资源简介

(共43张PPT)
第一部分 基础梳理
第一章 数 与 式
第4课时　二 次 根 式
目 录
CONTENTS
01
课前循环练
02
课标解读
03
知识梳理
04
重点突破
05
中考演练
06
命题预测
课前循环练
1. （广东真题）不等式 3x－1≥x＋3 的解集是（　D　）
A． x≤4 B． x≥4
C． x≤2 D． x≥2
D
2. （广东真题）如图1－4－1，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那
么∠B的度数为（　C　）
A． 70° B． 100°
C． 110° D． 120°
图1－4－1　　　　　
C
图1－4－2
3. （广东真题）如图1－4－2，在平面直角坐标系中，点A的坐标
为（4，3），那么 cos α的值是（　D　）
A． B． C． D．
D
4. （广东真题）袋中有同样大小的4个小球，其中3个红色，1个白
色．从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是
（　A　）
A． B． C． D．
A
5. （广东真题）如图1－4－3，三个小正方形的边长都为1，则图
中阴影部分面积的和是 　 　．（结果保留π）
图1－4－3
课标解读
内容 课标要求
二次根
式 ①了解二次根式、最简二次根式的概念
②了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运
算法则，会用它们进行简单的四则运算
知识梳理
对接教材　人教：八下第十六章　二次根式
北师：八上第二章　实数（2.7二次根式）
1. 二次根式
（1）形如 的式子，叫做二次根式．
注意 的双重非负性：a 0； 0.
（2）最简二次根式：同时满足条件①被开方数不含分母；②被开
方数中不含能开得尽方的因数或因式．
（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被
开方数 ，那么这几个二次根式叫做同类二次根式
≥
≥
相同
例1. （1）如果二次根式 有意义，那么 x 的取值范围
是 ；
（2）下列根式是最简二次根式的是（　B　）
A． B．
C． D．
（3）已知最简二次根式 与 是同类二次根
式，则a的值为 ．
x≥－4
B
－1
2. 二次根式的性质
（1）（ ）2= ．
（2） = =
（3） = （a≥0，b≥0）．
（4） = 　 　（a≥0，b＞0 ）
a

例2. 计算：
　　（1） = ；
　　（2）2= ；
　　（3） = 　；
　　（4） = 　 　．
6
5
4
3. 二次根式的乘除
（1）二次根式的乘法： = 　 　（a≥0，b≥0）．
（2）二次根式的除法： = 　 　（a≥0，b＞0）
例3. 计算：
　　（1） × = ；
　　（2） = ．
6
3
4. 二次根式的加减
先把各个二次根式化成 ，再把
分别合并
最简二次根式
被开方数相同
的二次根式
例4. 计算 ＋ － 的结果为 　2 　．
2
5. 分母有理化
将二次根式中的分母（分母含有无理数）化为有理数的过程，也
就是将分母中的根号化去
例5. 分母有理化： = 　 　．
6. 二次根式的估值
（1）先对二次根式进行平方，如（ ）2=6；
（2）找出与平方后所得数相邻的开得尽方的整数，如4＜6＜9；
（3）对以上两个整数开方，如 =2， =3；
（4）确定这个根式的值在开方后所得的两个数之间，如2＜
＜3
例6. 已知m= ＋ ，则以下对m的估算正确的是（　C　）
A． 2＜m＜3
B． 3＜m＜4
C． 4＜m＜5
D． 5＜m＜6
C
重点突破
【考点突破】二次根式的混合运算 得分点分析
1. （北师八上P45随堂练习）计算： × ．
解：原式= × ＋ × 2分（用乘法分配律去括号得2分）
= ＋ 4分（运用二次根式的乘法 = 得2分）
=9＋1 6分（化简得2分）
=10. 7分（计算结果得1分）
温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第16题，分
值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全
对，评卷老师是分步给分的哦!
