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18.4
整数指数幂(1)
一、温习旧知
问题 你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质？
正整数指数幂：
当 n 是正整数时，an = a·a·…·a
n个
正整数指数幂有以下运算性质：
(1) am·an＝ （m，n是正整数）
(2) (am)n＝ （m，n是正整数）
(3) (ab)n＝ （n是正整数）
(4) am÷an＝ （a≠0，m，n是正整数，m≥n）
(5) ( )n＝ （n是正整数）;
算一算
此外，还学过 0 指数幂，即 a0 = 1(a ≠ 0)
思考 你认为牛顿的这个设想合理吗？
也就是说，am中的m可以是负整数吗？如果合理，那么负整数指数幂 am 表示什么？
数学设想 1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa,aaa,aaaa,…写成a2,a3,a4，…,所以我将 ,…写成a-1,a-2,a-3,….”
问题1 观察下列算式，有什么发现？
a ÷a =
a ÷a =
a ÷a =
a ÷a =
a ÷a =
……
a3÷a3+n=
二、探索新知
a
a1
a0
问题2 如何计算 a3 ÷a5 ？
(1)分式的约分
(2)同底数幂的运算法则
am÷an=am-n(a≠0，m，n是正整数，m>n)
于是得到：
a3÷a5=a3-5=a-2
②
①
思考：由①②的运算结果，可得到了什么结论？
为了使得同底数幂的除法法则应用更广泛，同时也可以更简便的表示分式，数学中规定：
一般地，当n是正整数时，
这就是说，a-n(a≠0)是an的 ．
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到 ．
倒数
全体整数
思考：an与a-n之间什么关系？
思考 引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质能否推广到m，n是任意整数的情形？
(1) am·an＝ （m，n是正整数）
(2) (am)n＝ （m，n是正整数）
(3) (ab)n＝ （n是正整数）
(4) am÷an＝ （a≠0，m，n是正整数，m≥n）
(5) ( )n＝ （n是正整数）;
(6) a0＝ (a≠0)
例如：
am·an = am+n
a3·a–5
a–3·a–5
a0·a–5
= a–2
= a3+(–5)
= a–8
= a(–3) +(–5)
= a–5
= a0 +(–5)
(1)当m，n为异号时，
(2)当m，n为同号时，
(3)当m，n含有0时，
am·an=am+n，这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用
类似地，用负整数指数幂或0指数幂对其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试.
归纳 即，整数指数幂有以下运算性质：
① am·an = am+n (m，n是整数)
② (am)n = amn (m，n是整数)
③ (ab)n = anbn (n是整数)
④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是整数)
⑤ (n是整数)
三、典例分析
计算的结果写成正整数指数幂的形式
我们知道除法可以转化为乘法进行计算，那么整数指数幂除法是否也可以转化为乘法计算？
(1) 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，
am ÷an=am-n
又am ·a-n=am+(-n)=am-n，因此am ÷an=am ·a-n
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法
(2) 特别地，
所以
即商的乘方可以转化为积的乘方
于是，整数指数幂的运算性质可以归结为：
(1) am·an = am+n (m，n是整数)
(2) (am)n = amn (m，n是整数)
(3) (ab)n = anbn (n是整数)
am·a-n
an·b-n

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