＝ ，解得x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的根.
答：该水果店第一次购进蓝莓的进价为每千克40元.
（2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不
低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？
解：（2）设每千克蓝莓的售价是y元，
根据题意，得 y－1 200－1 500≥900，
解得y≥60，
∴y的最小值为60.
答：每千克蓝莓的售价至少是60元.
（2024 南山区期末）第二十届文博会在深圳举行．南头古城某商
铺购进A，B两种文创饰品，采购A种饰品花了1 400元，采购B种饰品花了
630元，其中A种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元．
（1）A，B两种饰品每件的进价分别为多少元？
解：（1）设每件B种饰品的进价是x元，则每件A种饰品的进价是（x＋
1）元，根据题意，得 ＝ ×2，解得x＝9，经检验，x＝9是所列
方程的根.
∴x＋1＝9＋1＝10.
答：每件A种饰品的进价是10元，每件B种饰品的进价是9元.
（2）该商铺计划购进A，B两种饰品共600件，购进B种的件数不低于390
件，且不超过A种件数的4倍．现采购A种饰品有优惠政策，若一次性采购A
种超过150件，A种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每
件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的
利润最大，并求出最大利润．
解：（2）∵该商铺计划购进A，B两种饰品共600件，且购进A种饰品m件，
∴购进B种饰品（600－m）件.
根据题意，得 解得120≤m≤210.
设购进的两种饰品全部售出后获得的总利润为w元，
若120≤m≤150，则w＝15×600－10m－9（600－m），
即w＝－m＋3 600，
∵－1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝120时，w取得最大值，最大值为－1×120＋3 600＝3 480；
若150＜m≤210，则w＝15×600－10×150－10×0.6（m－150）－9（600
－m），
即w＝3m＋3 000，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝210时，w取得最大值，最大值为3×210＋3 000＝3 630.
∵3 480＜3 630，
∴当m为210时，能使本次销售的利润最大，最大利润是3 630元.
1. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个
长为2.4 m，宽为1.4 m的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8∶13，且四周
边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x m，根据题
意可列方程为 ．
＝
2. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度
的1.2倍，两人各自骑了6 km，小亮的骑行时间比小红少4 min，设小红的骑
行速度为x km/h，则可列方程为（　A　）．
3. 甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的
时间与乙做60个所用的时间相等，那么甲、乙二人合做1 h共做了（　D　）
个零件．
A． 12 B． 18 C． 24 D． 30
A
D
4. （2024 南山区开学）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程
队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方
案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程要
比规定工期多用5天；③ ，剩下的工程由乙队单独做，也正好
如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程： ＋
=1，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　A　）．
A． 甲、乙合做了4天 B． 甲先做了4天
A
5. （教材第150页复习题第16题）某商户预测一种应季衬衫能畅销市场，就用
8万元购进这种衬衫，衬衫上市后果然供不应求．该商户又用17.6万元购进了
第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．该商户
销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售
完．在这两笔生意中，该商户共盈利多少元？
解：设该商户第一次购进x件衬衫，则第二次购进2x件衬衫，
根据题意，得 ＝ －4.
解这个方程得x＝2 000.
经检验，x＝2 000是原方程的根，
∴2x＝4 000.
该商户利润为（2 000＋4 000－150）×58＋58×0.8×150－80 000－176 000
＝90 260（元）.
答：在这两笔生意中，该商户共盈利9 0260元.
6. （2025春 深圳期末）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔
记，请认真阅读并解答相应的问题．
题目：某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多
20元，用2 000元购买甲种图书和用1 200元购买乙种图书的数量相同．问
甲、乙两种图书的单价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法
一 设……，等量关系：甲种图书数量=乙种
图书数量
解法
二 设……，等量关系：甲种图书单价－乙种
图书单价=20
（1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．
（填序号）
①甲种图书的单价； ②乙种图书的单价； ③甲种图书购买的数量．
①
③
解析：∵解法一所用等量关系为甲种图书数量＝乙种图书数量，且所列方程
为 ＝ ，
∴解法一所列方程中的x表示甲种图书的单价.