2. 在计算 ×2 － ÷ 时，小明的解题过程如下：
解：原式=2 － 　①
=2 － ②
=（2－1） ③
= ．④
【易错点突破】未成正确掌握二次根式加减法的运算法则
（1）请你指出小明从第 步开始出错的；错误的原因
是
；
（2）以上第①步的化简中由“ ÷ ”化为“ ”所依据
的数学公式是______________________________;
③
进行二次根式加减法时没化成最简同类二次根式进行合
并
= （a≥0，b＞0）
（3）请你给出正确的解题过程．
解：（3）正确的解题过程如下：
原式=2 －
=2 －
=6 －2
=4 ．
3. （中考创新，原创题）已知二次根式 ， ， ，
，解答以下问题：
考点种子：基本概念
（1）填空：
①上述二次根式中，属于最简二次根式的是 　 　；
【生长式突破】知识生长→综合创新
②计算： × = = ，所依据的数学公式
为 ；
5
× = （a≥0，b≥0）
考点生长：混合运算
（2）计算： ＋ ÷ ；
解：原式= ＋2　 ÷
= ＋2 ÷
= ＋2 ×
= ．
考点成树：综合创新
（3）如图1－4－4，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的
直角边长为2，以数轴上表示－1的点为圆心，直角三角形的最长
边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，若点A表示的数为x．
①填空：x= ；
②求代数式 － 的值．
－1
　图1－4－4
解：②由①，得x= －1，
∴ －
= －
= －
= －
= ．
中考演练
1. （2020 广东题5）若式子 在实数范围内有意义，则x
的取值范围是（　B　）
A． x≠2 B． x≥2
C． x≤2 D． x≠－2
B
2. （2021 广东题8）设6－ 的整数部分为a，小数部分为
b，则（2a＋ ）b的值是（　A　）
A． 6 B． 2
C． 12 D． 9
A
3. （2025 广东题3）计算 × 的结果是（　B　）
A． 3 B． 6 C． D． 2
4. （2023 广东题12）计算： × = ．
B
6
1. （2025 福建）若 在实数范围内有意义，则实数x的值
可以是（　D　）
A． －2 B． －1 C． 0 D． 2
2. （2025 兰州）计算： × =（　B　）
A． 6 B． C． D． 1
D
B
3. （2024 南通）计算 × 的结果是（　B　）
A． 9 B． 3 C． 3　 D．
4. （2025 河北）计算：（ ＋ ）（ － ）=
（　B　）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
B
B
5. （2024 济宁）下列运算正确的是（　B　）
A． ＋ = B． × =
C． 2÷ =1 D． =－5
B
6. （2025 绥化）若式子 有意义，则x的取值范围是
．
7. （2025 自贡）计算： －3 = ．
8. （2024 南京）计算： = 　．
x＞
－1
0
2
9. （2025 甘肃）计算： － × ．
解：原式=2 －
= ．
10. （2025 青岛）计算： －0.
解：原式= ＋ －1
=3＋5－1
=7.
命题预测
（中考创新题）小明在解决问题：已知a= ，求a2－4a＋1的
值．他是这样分析与解答的：
∵a= = =2－ ，∴a－2=－ ．
∴（a－2）2=3，即a2－4a＋4=3.∴a2－4a=－1.
∴a2－4a＋1=－1＋1=0.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： = 　 －1　；
－1
（2）计算： ＋ ＋ ＋…＋ ；
解：（2） ＋ ＋ ＋…＋
= ＋ ＋…＋
= －1＋ － ＋…＋ －
=－1＋
=9.
（3）若a= ，求4a2－8a＋1的值．
解：（3）∵a= =
= ＋1，
∴a－1= ．
∴（a－1）2=2，即a2－2a＋1=2.
∴a2－2a=1.
∴4a2－8a＋1
=4（a2－2a）＋1
=4×1＋1
=5.
