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(共66张PPT)
第一部分 知识梳理
第五章 四 边 形
第20课时　菱形、矩形、正方形、梯形
目 录
CONTENTS
01
课前循环练
02
课标解读
03
知识梳理
04
重点突破
05
中考演练
06
命题预测
课前循环练
1. （广东真题）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心
对称图形的是（　C　）
2. （广东真题）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，
其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是
红球的概率是（　B　）
C
B
3. （广东真题）如图5－20－1，在 ABCD中，对角线AC，BD
交于点O，下列式子中一定成立的是（　B　）
A． AC⊥BD B． OA=OC
C． AC=BD D． AO=OD
图5－20－1
B
4. （广东真题）方程x2=2x的解是 ．
5. （广东真题）如图5－20－2，在⊙O中，已知半径为5，弦AB
的长为8，那么圆心O到AB的距离为 ．
x1=0，x2=2
3
图5－20－2
课标解读
内容 课标要求
菱形、 矩形、 正方
形、 梯形 ①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概
念，以及它们之间的关系
②探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都
是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相
垂直．探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直
角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；
四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边
形是菱形．正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱
形、正方形之间的包含关系
知识梳理
对接教材　人教：八下第十八章　平行四边形（18.2 特殊的平
行四边形）
北师：九上第一章　特殊平行四边形
1. 矩形的概念
有一个角是 的平行四边形叫做矩形
直角
例1. 在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条
件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（　A　）
A． ∠D=90° B． AB=CD
C． AD=BC D． BC=CD
A
2. 矩形的性质
（1）具有平行四边形的所有性质．
（2）矩形的四个角都是 ．
（3）矩形的对角线 ．
（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 条对
称轴
直角
相等
2
例2. 如图5－20－3，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，
∠AOD=60°，AD=2，则 AC 的长是（　B　）
　图5－20－3
A． 2
B． 4
B
3. 矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）对角线 的平行四边形是矩形．
（3）有三个角是 的四边形是矩形
相等
直角
例3. 如图5－20－4，在 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点
O，则下面条件能判定四边形 ABCD 是矩形的是（　A　）
图5－20－4
A． AC=BD
B． AC⊥BD
C． OA=OC
D． AB=AD
A
4. 菱形的概念
有一组邻边 的平行四边形叫做菱形
相等
例4. 下面四个定义中不正确的是 （　B　）
A． 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B． 有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C． 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正
方形
D． 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
B
5. 菱形的性质
（1）具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形的四条边都 ．
（3）菱形的对角线互相 ，每条对角线平分一组对角．
（4）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 条对
称轴
相等
垂直
2
例5. 在菱形 ABCD 中，AC，BD 为对角线，下列说法一定正确的
是 （　B　）
A． AC=BD
B． AC⊥BD
C． ∠ABD=∠BAC
D． ∠BAC＋∠CAD=90°
B
6. 菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）四条边 的四边形是菱形．
（3）对角线互相 的平行四边形是菱形
相等
垂直
例6. 如图5－20－5，下列选项：① AC⊥BD；② BA⊥AD；③