∵解法二所用等量关系为甲种图书单价－乙种图书单价＝20，且所列方程为
－ ＝20，
∴解法二所列方程中的x表示甲种图书购买的数量.
故答案为①，③.
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
解：（2）解法一： ＝ ，解得x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的根，
∴x－20＝50－20＝30（元）.
答：甲种图书的单价是50元，乙种图书的单价是30元.
解法二： － ＝20，解得x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的根，
∴ ＝ ＝50（元）， ＝ ＝30（元）.
答：甲种图书的单价是50元，乙种图书的单价是30元.
（3）若该校用不超过2 500元钱购买甲、乙两种图书共60本且进行销售，甲
种图书的售价为65元一本，乙种图书的售价为40元一本，那么甲、乙两种图
书各购进多少本时获利最多？最大利润是多少元？
解：（3）设甲种图书购进m本，则乙种图书购进（60－m）本，
根据题意，得50m＋30（60－m）≤2 500，解得m≤35.
设购进的两种图书全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（65－50）m＋
（40－30）（60－m）＝5m＋600，
∵5＞0，∴w随m的增大而增大，
∴当m＝35时，w取得最大值，最大值为5×35＋600＝775（元），此时60
－m＝60－35＝25（本）.
答：甲种图书购进35本，乙种图书购进25本时，获利最多，最大利润是
775元.
参考答案
【新课引入】
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x＋9）个零件，
依题意，得 ＝ ，解得x＝18，
经检验，x＝18是所列方程的根，
∴x＋9＝27.
答：甲每小时做18个零件，乙每小时做27个零件.
【新课导学】
【例1】　解：设甲种原料的单价为x元，乙种原料的单价为y元，
∵甲种原料与乙种原料的单价比为2∶3，
∴ ＝ ，
∴y＝ x.
根据题意，得 ＋ ＝ ，
解得x＝8，经检验：x＝8是所列方程的根.
故甲种原料的单价为8元.
变式训练1　120
【例2】　 － ＝2
变式训练2　解：（1）设原计划每天修建道路x m，
根据题意，得 － ＝4，解得x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的根.
答：原计划每天修建道路100 m.
（2）1 200÷（1 200÷100－2）＝120（m）.
答：实际平均每天修建道路120 m.
【例3】　 ＝ ＋1
变式训练3　 ＋ ＝
【例4】　解：（1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克x元，则该水果店第
二次购进蓝莓每千克（x＋10）元，
根据题意，得 ＝ ，解得x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的根.
答：该水果店第一次购进蓝莓的进价为每千克40元.
（2）设每千克蓝莓的售价是y元，
根据题意，得 y－1 200－1 500≥900，解得y≥60，
∴y的最小值为60.
答：每千克蓝莓的售价至少是60元.
变式训练4　解：（1）设每件B种饰品的进价是x元，则每件A种饰品的进价
是（x＋1）元，根据题意，得 ＝ ×2，解得x＝9，经检验，x＝9是
所列方程的根.
∴x＋1＝9＋1＝10.
答：每件A种饰品的进价是10元，每件B种饰品的进价是9元.
（2）∵该商铺计划购进A，B两种饰品共600件，且购进A种饰品m件，
∴购进B种饰品（600－m）件.
根据题意，得 解得120≤m≤210.
设购进的两种饰品全部售出后获得的总利润为w元，
若120≤m≤150，则w＝15×600－10m－9（600－m），
即w＝－m＋3 600，
∵－1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝120时，w取得最大值，最大值为－1×120＋3 600＝3 480；
若150＜m≤210，则w＝15×600－10×150－10×0.6（m－150）－9（600
－m），即w＝3m＋3 000，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝210时，w取得最大值，最大值为3×210＋3 000＝3 630.
∵3 480＜3 630，
∴当m为210时，能使本次销售的利润最大，最大利润是3 630元.
【随堂小测】
1. ＝
2. A　3.D　4.A
5. 解：设该商户第一次购进x件衬衫，则第二次购进2x件衬衫，
根据题意，得 ＝ －4.
解这个方程得x＝2 000.