命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测
2026年广东中考命题方向可能更注重考查学生对二次根式概念的
理解和运用，加强算理算法的考查，可能会增加改错题的考查．
　　
谢 谢 !(共43张PPT)
第一部分 基础梳理
第一章 数 与 式
第2课时 整式与因式分解
目 录
CONTENTS
01
课前循环练
02
课标解读
03
知识梳理
04
重点突破
05
中考演练
06
命题预测
课前循环练
（限时5分钟，3个选择+2个填空，训练中考客观题准确度与速度）
1. （广东真题）（－4x）2=（　D　）
A． －8x2 B． 8x2
C． －16x2 D． 16x2
D
2. （广东真题）如图1－2－1，由5个相同正方体组合而成的几何
体，它的主视图是（　B　）
图1－2－1
　　　
B
3. （广东真题）如图1－2－2，在同一平面直角坐标
系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y= （k2≠0）相交于A，B
两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　A　）
A． （－1，－2） B． （－2，－1）
C． （－1，－1） D． （－2，－2）
A
　图1－2－2
4. （广东真题）单项式3xy的系数为 ．
5. （广东真题）已知x=5－y，xy=2，计算3x＋3y－4xy的值
为 ．
3
7
课标解读
内容 课标要求
整式 ①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义
②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；
能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式
③会把具体数代入代数式进行计算
④了解整数指数幂的意义和基本性质
⑤理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）
⑥理解乘法公式 （a＋b）（a－b）=a2－b2，（a±b）
2=a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行
简单的计算和推理
内容 课标要求
因式
分解 ⑦能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）
进行因式分解（指数为正整数）
⑧了解代数推理
知识梳理
对接教材　人教：七上第二章　整式的加减；八上第十四章　
整式的乘法与因式分解
北师：七上第三章　整式及其加减；七下第一章　整式的乘除；
八下第四章　因式分解
1. 代数式
用 把数和字母连接而成的式子叫做代数式． 特别
地，单独一个数或一个字母也是代数式
运算符号
例1. 根据语句“x的 与y的5倍的差”，列出的代数式为
（　A　）
A． x－5y B． x＋5y
C． x＋5y D． x－5y
A
2. 代数式的值
用具体数值代替代数式中的 ，计算所得的结果叫做代数
式的值
字母
例2. 若 x=－ ，y=4，则代数式 3x＋y－3 的值为 （　B　）
B
A． －6 B． 0 C． 2 D． 6
3. 整式的分类
整式
例3. （1）单项式－4πxy2的系数与次数分别是（　A　）
（2）多项式x5－3x2－7的项数是 ，次数是 ．
A
3
5
A． －4π，3 B． －4π，4 C． －4，3 D． －4，4
4. 同类项
所含字母相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项
指数
例4. 下列各组中，属于同类项的是 （　D　）
A． 5m2n 与 m2 B． a4b 与 ab4
C． a3b2c2 与 23b2c2 D． －4x2y 与 yx2
D
5. 合并同类项
把同类项合并成一项叫做合并同类项． 其法则是：合并同类项
时，把同类项的 相加，字母和字母的 不变
系数
指数
例5. 下列各算式中，合并同类项正确的是 （　A　）
A． x2＋x2=2x2 B． x2＋x2=x4
C． 2x2－x2=2 D． 2x2－x2=2x
A
6. 整式的加减
（1）几个整式相加减，有括号的先去括号，然后再合并同类项．
（2）去括号法则
①括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括
号里各项的符号 ，如a＋（b－c）=a＋b－c，a
＋（b＋c）=a＋b＋c；
都不改变
②括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括