AB=BC；④ AC=BD． 能证明 ABCD是菱形的条件有
（　D　）
　图5－20－5
D
A． ①②③
B． ②③
C． ③④
D． ①③
7. 正方形的概念
有一组邻边 ，并且有一个角是 的平行四边形叫
做正方形
相等
直角
例7. 在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是
（　C　）
A． ∠D=90° B． AB=CD
C． BC=CD D． AC=BD
C
8. 正方形的性质
正方形具有矩形和菱形的性质：
（1）边：四条边都 ，对边平行．
（2）角：四个角都是 ．
（3）对角线：对角线相等且 ，每条对角线
一组对角．
（4）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 条对
称轴
相等
直角
互相垂直平分
平
分
4
例8. 如图5－20－6，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 交
于点 O． 下列结论：① OA=OB；② ∠ACB=45°；③ AC⊥BD；
④正方形 ABCD 有4条对称轴． 上述结论正确的有（　A　）
　图5－20－6
A
A． ①②③④
B． ①②③
C． ②③④
D． ①③④
9. 正方形的判定
（1）有一组邻边 的矩形是正方形．
（2）对角线互相 的矩形是正方形．
（3）有一个角是 的菱形是正方形．
（4）对角线 的菱形是正方形
相等
垂直
直角
相等
例9. （1）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩
形成为正方形，可添加的一个条件是
；
　　（2）在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该菱
形成为正方形，可添加的一个条件是
．
AB=AD（答案不唯
一）　
AC=BD（答案不唯
一）　
10. 平行四边形、矩形、菱形与正方形的关系
（1）从边、角分析：
10. （2）从对角线分析：
例10. 如图5－20－7，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，请你添加两个适当的条件：
，使 ABCD变为正方形．
图5－20－7
AB=BC，∠ABC=90°（答案
不唯一）　
11. 梯形的概念
只有一组对边 的四边形叫做梯形．其中有一个角是直角
的梯形叫做 梯形，两腰相等的梯形叫做 梯形
平行　
直角　
等腰　
例11. 如图5－20－8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，
AB=CD=4，∠A=120°，则下底BC的长为 ．
图5－20－8
7
重点突破
1. （2025 广东节选）如图5－20－9，CD是Rt△ABC斜边AB上
的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于
点E． 现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则S△CFB=2S△CEF；
命题2：若连接ED，则ED⊥AC．
先判断真假，再证明或举反例．
【考点突破】特殊平行四边形的判定与性质 得分点分析
图5－20－9　　　
解：命题1是真命题． 1分（判断得1分）
证明：如图5－20－10，连接DE，交AC于点O，连接BE，交AC
于点F．
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=DA=DB= AB．.………… 2分（利用斜边上的中线定理得1分）
∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形．.………… 3分（利用平行四边形的判定得1分）
∵DA=DC，∴四边形ADCE是菱形．
图5－20－10
∴AC⊥DE，且OA=OC，OE=OD．.………… 4分（利用菱形的判定及性质得1分）
∵O为AC的中点，D为AB的中点，∴DO是△ABC的中位线．.………… 5分（利用中位线的判定得1分）
∴OD= BC．.………… 6分（利用中位线的性质得1分）
∴S△CFB= CF BC，S△CEF= CF OE，则S△CFB=2S△CEF．.………… 7分
（利用等量代换得1分）
命题2是真命题． .…………8分（判断得1分）
证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=DA=DB= AB． .…………（已证，同上得分）
∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形． .…………（已证，同上得分）
∵DA=DC，∴四边形ADCE是菱形． .…………（已证，同上得分）
∴AC⊥DE．.………… 9分（利用菱形的性质得1分）
温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第19小题，分
值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全
对，评卷老师是分步给分的哦!
【易错点突破】没掌握特殊平行四边形的判定方法
2. 如图5－20－11，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点E，
CF∥BE，BF∥CE． 当BC平分∠EBF时，求证： ABCD为矩
形．
　图5－20－11
小洁的证明过程如下：
∵CF∥BE，BF∥CE，∴四边形BECF为平行四边形．