经检验，x＝2 000是原方程的根，
∴2x＝4 000.
该商户利润为（2 000＋4 000－150）×58＋58×0.8×150－80 000－176 000
＝90 260（元）.
答：在这两笔生意中，该商户共盈利9 0260元.
6. 解：（1）①　③　解析：∵解法一所用等量关系为甲种图书数量＝乙种
图书数量，且所列方程为 ＝ ，
∴解法一所列方程中的x表示甲种图书的单价.
∵解法二所用等量关系为甲种图书单价－乙种图书单价＝20，且所列方程为
－ ＝20，
∴解法二所列方程中的x表示甲种图书购买的数量.
故答案为①，③.
（2）解法一： ＝ ，解得x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的根，
∴x－20＝50－20＝30（元）.
答：甲种图书的单价是50元，乙种图书的单价是30元.
解法二： － ＝20，解得x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的根，
∴ ＝ ＝50（元）， ＝ ＝30（元）.
答：甲种图书的单价是50元，乙种图书的单价是30元.
（3）设甲种图书购进m本，则乙种图书购进（60－m）本，
根据题意，得50m＋30（60－m）≤2 500，解得m≤35.
设购进的两种图书全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（65－50）m＋
（40－30）（60－m）＝5m＋600，
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝35时，w取得最大值，最大值为5×35＋600＝775（元），此时60
－m＝60－35＝25（本）.
答：甲种图书购进35本，乙种图书购进25本时，获利最多，最大利润是
775元.(共29张PPT)
第五章　分式与分式方程
2　分式的运算
第4课时　分式的混合运算及应用
类比有理数的混合运算顺序，分式的混合运算顺序是怎样的？你能计算（
＋ ） xy吗？
x＋y
　　分式的混合运算及应用
分式混合运算的顺序：先算乘方，再算① ，最后算② ，有
括号先算括号里面的．
乘除
加减
（1） ＋ ；
解：（1） ＋
＝
＝ .
【例1】（根据教材第138页例7改编）计算：
（2） －x＋1.
解：（2） －x＋1
＝
＝
＝ .
（根据教材第138页例7改编）计算：
（1） －n＋1；
解：（1） －n＋1
＝ －
＝ .
（2） ＋ ．
解：（2） ＋
＝ ＋
＝
＝ .
【例2】（2024 南山区三模）先化简，再求值：（ －a＋1）÷ ，其中a从－1，1，－2，2中取一个你认为合适的数代入求值．
解：原式＝ · ＝ ·
＝ ·＝ · ＝－（a＋1）＝－a－1，
∵a＋1≠0，a＋2≠0，a－2≠0，
∴a≠－1，a≠－2，a≠2，
∴当a＝1时，原式＝－1－1＝－2.
（2024 宝安区三模）化简：（ －a－1）÷ ，请你从
－1，1，2中选一个合适的数代入求值．
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ ·
＝ ，
∵a≠1，a≠2，∴当a＝－1时，原式＝ ＝ .
解：（1）∵ ＝5，∴x＝5y，
∴ － －
＝ － －
＝ － －
＝ .
【例3】（根据教材第135页例8改编）已知 =5，求 － －
的值．
先化简，再求值：（ －x＋1）÷ ，请你从 ，1，2
中选一个合适的数代入求值．
解：原式＝ ·
＝ ·
＝－ ，
∵x＝ ，x＝1时，分母为0，
∴取x＝2，当x＝2时，原式＝－ ＝－ .
1. 化简：
（1） ＋ ；
解：（1）原式＝ .
（2） ＋ ；
解：（2）原式＝ ＝ .
（3）（ －1）÷ ；
解：（3）原式＝ ·
＝ · ＝ .
（4） （x－4＋ ）．
解：（4）原式＝ · ＝ ·
＝ · ＝x（x－2）＝x2－2x.
2. 先化简，再求值：（ －1）÷ ，其中a=2.
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ ，
当a＝2时，原式＝ ＝ .
