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18.4　整数指数幂
第十八章分式
人教版2024·八年级上册
第１课时　负 整 数 指 数 幂
1.同底数幂运算法则：
2.同底数幂除法法则：
3.幂的乘方：
4.积的乘方：
5.分式的乘方：
6.零指数幂运算
am·an ＝am+n (m,n都是正整数)
am÷an＝ am-n (a ≠ 0，m,n都是正整数，且m>n)
(am)n＝amn (m,n都是正整数)
(ab)n＝anbn (n是正整数)
我们在前面学习了与幂有关的运算性质，这些运算都有哪些
知识回顾
知识回顾
练一练
已知：am=3,an=5. 求：（1）am－n的值 (2)a3m－2n的值
解: (1) am－n= am ÷ an= 3 ÷5 = 0.6
导入新课
随着我们认识的数的范围不断扩大,数的运算也在不断推广 ．
有理数范围加法
非负有理数加法
非负整数加法
加法运算中数的推广
对于幂的运算,是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢
类似的推广
有什么数学意义？
表示3个a乘
下面,我们从追溯幂的符号的演变开始
新知探究
3 世纪
丢番图
Δγ，Kγ， ΔγΔ
Aq，Acu，Aqq
韦达(Vietè)
16 世纪
17 世纪
哈里奥特(Harriot)
aa，aaa，aaaa
a2，a3，a4
笛卡尔
1637年
an
探究点1
负整数指数幂
议一议
从幂的符号的演变过程中发现幂的表示（an）有什么优点？
新知探究
探究点1
负整数指数幂
议一议
你认为牛顿的这个设想合理吗
新知探究
探究点1
负整数指数幂
做一做
请用分式约分方法计算下列各题，结果有什么特征？
（2）p3 ÷ p5
（3）am÷an（ m＜n ）
新知探究
探究点1
负整数指数幂
做一做
请用同底数幂除法法则方法计算下列各题，结果有什么特征？你有什么发现？
（2）p3 ÷ p5
（3）am÷an（ m＜n ）
（1）53÷55＝53－5＝5－2
（2）p3÷p5＝p3－5＝p－2
（3） am÷an ＝am－n＝a－(n-m)
幂的指数是负整数
同一个算式，结果有两种形式
新知探究
探究点1
负整数指数幂
议一议
在am÷an中，当m＝n时，产生0次幂，那么当m＜n时，会出现怎样的情况呢？
负整数指数幂可以转化为正指数幂的倒数
新知探究
探究点1
负整数指数幂
议一议
为使同底数幂的除法运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
a－n（a≠0）是an的倒数.
一个非零数的负整数指数幂等于这个数正指数幂的倒数
注意：规定负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数
新知探究
探究点1
负整数指数幂
议一议
你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意思吗？
对于am，设a≠0
m＞0
m=0
m＜0
如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0.
典例分析
探究点1
负整数指数幂
27
负整数指数幂可以转化为正指数幂的倒数
新知探究
探究点2
整数指数幂及其计算
议一议
引入负整数指数和0指数后，am·an＝am＋n（m，n都是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？
am·an＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.
= a–2
= a3+(–5)
= a–8
= a(–3) +(–5)
= a–5
= a0 +(–5)
例如：
am·an = am+n
(1)当m，n分别为正整数和负整数时，
(2)当m，n均为负整数时，
(3)当m，n分别为零和负整数时，
新知探究
探究点2
整数指数幂及其计算
议一议
正整数指数幂的其他四个运算性质也都限定了指数的范围为正整数,现在我们希望把指数的范围扩大到全体整数,原来适用于正整数指数幂的其他运算性质,是否适用于全体整数指数幂 大家试着验证看看!
归纳:
(am)n = amn 这条性质,对于 m ，n 是任意整数的情形仍 适用 ．
归纳:
(ab)n = anbn这条性质,对于 n 是任意整数的情形仍 适用．
验证幂的乘方
验证积的乘方
新知探究
探究点2
整数指数幂及其计算
议一议
归纳:
am÷an = am–n这条性质,对于 m ，n 是任意整数的情形仍适用 ．
正整数指数幂的其他四个运算性质也都限定了指数的范围为正整数,现在我们希望把指数的范围扩大到全体整数,原来适用于正整数指数幂的其他运算性质,是否适用于全体整数指数幂 大家试着验证看看!
验证同底数幂的除法
验证分式的乘方
新知探究
探究点2
整数指数幂及其计算
归一归
指数的范围扩大到全体整数后,正整数指数幂的另外四个运算性质仍适用 ．
名称 式子表示
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
同底数幂的除法
分数的乘方
幂的零次方
① am·an = am+n (m，n是整数)
② (am)n = amn (m，n是整数)
③ (ab)n = anbn (n是整数)
④ am÷an = am–n (a ≠ 0，m，n是整数)
⑥当a ≠ 0时，a0=1
⑤ (n是整数)
典例分析
探究点2
整数指数幂及其计算
解：(1) a–2÷a5
= a–2 – 5
= a–7
（2）原式
（3）原式
= a–3b6
（4）原式
= a–2b2·a–6b6
= a–8b8
当m，n为整数时：
am÷an＝ am-n
am·a-n ＝am-n
转化为
新知探究
探究点2
整数指数幂及其计算
议一议
根据指数整数幂运算性质，同底数幂的除法与同底数幂的乘法能互相转化吗？
am÷an ＝ am a-n
除号转化为乘号
除数的指数转化它的相反数
即同底数幂的除法：am÷an
同底数幂的乘法：am·a-n
新知探究
探究点2
整数指数幂及其计算
议一议
根据指数整数幂运算性质，商的乘方与积的乘方能互相转化吗？
可得
积的乘方：(a·b-1)n
转化为
新知探究
探究点2
整数指数幂及其计算
归一归
⑴ am·an = am+n (m，n是整数)
⑵ (am)n = amn (m，n是整数)
⑶ (ab)n = anbn (n是整数)
整数指数幂的前五个运算性质,实际上可以合并为三个
典例分析
统一为幂的乘法
分式乘方
典例分析
解：
新知巩固
1.填空：
（1）30 = ____，3–2 = ____；
（2）(– 3)0 = ____， (– 3)–2 = ____；
（3）b0 = ____，b–2 = ____ .
1
1
1
巩固练习
2. 计算：
(1) x2y–3·(x–1y)3；
(2) (2ab2c–3)÷(a–2b)3.
解：(1)原式 = x2y–3·x–3y3
= x–1y0
(2)原式 = (2ab2c–3)·(a–2b)–3
= 2ab2c–3·a6b–3
= 2a7b–1c–3
整数指数幂
规定：
一般地，当n是正整数时，
a – n=
(a≠0).
这就是说，a – n是an的倒数.
(1) am·an=am+n
(2) (am)n=amn
(3) (ab) n =a n b n
(4) am÷an=am – n
（a≠0 ）
整数指数幂的运算性质(m，n是整数)
(6) a0=1
（a≠0）
课堂小结
课后练习
P162 习题18.4 第2、3题

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