又∵BC平分∠EBF，∴∠EBC=∠FBC．
∴ BECF为矩形．
∴∠BEC=90°． ∴BD⊥AC．
∴ ABCD为矩形．
判断以上小洁的证明过程是否正确？若不正确，请写出正确的证
明过程．
解：小洁的证明过程不正确．
正确的证明过程如下：
∵BF∥CE，∴∠ACB=∠CBF．
又∵BC平分∠EBF，∴∠DBC=∠CBF．
∴∠ACB=∠DBC． ∴BE=CE．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2CE，BD=2BE．
∴AC=BD．
∴ ABCD是矩形．
【生长式突破】知识生长→综合创新
3. （中考创新，原创题）如图5－20－12①，将矩形纸片ABCD沿
对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD，并且测得AB=3 cm，
BC=4 cm．
图5－20－12
考点种子：基本概念
（1）将这两张三角形纸片按图5－20－12②的方式摆放，连接
BD，则AC与BD的位置关系是 ；
AC⊥BD
图5－20－12
考点生长：矩形的判定与性质
（2）如图5－20－12③，将图5－20－12②中的△A′C′D纸片沿
射线CA方向平移，连接BC′，BA′，直至BC′∥A′D．
①判断四边形A′BC′D的形状，并说明理由；
②求平移的距离AC′；
图5－20－12
解：①四边形A′BC′D是矩形．
理由：如图5－20－12①，在矩形ABCD中，∠D=90°，
AD=BC，AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD．
∴在图5－20－12③中，BC=A′D，∠ACB=∠C′A′D，
∠D=90°．
∵BC′∥A′D，∴∠C′A′D=∠A′C′B．
∴∠A′C′B=∠ACB． ∴BC′=BC．
∴BC′=A′D． ∴四边形A′BC′D是平行四边形．
又∵∠D=90°，∴四边形A′BC′D是矩形．
②如答图5－20－1，过点B作BH⊥AC于点H．
在Rt△ABC中，AB=3 cm，BC=4 cm，
∴AC= = =5（cm）．
∵S△ABC= AB BC= AC BH，
∴BH= = = （cm）．
在Rt△ABH中，AH= = = （cm）．
在Rt△C′BH中，BC′=BC=4 cm，∴C′H=
= = （cm）．
∴AC′= C′H－AH= － = （cm）．
　答图5－20－1
考点成树：综合创新
（3）如图5－20－13①，将图5－20－12①中的△ACD以点A为旋
转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线
上，得到△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至
点G，使FG=AF，连接CG，C′G．
　图5－20－13
①判断四边形ACGC′的形状，并说明理由；
②如图5－20－13②，将图5－20－13①中△ABC沿着BD方向平
移，使点B与点A重合，此时点A平移至点A′，A′C与BC′交于点
P，连接CC′，求tan∠C′CP的值．
　图5－20－13
解：①四边形ACGC′是正方形．
理由：∵F为CC′的中点，∴C′F=CF．
又∵FG=AF，∴四边形ACGC′是平行四边形．
又∵AC=AC′，∴四边形ACGC′是菱形．
∵∠AC′D=∠BAC，∠AC′D＋∠DAC′=90°，
∴∠BAC＋∠DAC′=90°．
∴∠CAC′=180°－（∠BAC＋∠DAC′）=90°．
∴四边形ACGC′是正方形．
②由题意，得A′A= C′D=3 cm，AD=4 cm，A′C=AC′=5 cm，
A′C⊥AC′．
在Rt△ADC′中， sin ∠DAC′= = ， cos ∠DAC′= = ．
在Rt△A′AP中，A′P= A′A sin ∠DAC′= cm，AP= A′A cos
∠DAC′= cm．
∴C′P=AC′－AP=5－ = （cm），CP=A′C－A′P=5－ = （cm）．
在Rt△C′PC中，tan∠C′CP= = ．
中考演练
1. （2025 广东题10）如图5－20－14，在矩形ABCD中，E，F
是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG． 若
AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（　B　）
图5－20－14　　　　
B
2. （2022 广东题13）菱形的边长为5，则它的周长是 ．
3. （2024 广东题15）如图5－20－15，菱形ABCD的面积为24，
E是AB的中点，F是BC上的动点． 若△BEF的面积为4，则图中
阴影部分的面积为 ．
20
10
图5－20－15
1. （2025 德阳）如图5－20－16，要使平行四边形ABCD是矩
形，需要增加的一个条件可以是（　D　）
A． AB∥CD B． AB=BC
C． ∠B=∠D D． AC=BD
图5－20－16　　　
D
2. （2025 湖南）如图5－20－17，在四边形ABCD中，对角线AC
与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为
（　C　）
A． 6 B． 9 C． 12 D． 18
C
图5－20－17　　
3. （2025 贵州）如图5－20－18，小红想将一张矩形纸片沿
AD，BC剪下后得到一个 ABCD，若∠1=70°，则∠2的度数是
（　B　）
A． 20° B． 70°
C． 80° D． 110°
B
图5－20－18　　
4. （2025 广州）如图5－20－19，菱形ABCD的面积为10，E，