3. 已知 － = ，则 的值为 ．
－4
4. （教材第142页习题5.2第12题）甲、乙两地相距50 km，一艘轮船先从甲地
顺流航行至乙地，再从乙地逆流返回甲地．已知水流速度为4 km/h，如果轮
船在静水中的速度为x km/h，那么该轮船从甲地到乙地所需的时间比从乙地
到甲地所需的时间少多少？
解： － ＝ （h）.
答：该轮船从甲地到乙地所需的时间比从乙地到甲地所需的时间少
h.
5. （1）已知b＞a＞0，分式 的分子和分母都加上1，说明所得分式 的
值是增大了还是减小了？
解：（1）∵ － ＝ ＞0，
∴所得分式 的值增大了.
①甲、乙所购饲料的平均单价分别是多少元？
②谁的购买方式平均单价较低？
（2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格
有变化，第一次的价格为m元/kg，第二次的价格为n元/kg（m，n是正数，
且m≠n）．甲每次购买800 kg；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
解：（2）①甲所购饲料的平均单价是 ＝ （元/kg）；
乙所购饲料的平均单价是 ＝ （元/kg）.
② － ＝ － ＝ ，
∵m，n是正数，且m≠n，
∴ ＞0，
∴ ＞ ，
∴乙所购饲料的平均单价较低.
参考答案
【新课引入】
x＋y
【新课导学】
①乘除　②加减
【例1】　解：（1） ＋
＝
＝ .
（2） －x＋1
＝
＝
＝ .
变式训练1　解：（1） －n＋1
＝ －
＝ .
（2） ＋
＝ ＋
＝
＝ .
【例2】　解：原式＝ ·
＝ ·
＝ ·
＝ ·
＝－（a＋1）
＝－a－1，
∵a＋1≠0，a＋2≠0，a－2≠0，
∴a≠－1，a≠－2，a≠2，∴当a＝1时，原式＝－1－1＝－2.
变式训练2　解：原式＝ ·
＝ ·
＝ ·
＝ ，
∵a≠1，a≠2，
∴当a＝－1时，原式＝ ＝ .
【例3】　解：（1）∵ ＝5，
∴x＝5y，
∴ － －
＝ － －
＝ － －
＝ .
变式训练3　解：原式＝ ·
＝ ·
＝－ ，
∵x＝ ，x＝1时，分母为0，
∴取x＝2，当x＝2时，原式＝－ ＝－ .
【随堂小测】
1. 解：（1）原式＝ .
（2）原式＝ ＝ .
（3）原式＝ ·
＝ · ＝ .
（4）原式＝ · ＝ ·
＝ · ＝x（x－2）＝x2－2x.
2. 解：原式＝ ·
＝ ·
＝ ，
当a＝2时，原式＝ ＝ .
3. －4
4. 解： － ＝ （h）.
答：该轮船从甲地到乙地所需的时间比从乙地到甲地所需的时间少 h.
5. 解：（1）∵ － ＝ ＞0，
∴所得分式 的值增大了.
（2）①甲所购饲料的平均单价是 ＝ （元/kg）；
乙所购饲料的平均单价是 ＝ （元/kg）.
② － ＝ － ＝ ，
∵m，n是正数，且m≠n，
∴ ＞0，
∴ ＞ ，
∴乙所购饲料的平均单价较低.(共22张PPT)
第五章　分式与分式方程
3　分式方程
第2课时　分式方程的解法
如何求解分式方程？解分式方程应注意什么？
求解分式方程的一般步骤：
1. 找到所有分母的最小公倍数：这是为了消除分母，将分式方程转化为整式
方程.
2. 方程两边同时乘最小公倍数：这样可以去分母，得到一个整式方程.
3. 解整式方程：求解得到的整式方程.
4. 检验解：由于分式方程中分母不能为零，必须检查解是否使原方程的分母
为零.若为零，则是增根，需舍去.
解分式方程应注意必须检查解是否使原方程的分母为零.