号里各项的符号 ，如a－（b－c）=a－b＋c，a
－（b＋c）=a－b－c
都要改变
例6. 计算：
　　（1）4a2＋（6a2－a2）= ；
　　（2）5m－（m＋3m）= ；
　　（3）3a－2b－2 = ．
9a2
m
2a
7. 幂的运算法则
（1）同底数幂相乘：am an= （m，n为正整数）．
（2）同底数幂相除：am÷an= （a≠0，m，n为正整
数，且m＞n）．
（3）幂的乘方： n= （m，n为正整数）．
（4）积的乘方： n= （n为正整数）
am＋n
am－n
amn
anbn
例7. 计算：
　　（1）a2 a5= ；
　　（2）a8÷a2= ；
　　（3）4= ；
　　（4）3= ．
a7　
a6　
y16　
－27y3
（1）单项式与单项式相乘，把它们的 、
分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
（2）单项式与多项式相乘，就是根据 用单项式去乘多
项式的每一项，再把所得的积相加．
（3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多
项式的每一项，再把所得的积相加．
（4）整式的乘法公式
①平方差公式：（a＋b）（a－b）= ；
②完全平方公式：（a±b）2=
系数　
相同字母的
幂　
分配律　
a2－b2　
a2±2ab＋b2　
8. 整式的乘法
例8. 计算：
　　（1）2x （－3xy）= ；
　　（2）2a （a2－3b）= ；
　　（3）（a－1）（a＋2）= ；
　　（4）（3a＋2）（3a－2）= ；
　　（5）（2m－3）2= ；
　　（6）（2m＋3）2= ．
－6x2y
2a3－6ab
a2＋a－2
9a2－4　
4m2－12m＋9　
4m2＋12m＋9　
9. 整式的除法
（1）单项式相除，把 、 分别相除后，作为
商的因式；对于只在 里含有的字母，则连同它的指数
作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项
式，再把所得的商相加
系数　
同底数幂　
被除式　
例9. 计算：
　　（1）2a7÷a3= ；
　　（2）（6ab＋8b）÷2b= ．
2a4
3a＋4
10. 因式分解
把一个多项式化成几个 的积的形式，这种变形叫做因式
分解
整式
例10. 下列从等号左边到右边的变形，是因式分解的是 （　D　）
A． 12a2b=3a 4ab
B． （x＋3）（x－3）=x2－9
C． 4x2＋8x－1=4x（x＋2）－1
D． x2＋3x－4=（x－1）（x＋4）
D
11. 因式分解的方法
（1）提公因式法：ma＋mb＋mc=m（a＋b＋c）．
（2）公式法：
①平方差公式：a2－b2= ；
②完全平方公式：a2±2ab＋b2=
（a＋b）（a－b）
（a±b）2
例11. 下列因式分解正确的是 （　A　）
A． 2x2＋4xy=2x（x＋2y）
B． 4a2－4ab＋b2=2（a－b）2
C． x3－x=x（x2－1）
D． 3x2－5xy＋x=x（3x－5y）
A
重点突破
【考点突破】整式的混合运算——化简求值 得分点分析
1. （2020 广东）先化简，再求值：（x＋y）2＋（x＋y）（x－
y）－2x2，其中x= ，y= ．
解：原式=x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x24分（用完全平方公式、平
方差公式去括号各得2分）
=2xy．5分（合并同类项得1分）
当x= ，y= 时，
原式=2× × =2 ． 7分（代入数值得1分，计算结果得1分）
温馨提示：此类考题一般见于广东省中考数学试卷的第17题，分
值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全
对，评卷老师是分步给分的哦!
【易错点突破】不熟悉整式的乘法公式和去括号法则
2. 某同学化简（x＋2y）2－（2x＋y）（2x－y）解答过程如
下：
解：原式=x2＋2xy＋4y2－（4x2－y2） （第一步）
=x2＋2xy＋4y2－4x2－y2（第二步）
=－3x2＋2xy＋3y2.（第三步）
（1）该同学解答过程从第几步开始出错？错误原因是什么？
解：（1）从第一步开始出错，错误原因是完全平方公式用错．
（2）第二步去括号的依据是什么？
解：（2）第二步去括号的依据是乘法分配律．
（3）请帮他写出此题正确的解答过如下．
解：（3）正确的解答过程为：
原式=x2＋4xy＋4y2－（4x2－y2）
=x2＋4xy＋4y2－4x2＋y2
=－3x2＋4xy＋5y2.
3. （中考创新，原创题）已知a，b，c均为正数，且a＋b=8，c
－a=3.