F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH
的面积为（　B　）
B． 5 C． 4 D． 8
B
图5－20－19
5. （2025 兰州）如图5－20－20，四边形ABCD是矩形，对角线
AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交
对角线BD于点P． 若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE的
度数为（　C　）
A． 95° B． 100°
C． 110° D． 145°
图5－20－20　　　
C
6. （2025 青海）如图5－20－21，在菱形ABCD中，BD=6，E，
F分别为AB，BC的中点，且EF=2，则菱形ABCD的面积
为 ．
12
图5－20－21　　　
7. （2025 乐山）如图5－20－22，在 ABCD中，对角线AC与
BD相交于点O． 小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正
方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③
∠ADC=90°． 则正确的组合是 ． （只需填一种
组合即可）
①②或①③
图5－20－22
8. （2025 凉山州）如图5－20－23，四边形ABCD是菱形，对角
线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于
点F，EG⊥AC于点G． 若AC=12，BD=16，则FG的长
为 ．
5
　图5－20－23
9. （2024 宿迁）如图5－20－24，在四边形ABCD中，AD∥BC，
且AD=DC= BC，E是BC的中点． 下面是甲、乙两名同学得到
的结论：
　图5－20－24
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形．
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
解：选择甲．
证明如下：如答图5－20－2，连接AE．
∵E是BC的中点，∴EC= BC．
∵AD= BC，∴AD=EC．
∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AD=DC，∴四边形ADCE是菱形．
　答图5－20－2
选择乙．
证明如下：如答图5－20－2，连接AC．
同上证明可得AE=CE=BE，∴∠EAC=∠ECA，∠EAB=∠B．
∵∠EAC＋∠ECA＋∠EAB＋∠B=180°，
∴2∠EAC＋2∠EAB=180°．
∴∠EAC＋∠EAB=90°，即∠BAC=90°．
∴△ABC是直角三角形．
　答图5－20－2
10. （2025 北京）如图5－20－25，在△ABC中，D，E分别为
AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，
DG=FC．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥BC．
∵DG=FC，∴四边形DFCG是平行四边形．
又∵DF⊥BC，∴∠DFC=90°． ∴平行四边形
DFCG是矩形．
（2）若∠B=45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长．
（2）解：∵DF⊥BC，∴∠DFB=90°．
∵∠B=45°，∴△BDF是等腰直角三角
形． ∴BF=DF=3.
∵FC=DG=5，∴BC=BF＋FC=3＋5=8.
由（1）可知DE是△ABC的中位线，四边形
DFCG是矩形，
∴DE= BC=4，CG=DF=3，∠G=90°．
∴EG=DG－DE=5－4=1.
∴CE= = = ．
∵E为AC的中点，∴AC=2CE=2 ．
命题预测
2025 广州）宽与长的比是 （约为0.618）的矩形叫做黄金
矩形． 现有一张黄金矩形纸片ABCD，AD= ＋1. 如图5－20－
26①，折叠纸片ABCD，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF，
连接EF，然后将纸片展开．
（1）求AB的长；
（1）解：∵AD= ＋1，矩形ABCD是黄金矩形，
∴ = ． ∴AB= ×（ ＋1）=2.
（2）求证：四边形CDEF是黄金矩形；
（2）证明：由折叠，可得AB=AE，∠B=∠AEF．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=2，AD=BC= ＋1.
∴∠BAE=∠B=∠AEF=90°． ∴四边形ABFE是矩形．
∵AB=AE，∴四边形ABFE是正方形． ∴AB=BF=EF=AE=2.
∴DE=CF= ＋1－2= －1.
∵∠C=∠D=∠DEF=90°，∴四边形CFED是矩形． ∴ = ．
∴四边形CDEF是黄金矩形．
（3）如图5－20－26②，G为AE的中点，连接FG，折叠纸片
ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF
于点Q． 四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果
不是，请说明理由．
　图5－20－26
（3）解：四边形BPQF是黄金矩形．
证明如下：
∵PQ⊥EF，四边形ABFE是正方形，
∴∠B=∠BFQ=∠PQF=90°．
∴四边形BFQP是矩形．
由（2）可知AB=BF=AE=EF=2.