　解分式方程的步骤
解分式方程的步骤：“一去、二解、三验”．
（1）去分母，方程两边同乘① ，化为整式方程；
（2）解整式方程；
（3）检验（将整式方程的解代入最简公分母，若② ，则是原分式
方程的解；若③ ，则不是原分式方程的解）．
最简公分母
不为0
为0
【例1】将方程 ＋3= 去分母，两边同乘（x－1）后的式子为
（　B　）．
B
A． 1＋3=3x（1－x）
B． 1＋3（x－1）=－3x
C． x－1＋3=－3x
D． 1＋3（x－1）=3x
解分式方程 －1= 时，下列去分母正确的是（　D　）．
A． x－（x－2）=1＋x
B． －x＋（2－x）=1＋x
C． x－（x－2）=－1－x
D． x－（x－2）=－1＋x
D
【例2】解方程：
（1） = ；
解：（1） 去分母，得x＝3x－6，解得x＝3，经检验x＝3是原方程的根.
（2） － =3.
解：（2）去分母，得1＋x－4＝3x－6，解得x＝ .
检验：把x＝ 代入得x－2≠0，
∴原方程的根为x＝ .
解方程：
（1） = ；
解：（1） 去分母，得5x－10＝7x，解得x＝－5，经检验，x＝－5是原方
程的根.
（2） = －2.
解：（2）去分母，得2－x＝－1－2x＋6，解得x＝3，检验：当x＝3时，x
－3＝0，所以原方程无解.
　分式方程的增根
在将分式方程化为整式方程时，产生的使原分式方程的分母为④ 的
解，我们称它为原分式方程的增根．产生增根的原因是：我们在方程两边同
乘了一个使分母为零的整式．因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方
程⑤ ．
零
必须检验
（2025 福田区期末）若关于x的方程 =2有增根，则k的值为
（　B　）．
A． －1 B. 0 C. 1 D. 2
【例3】（2025 深圳中学期中）若在解分式方程 = 去分母时产生增
根，求k的值．
解：分式方程去分母，得x－1＝k，
由分式方程有增根得到x＋2＝0，即x＝－2，
把x＝－2代入x－1＝k，得k＝－2－1＝－3.
B
1. 解分式方程1－ = ，去分母后得到的方程正确的是（　D　）．
A． 1－（2－x）=－2x
B． （2－x）＋1=2
C． （x－2）－1=2x
D． （x－2）＋1=2x
D
2. （2025 宝安区校级三模）小明同学解方程 = －1的过程中，说法正
确的是（　B　）．
解：方程两边同时乘（x－3），得1＋x=－2－（x－3）…第一步
去括号，得1＋x=－2－x－3…第二步
移项，得x＋x=－2－3－1…第三步
合并同类项，得2x=－6…第四步
系数化为1，得x=－3…第五步
B
A． 从第一步开始出现错误 B． 从第二步开始出现错误
C． 从第三步开始出现错误 D． 从第四步开始出现错误
3. 解分式方程：
（1） = ；
解：（1）去分母，得3x＝4（x－1），
去括号，得3x＝4x－4，
移项、合并同类项，得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根，
∴x＝4.
（2） =2－ ．
解：（2）去分母，得y－2＝2（y－3）＋1，
去括号，得y－2＝2y－6＋1，
移项、合并同类项得y＝3，
检验：当y＝3时，y－3＝0，
∴原方程无解.
4. （2024 深圳外国语学校月考）解分式方程：
（1） = ；
解：（1）去分母，得2（x－1）＝x＋3，
去括号，得2x－2＝x＋3，
移项、合并同类项，得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
∴x＝5.
（2） －1= ．
解：（2）方程两边同乘（x＋2）（x－2），
得（x－2）2－（x＋2）（x－2）＝16，解得x＝－2，
检验：当x＝－2时，（x＋2）（x－2）＝0，
∴原方程无解.
5. 若关于x的方程 = 有增根，求m的值．
解：去分母，得x－2＝－m.
移项，得x＝2－m.
∵关于x的方程 ＝ 有增根，
∴2－m＝1.∴m＝1.
参考答案
【新课引入】
求解分式方程的一般步骤：
1. 找到所有分母的最小公倍数：这是为了消除分母，将分式方程转化为整式
方程.
2. 方程两边同时乘最小公倍数：这样可以去分母，得到一个整式方程.