考点种子：基本概念
（1）分解因式：4（a－b）2－（a＋b）2=
；
（a－3b）（3a－
b）
【生长式突破】知识生长→综合创新
考点生长：化简求值
（2）先化简，再求值：（a＋c）（a－c）＋c（c＋2）－（a
＋1）2；
解：原式=a2－c2＋c2＋2c－（a2＋2a＋1）
=a2－c2＋c2＋2c－a2－2a－1
=2c－2a－1.
当c－a=3时，
原式=2（c－a）－1=2×3－1=5.
考点成树：综合创新
（3）若a，b，c是△ABC的三边，且满足a2－b2－ac＋bc=0，
试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等腰三角形．
理由：∵a2－b2－ac＋bc=0，
∴（a2－b2）－（ac－bc）=0.
∴（a＋b）（a－b）－c（a－b）=0.
∴（a－b）（a＋b－c）=0.
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a＋b＞c，即a＋b－c＞0.
∴a－b=0，即a=b．
∴△ABC是等腰三角形．
中考演练
1. （2024 广东题5）下列计算正确的是（　D　）
A． a2 a5=a10 B． a8÷a2=a4
C． －2a＋5a=7a D． （a2）5=a10
2. （2025 广东题11）因式分解：a2b＋ab2= ．
3. （2023 广东题11）因式分解：x2－1=
．
4. （2020 广东题12）如果单项式3xmy与－5x3yn是同类项，那么
m＋n= ．
D
ab（a＋b）
（x＋1）（x－
1）
4
1. （2025 湖北）下列运算的结果为m6的是（　C　）
A． m3＋m3 B． m2 m3
C． （m2）3 D． m4÷m2
2. （2025 吉林）计算（2a2）3的结果为（　D　）
A． 2a5 B． 2a6 C． 8a5 D． 8a6
3. （2025 深圳）下列计算正确的是（　B　）
A． a2＋a4=a6 B． a3 a3=a6
C． （a2）3=a5 D． （a＋b）2=a2＋b2
C
D
B
4. （2025 烟台）下列计算正确的是（　B　）
A． 2x2＋x3=3x5 B． 2x2 x3=2x5
C． 2x3÷（－x2）=2x D． （2x2）3=2x6
5. （2025 广西）因式分解：a2－1=（　A　）
A． （a＋1）（a－1） B． a（a＋1）
C． （a＋1）2 D． （a－1）2
6. （2025 南充）计算：a（a－3）－a2= ．
7. （2025 烟台）因式分解：2x2－12xy＋18y2=
．
B
A
－3a
2（x－3y）
2
8. （2025 内江）已知实数a，b满足a＋b=2，则a2－b2＋
4b= ．
9. （2025 长春）先化简，再求值：（1＋x）2－2x，其中
x= ．
解：原式=1＋2x＋x2－2x
=x2＋1.
当x= 时，原式=（ ）2＋1=4.
4
10. （2025 湖南）先化简，再求值：（x＋2）（x－2）＋x（1－
x），其中x=6.
解：原式=x2－4＋x－x2
=x－4.
当x=6时，原式=6－4=2.
命题预测
（中考创新题）定义：a，b，c为正整数，若c2=a2＋b2，则称c
为“完美勾股数”，a和b为c的“伴侣勾股数”．如132=52＋
122，则13是“完美勾股数”，5和12是13的“伴侣勾股数”．
（1）判断填空：数17 “完美勾股数”；（填“是”或
“不是”）
是
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2－6a－8b－
10c＋50=0. 求证：c是“完美勾股数”．
（2）证明：∵a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50=0，
整理，得a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25=0.
∴（a－3）2＋（b－4）2＋（c－5）2=0.
∴a=3，b=4，c=5.
∵52=32＋42，
∴c是“完美勾股数”．
命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预
测2026年广东中考命题方向可能注重整式基本概念的考查，加
强整式混合运算与函数（或几何）的综合应用；强调创新思
维，如设置改错类或生长类的创新题型；全面考查学生的算
法、算理，运算能力、推理能力和解决问题的能力，促进学生
数学思维的发展．
谢 谢 !

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