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15.3.1 等腰三角形
第1课时
同学们，为什么我建的桥左摇右摆呢？
如果把一般三角形两条边变得相等，就像桥两侧的支撑要对称
1.能通过折叠探究等腰三角形的性质，并用全等证明“等边对等角”和“三线合一”.
2.能运用等腰三角形的性质进行简单的证明和计算.
任务一：识桥之形
底角
底角
定义： 的三角形是等腰三角形.
有两边相等
A
B
C
标出三个顶点A、B、C
确保AB=AC
任务二：折桥之秘
A
B
C
D
重合的线段 重合的角
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B与∠C
∠BAD与∠CAD
∠ADB与∠ADC
如图，将手中的等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，标出折痕与底边BC的交点D，找出其中重合的线段和角.
顶角的平分线
底边上的中线
底边上的高
在等腰三角形ABC中，
AD是什么特殊的线段？
任务三：证桥之理
A
B
C
1 证明等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
已知： 。
求证： 。
在△ABC中，AB=AC
∠B= ∠C
D
证明：如图，作底边BC的中线AD，则BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD ≌△ACD (SSS).
∴∠B= ∠C.
AB=AC ，
BD=CD ，
AD=AD ，
这样就证明了“等边对等角”.
中线
角平分线
高
总结
1
1 证明等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合
（简称“等边对等角”）
D
已知： 在△ABC中，AB=AC，AD是 。
求证：AD也是 和 。
底边上的中线
底边上的高
顶角平分线
通过上述证明，已经得到什么？
由全等三角形的性质易得∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA=90°，从而AD⊥BC.
△ABD≌△ACD
4人为一组互换任务单，并讨论以下问题：
①你做的辅助线是什么？
②证明思路和步骤和同伴一样吗？
③不同辅助线最终都能证明‘三线合一’吗？
A
B
C
中线
角平分线
高
总结
1
证明：（方法二）如图，作∠A的平分线交BC于点D，
则∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC ，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD (SAS).
∴BD=CD，∠BDA=∠CDA.
∴AD⊥BC.
这就证明了等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.
A
B
C
D
中线
角平分线
高
总结
1
A
B
C
D
证明：（方法三）如图，过点A作AD⊥BC于D，
则∠BDA=∠CDA=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL).
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD.
AB=AC ，
AD=AD，
这就证明了等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边.
即证明了等腰三角形“三线合一”
中线
角平分线
高
总结
1
等腰三角形的性质：
1. 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）
中线
角平分线
高
总结
1
任务四：悟桥之魂
从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，
等腰三角形是 图形，
对称轴是
所在的直线。
轴对称
底边上的中线
顶角的平分线
底边上的高
任务五：建桥之实
阿石在设计主桥墩与侧向支撑的连接结构时，画出了如图所示的构造：
在△ABC中，AB = AC（主桥墩两侧对称），
点D在AC上，BD = BC = AD（三根关键支撑梁长度相等）。
鲁班说：“此构造稳固，但需知各角大小，方能下料切割。”
请你帮阿石求出△ABC各角的度数，以便准备木材。
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD（等边对等角）.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，
有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.
所以，在△ABC中，∠A=36°∠ABC=∠C=72°.
练习2 如图，在△ABC中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，
求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC，
∴∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则∠DAC=x，
∠B=∠ADB= ∠C+∠DAC=2x，
在△ABD中，根据三角形内角和定理，得 2x+2x+26°=180°，
解得x=38.5°.
∴∠C= x=38.5°，∠B=2x=77°.
恭
喜
通
关
任务六：传匠之心
等腰三角形的性质
三线合一
等腰三角形的两个底角相等.
等边对等角
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.
等腰三角形是轴对称图形.
对称性
课后任务
1.课本p80练习题第3题
2.化身“几何侦察员”，在你的家中、社区或网络上，寻找至少两个等腰三角形在实际建筑或结构中应用的例子
希望同学们既能掌握数学知识这个“工具”，
更能拥有像数学家一样思考、像工匠一样钻研的“匠心”

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