3. 解整式方程：求解得到的整式方程.
4. 检验解：由于分式方程中分母不能为零，必须检查解是否使原方程的分母
为零.若为零，则是增根，需舍去.
解分式方程应注意必须检查解是否使原方程的分母为零.
【新课导学】
①最简公分母 ②不为0 ③为0
【例1】 B
变式训练1　D
【例2】　解：（1） 去分母，得x＝3x－6，解得x＝3，经检验x＝3是原方
程的根.
（2）去分母，得1＋x－4＝3x－6，解得x＝ .检验：把x＝ 代入得x－
2≠0，
∴原方程的根为x＝ .
变式训练2　解：（1） 去分母，得5x－10＝7x，解得x＝－5，经检验，x
＝－5是原方程的根.
（2）去分母，得2－x＝－1－2x＋6，解得x＝3，检验：当x＝3时，x－3
＝0，所以原方程无解.
④零　⑤必须检验
【例3】　解：分式方程去分母，得x－1＝k，
由分式方程有增根得到x＋2＝0，即x＝－2，
把x＝－2代入x－1＝k，得k＝－2－1＝－3.
变式训练3　B
【随堂小测】
1. D　2.B
3. 解：（1）去分母，得3x＝4（x－1），
去括号，得3x＝4x－4，
移项、合并同类项，得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根，
∴x＝4.
（2）去分母，得y－2＝2（y－3）＋1，
去括号，得y－2＝2y－6＋1，
移项、合并同类项得y＝3，
检验：当y＝3时，y－3＝0，
∴原方程无解.
4. 解：（1）去分母，得2（x－1）＝x＋3，
去括号，得2x－2＝x＋3，
移项、合并同类项，得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
∴x＝5.
（2）方程两边同乘（x＋2）（x－2），
得（x－2）2－（x＋2）（x－2）＝16，解得x＝－2，
检验：当x＝－2时，（x＋2）（x－2）＝0，
∴原方程无解.
5. 解：去分母，得x－2＝－m.
移项，得x＝2－m.
∵关于x的方程 ＝ 有增根，
∴2－m＝1.∴m＝1.(共28张PPT)
第五章　分式与分式方程
1　分式及其基本性质
第2课时　分式的基本性质
分数的基本性质是：分子、分母同时乘或除以同一个不为零的数，分数值不
变．那么分式是否也有类似的性质？
　分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个① 的整式，分式的值
② ．
= ， = （M≠0）．
说明：M可以是数字，可以是字母，也可以是单项式，还可以是多项式，只
要不为0即可．
不等于零
不变
（1） = （x＋y≠0）；
（2） = ．
【例1】（教材第130页随堂练习第1题）填空：
（根据教材第130页随堂练习第1题改编）填空：
（1） = ；
（2） = ．
　最简分式
分子和分母没有③ 的分式称为最简分式．（注意：一般地，化简
或计算的最后结果是④ ）
确定公因式的方法：
（1）分子、分母系数的⑤ ；（2）分子、分母相同因式的
⑥ ．
公因式
最简分式或整式
最大公约数
最低次幂
（2025春 福田区期末）下列分式是最简分式的是（　A　）．
【例2】下列各式是最简分式的是（　C　）．
C
A
　分式的约分
把一个分式的分子和分母的⑦ 约去，这种变形叫做分式的约分．
约分的基本步骤：
（1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的⑧ ，并
约去相同字母的⑨ ；
（2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式⑩，然后约去分子﹑分母所
有的 ．
公因式
最简分式或整式
最大公约数
最低次幂
（1） ；
解：（1） ＝ ＝ .
（2） ．
解：（2） ＝ ＝ .
【例3】（根据教材第130页随堂练习第2题改编）化简下列分式：
（教材第131页习题5.1第5题）化简下列分式：
（1） ；
解：（1）原式＝ ；
（2） ；
解：（2）原式＝ ＝ ；
（3） ．
解：（3）原式＝ ＝ .
　分式化简
【例4】不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含“－”号．
（1） ；　
解：（1） ＝－ ；
（2）－ ．
解：（2）－ ＝ .