∵G为AE的中点，∴AG=EG=1. ∴FG= =
= ．
　答图5－20－3
如答图5－20－3，连接PG．
由折叠，可得FH=FB=2，BP=PH，∠PHF=∠B=90°．
设BP=PH=x，则AP=2－x．
∵S△APG＋S△PBF＋S△PGF=S梯形ABFG，
∴ ×1×（2－x）＋ ×2x
＋ × x= ×（1＋2）×2.
解得x= －1. ∴BP= －1. ∴ = ．
∴四边形BFQP是黄金矩形．
　答图5－20－3
命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测
2026年可能会更加注重菱形、矩形、正方形与其他几何图形的综
合考查，如与三角形、平行四边形、圆等结合，要求学生具备较
强的综合运用能力和空间想象能力；也可能会注重开放式试题的
考查，要求学会从不同角度思考问题，如通过添加辅助线等方式
构造特殊图形等．
谢 谢 !(共45张PPT)
第一部分 知识梳理
第五章 四 边 形
第19课时　平行四边形
目 录
CONTENTS
01
课前循环练
02
课标解读
03
知识梳理
04
重点突破
05
中考演练
06
命题预测
课前循环练
1. （广东真题）下列函数，其中图象为抛物线的是（　C　）
B． y=2x
C． y=x2 D． y=2x＋3
2. （广东真题）下列命题，正确的是（　C　）
A． 与圆有公共点的直线是圆的切线
B． 连接圆上两点的线段是圆的直径
C． 圆内接四边形的对角互补
D． 国旗上的五角星既是轴对称图形，又是中心对称图形
C
C
3. （广东真题）如图5－19－1，在菱形ABCD中，∠ADB与∠ABD
的大小关系是（　C　）
A． ∠ADB＞∠ABD B． ∠ADB＜∠ABD
C． ∠ADB=∠ABD D． 无法确定
图5－19－1　　　　
C
图5－19－2
4. （广东真题）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题
是 ．
5. （广东真题）如图5－19－2，PA，PB是⊙O的切线，A，B为
切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，则∠P的大小
是 ．
对角线互相平分的四边形是平行四边形
40°
课标解读
内容 课标要求
平行四
边形 ①理解平行四边形的概念
②探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对
边相等、对角相等、对角线互相平分．探索并证明平行
四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形
③理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线
之间的距离
知识梳理
对接教材　人教：八下第十八章　平行四边形　　
北师：八下第六章　平行四边形
1. 平行四边形的概念
两组对边分别 的四边形叫做平行四边形
平行
例1. 在 ABCD中，∠A=100°，则∠B= ．
80°
2. 平行四边形的性质与判定 性质 判定
边 平行四边形
的对边
（1）两组对边分别 的四边形是平行
四边形；
（2）两组对边分别 的四边形是平行
四边形；
（3）一组对边 的四边形是平
行四边形
平
行且相等
平行
相等
平行且相等
2. 平行四边形的性质与判定 性质 判定
角 平行四边形的
对角 两组对角 的四边形是平行四边形
对
角 线 平行四边形的
对角线
对角线 的四边形是平行四边形
对
称 性 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是
相等
相等
互相平分
互相平分
对角线的交点
例2. 如图5－19－3，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点
O，E，F 是对角线 AC 上的两点，当点 E，F 满足下列哪个条件
时，四边形 DEBF 不一定是平行四边形？ （　B　）
图5－19－3
A． OE=OF B． DF=BE
C． AE=CF D． ∠AEB=∠CFD
B
3. 平行四边形的面积
（1）平行四边形的面积= ．
（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积 ．
（3）如果两条直线相互平行，那么其中一条直线上任意一点到另
一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．平行
线间的距离处处
底×高
相等
相等
例3. 如图5－19－4， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过
点O的直线分别交CD和AB于点E，F，且AB=7，BC=4，
∠BCD=30°，则 ABCD的面积为 ，图中阴影部分的面积
为 ．
图5－19－4
14　
7
重点突破
【考点突破】平行四边形的判定；命题的真假 得分点分析
1. （2025 广东改编）如图5－19－5，四边形ABCD中，对角线
AC与BD相交于点O，现有以下命题：
命题1：若AB∥CD，AO=CO，则四边形ABCD是平行四边形；
命题2：若AB∥CD，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形；
命题3：若AO=CO，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
图5－19－5　
解：命题1是真命题．.………… 1分（判断真假得1分）
证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD． .…………2分（利用平行线的性质得1分）
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（ASA）． .…………3分（写出三角形全等的条件，结论和依据得1分）
∴OB=OD．.………… 4分（利用全等三角形对应边相等的性质得1分）
∴四边形ABCD是平行四边形．.………… 5分（利用平行四边形的判定得1分）命题2是假命题．
举反例：如图5－19－6，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
AD=BC，等腰梯形不是平行四边形． .…………9分（判断真假得1分，举反例得3分）
命题3是假命题．
举反例：如图5－19－7，B′C=BC=AD，
AO=CO，此时四边形
ABCD不是平行四边形． .…………9分
（判断真假得1分，举反例得3分）
图5－19－6　
图5－19－7
温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第19小题，分
值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全
对，评卷老师是分步给分的哦!
