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2025-2026学年上学期九年级第二次综合训练数学试卷
一．选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题只有一个选项符合题意.)
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.在下列事件中，必然事件是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180°
3.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
4.如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A．B．C． D．
6.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7.小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
8.如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A． B． C． D．a，b大小无法比较
10.已知点（-1，），（1，），（2，），（3，），（4，）均在函数y=+ax的图象上，若 <0，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.<< B.<< C.<< D.<<
第8题 第9题 第15题
二．填空题(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.)
11.若sinA= ，则锐角∠A=　 　°
12.圆锥的高是4cm，母线是5cm,则圆锥的侧面积是 .
13.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 .
14.一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算的n值是_____．
15.如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）
16.早在10世纪，阿拉伯著名数学家阿尔·库希（al-Kuhi）设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观测同一颗流星来测定其发射点的高度.如图，假设有两名观测者在A，B两地观察同一颗流星S（流星与地球中心O，A，B在同一个平面内），AC，BC均为当地地平线（与圆O相切），两人观测的仰角分别为，.若地球半径为R，，则=______.
三．解答题(本大题共 9 小题，共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.解方程：．
18.如图，在中，，分别是边上两点，交的延长线于点F，连接，．
求证：
19.绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
(1)求叶瓣①的周长；（结果保留）
(2)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
20.如图，在 中， .
（1）求作点D，使四边形 是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接 ，若 ，求 的长.
21.甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色(如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次)．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种．
A．猜“颜色相同”； B．猜“一定有黑色”； C．猜“没有黑色”．
请利用所学的概率知识回答下列问题：
(1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
(2)如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？
22. 如图，内接于，的延长线交于点，交于点，过点作交于点，连接，．
（1）若，求证：；
（2）求证：点到的距离等于的长．
23.综合与实践:【主题】音乐节最佳观赏座位
图1 图2 图3
"2025 莆田银河左岸音乐节"是莆田近年来最大音乐盛会。在音乐节现场，观众的观赏视角是影响体验的重要因素，观赏视角可看作观众座位与舞台两端所形成的角（称为观赏张角）。理论上当观赏张角越大时，观赏体验越好。
（1）【素材】如图 1，在舞台 AB前方有两个观众座位 C,D，那么∠ACB___________∠ADB．（用“>”、“”或“”填空）；
（2）【实践探索】假设直线分布着观众座位，在这些座位中寻找最佳观赏位置．如图2，以舞台线段AB为弦作，恰与直线相切，切点为C．若点D是上一个异于点C的动点，
求证：当座位是切点C处时，观赏张角最大，即∠ACB>∠ADB；
（3）【迁移应用】如图3，小红在购票时发现能购买到的票的座位所在列离舞台AB最近有4米，恰好这一列的票都还没卖出，小红准备买该列上的票，舞台AB长12米，相邻两排距离0.5米，第一排离舞台2米，则该列最佳观赏位置在第 排(直接写出答案).
试卷第1页，共3页
24.已知函数=-bx+b+2,=nx-2n (n<2),直线与抛物线的对称轴的交点在x轴上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若a≤x≤3时，的取值范围：p≤≤q，且p+q=8, 求a的值；
（3）若（t，）,（t,）分别是函数上的点，其中t>2,求证：->1.
25.已知A,B,C是⊙O上的点，AD⊥BC，垂足为D.
（1）如图1，当AD过O时， 求证：AB=AC；
（2）如图2，当AD不过O时，过C作CF⊥AO延长线于F，AD交OC于E，
①求证：∠DEC=∠BAC；
②若sin∠ABC=,AE=OA,求sin∠BAC.

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