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为
整数．
（1） ；
解：（1）原式＝ ＝ .
（2） ．
解：（2）原式＝ ＝ .
1. 下列分式中，是最简分式的是（　B　）．
2. （2024 深圳南山区期中）下列分式变形从左到右一定成立的是（　C　）．
B
C
3. 将分式 化为最简分式，所得结果是 　 　．
解析： ＝ ＝ .
4. 若分式 的值为零，则x的值为 ．
解析：因为分式 的值为零，所以｜x｜－1＝0，x＋1≠0，解得x＝
1.故答案为1.

1
5. 约分：
（1） ；
解：（1）原式＝ ＝ ；
（2） ；
解：（2）原式＝ ＝m；
（3） ．
解：（3）原式＝ ＝ .
6. （教材第131页习题5.1第6题）求下列各式的值：
（1） ，其中x=100；
解：（1）原式＝ ＝ ，
当x＝100时，原式＝ ＝ ＝ ；
（2） ，其中x=－6，y=28.
解：（2）原式＝ ＝－ ＝－ ，
当x＝－6，y＝28时，原式＝ .
7. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数．
（1） ；
解：（1）原式＝ ＝ .
（2） ．
解：（2）原式＝ ＝ .
8. 先约分，再求值： ，其中x=－2，y=－ ．
解：原式＝ ＝ .
当x＝－2，y＝－ 时，原式＝ ＝ .
9. 阅读材料题：
已知 = = ，求分式 的值．
解：设 = = =k，则a=3k，b=4k，c=5k，①
所以 = = = ．②
（1）上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质，第②步中，由
求得结果 运用了 的基本性质．
等式
分式
（2）参照上述材料解题．
①已知 = = ，求 的值．
②已知 = ，求 的值．
③已知 = = ，求 的值．
④已知 =2，求 的值．
解：（2）①设 ＝ ＝ ＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝6k，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
即分式 的值为 .
②设x＝3k，y＝2k，k≠0，
则 ＝ ＝3.
③设x＝2k，y＝3k，z＝4k，k≠0，
则原式＝ ＝ ＝3.
④由题意，得x－y＝2xy，
则 ＝ ＝ ＝ ＝－ .
参考答案
【新课导学】
①不等于零 ②不变
【例1】 （1）2x（x＋y） （2）y－2
变式训练1　（1）6y（x＋2）　（2）ab＋1
③公因式 ④最简分式或整式 ⑤最大公约数 ⑥最低次幂
【例2】 C
变式训练2　A
⑦公因式　⑧最大公约数　⑨最低次幂　⑩因式分解
公因式
【例3】　解：（1） ＝ ＝ .
（2） ＝ ＝ .
变式训练3　解：（1）原式＝ ；
（2）原式＝ ＝ ；
（3）原式＝ ＝ .
【例4】　解：（1） ＝－ ；
（2）－ ＝ .
变式训练4　解：（1）原式＝ ＝ .
（2）原式＝ ＝ .
【随堂小测】
1. B　2.C
3. 　解析： ＝ ＝ .
4.1　解析：因为分式 的值为零，所以｜x｜－1＝0，x＋1≠0，解
得x＝1.故答案为1.
5. 解：（1）原式＝ ＝ ；
（2）原式＝ ＝m；
（3）原式＝ ＝ .
6. 解：（1）原式＝ ＝ ，
当x＝100时，原式＝ ＝ ＝ ；
（2）原式＝ ＝－ ＝－ ，
当x＝－6，y＝28时，原式＝ .
7. 解：（1）原式＝ ＝ .
（2）原式＝ ＝ .
8. 解：原式＝ ＝ .
当x＝－2，y＝－ 时，原式＝ ＝ .
9. 解：（1）等式　分式
（2）①设 ＝ ＝ ＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝6k，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
即分式 的值为 .
②设x＝3k，y＝2k，k≠0，
则 ＝ ＝3.
③设x＝2k，y＝3k，z＝4k，k≠0，
则原式＝ ＝ ＝3.
④由题意，得x－y＝2xy，
则 ＝ ＝ ＝ ＝－ .

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