【易错点突破】没掌握平行四边形的性质
2. 如图5－19－8，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
AE，CF分别平分∠DAC，∠BCA． 求证：BF=DE． 小明的证
明过程如下，判断小明的证明过程是否正确？若不正确，请写出
正确的证明过程．
图5－19－8
　　　
小明的证明过程：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OF=OE，OB=OD．
∴OB－OF=OD－OE，即BF=DE．
解：小明的证明过程不正确．
正确证明过程如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，
OB=OD． ∴∠DAC=∠BCA．
∵AE，CF分别平分∠DAC，∠BCA，
∴∠EAO= ∠DAC，∠FCO= ∠BCA． ∴∠EAO=∠FCO．
∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE=OF．
∴OB－OF=OD－OE，即BF=DE．
【生长式突破】知识生长→综合创新
3. （中考创新，原创题）如图5－19－9，BD是 ABCD的一条对
角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，
F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N．
考点种子：基本概念
（1）①若AM平分∠BAD，AD=3，
AB=7，则CM= ；
②若AD=AM，∠ABC=65°，
则∠ADB= ；
4
40°
　图5－19－9
考点生长：平行四边形的判定与性质
（2）①求证：四边形CMAN是平行四边形；
②若DE=4，FN=3，求BN的长；
　图5－19－9
①证明：∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，即CM∥AN．
∴四边形CMAN是平行四边形．
②解：∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠DEM=∠BFN=90°．
∵四边形CMAN是平行四边形，∴CM=AN．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，
CD=AB． ∴∠MDE=∠NBF，DM=BN．
在△MDE和△NBF中，
∴△MDE≌△NBF（AAS）．∴BF=DE=4.
在Rt△NBF中，BF=4，FN=3，∴BN= =
=5.
考点成树：综合创新
（3）如图5－19－10，连接AF，CE．
①求证：四边形AECF是平行四边形；
②若AD=5，tan∠ADE= ，∠CDE=∠EAF，求BD的长．
　图5－19－10
①证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，
∠DEA=∠BFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，
AD∥BC． ∴∠ADE=∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴AE=CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
②解：在Rt△ADE中，tan∠ADE= = ，∴设AE=3a，
DE=4a．
由勾股定理，得AD= =5a．
∵AD=5，∴5a=5.解得a=1.∴AE=3，DE=4.
∵四边形AECF是平行四边形，∴∠ECF=∠EAF，CF=AE=3.
∵∠CDE=∠EAF，∴∠CDE=∠ECF． ∴tan∠CDE= tan∠ECF．
∴ = ，即 = ．解得EF= －2（负值已舍去）．
由①知△ADE≌△CBF，∴BF=DE=4.∴BD=BF＋EF＋DE=4
＋ －2＋4= ＋6.
中考演练
1. （2022 广东题8）如图5－19－11，在 ABCD中，一定正确的
是（　C　）
A． AD=CD B． AC=BD
C． AB=CD D． CD=BC
C
　图5－19－11
2. （2025 广东题19节选）如图5－19－12，CD是Rt△ABC斜边
AB上的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相
交于点E． 现有命题：若连接ED，则ED=BC．
　图5－19－12
先判断该命题真假，再证明或举反例．
解：该命题是真命题． 证明如下：
如答图5－19－1，连接DE．
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD=DA=DB= AB．
　答图5－19－1
∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE=AD． ∴CE=DB．
∵CE∥AB，∴四边形BCED是平行四边形．
∴ED=BC．
1. （2025 山西）如图5－19－13，在 ABCD中，O是对角线AC
的中点，E是边AD的中点，连接OE． 下列两条线段的数量关系
中一定成立的是（　C　）
图5－19－13　　　　
C
2. （2025 贵州）如图5－19－14，在 ABCD中，AB=3，
BC=5，∠ABC=60°，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交
BC于点E，则EC的长为（　D　）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
D
图5－19－14
3. （2025 湖北）如图5－19－15，平行四边形ABCD的对角线交
点在原点． 若A（－1，2），则点C的坐标是（　C　）
A． （2，－1） B． （－2，1）
C． （1，－2） D． （－1，－2）
图5－19－15　　　　
C
4. （2025 安徽）在如图5－19－16所示的 ABCD中，E，G分
别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不
与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是（　C　）
A． 四边形EFGH的周长 B． ∠EFG的大小
C． 四边形EFGH的面积 D． 线段FH的长
C
图5－19－16
5. （2025 广元）如图5－19－17，在平行四边形ABCD中，
AB=8，对角线AC，BD交于点O，P是AB的中点，连接DP，E
是DP的中点，连接OE，则OE的长是（　C　）
A． 1 C． 2 D． 4
图5－19－17　　　　
C
6. （2025 新疆）如图5－19－18，在 ABCD中，∠BCD的平分
线交AB于点E，若AD=2，则BE= ．
2
图5－19－18
7. （2025 河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角
线长为n． 若n为整数，则n的值可以为
． （写出一个即可）
8. （2025 山东）如图5－19－19，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
AB=6，BC=8.P为边AC上异于点A的一点，以PA，PB为邻边作
PAQB，则线段PQ的最小值是 ．
2（或3或4或5或
6）
4.8　
图5－19－19
9. （2025 青海节选）如图5－19－20，在△ABC中，O，D分别
是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，
连接AD，BE． 求证：四边形AEBD是平行四边形．
　图5－19－20
证明：∵O，D分别是边AB，BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线．
∴OD∥AC．
∵AE∥BC，∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE=CD．
∵D是边BC的中点，∴BD=CD． ∴AE=BD．
∴四边形AEBD是平行四边形．
10. （2024 湖南）如图5－19－21，在四边形ABCD中，
AB∥CD，点E在边AB上， 　　　　．
请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选
一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
　图5－19－21
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；
（1）选择①．
证明：∵∠B=∠AED，∴BC∥DE．
∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形．
选择②．
证明：∵AE=BE，AE=CD，∴BE=CD．
∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形．
　图5－19－21
（2）若AD⊥AB，垂足为A，AD=8，BC=10，求线段AE的长．
（2）解：由（1）可知四边形BCDE为平行四边
形，
∴DE=BC=10.
∵AD⊥AB，∴∠A=90°．
在Rt△AED中，AD=8，∴AE=
= =6.
∴线段AE的长为6.
　图5－19－21
命题预测
（中考创新）如图5－19－22，在 ABCD中，AC，BD相交于点
O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：BE=DF；
　图5－19－22
（2）连接DE，BF，已知 　　　　 （从下列两个条件中任选一
个作为已知条件，填写序号），请判断四边形DEBF的形状，并
证明你的结论．
①AC=2BD；②AB=BC．
　图5－19－22
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC． ∴∠BAE=∠DCF．
∵E，F分别是OA，OC的中点，∴AE=CF．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）． ∴BE=DF．
（2）解：选择条件①，四边形DEBF是矩形．
证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=OF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∵OE= OA= AC，OF= OC= AC，AC=2BD，∴EF=BD．
∴四边形DEBF是矩形．
选择条件②，四边形DEBF是菱形．
证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=OF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥BD．
∴四边形DEBF是菱形．
命题解读：根据新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测
2026年广东中考命题方向可能会更加注重平行四边形与其他几
何图形的综合考查，如与三角形、特殊四边形等结合，考查学
生的综合运用能力；还可能会注重开放式试题及探究性试题的
考查等．

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