资源简介

(共24张PPT)
16.3.2完全平方公式
2. 灵活应用完全平方公式进行计算.
1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.
3. 体验归纳添括号法则.
学习目标
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
(2) (m+2)2=( )( )= .
m2+4m+4
(3) (p–1)2=( )( )= .
p2–2p+1
(4) (m–2)2=( )( )= .
m2–4m+4
根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
问题1：
问题2：
m+2
m+2
p-1
p-1
m-2
m-2
分析问题，寻找对应
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
完全平方公式
完全平方公式
想一想
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗
分析问题，寻找对应
设大正方形ABCD的面积为S.
S=
(a+b)2
a2+b2+2ab
S1
S2
S3
S4
证明
A
D
C
B
=S1+S2+S3+S4= .
分析问题，寻找对应
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
几何解释
分析问题，寻找对应
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
差的完全平方公式：
几何解释
分析问题，寻找对应
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x –y)2 =x2 –y2
(3) (–x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x –y)2 =x2 –2xy +y2
(–x +y)2 =x2 –2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
想一想
针对练习
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
(2)
(a –b)2 = a2– 2ab + b2
y2
=y2
–y
+
解： =
+
–2 y
例题讲解
利用完全平方公式计算：
(1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2；
(3)(–3a＋b)2.
(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2.
(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
针对练习
(1) 1022；
= (100 –1)2
=10000–200+1
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
利用完全平方公式进行简便计算
例题讲解
利用乘法公式计算：
(1)982–101×99； (2)20252–2025×4048＋20242.
＝(2025–2024)2＝1.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)
＝1002–400＋4–1002＋1＝–395.
(2)原式＝20252–2×2025×2024＋20242
针对练习
例3 已知x–y＝6，xy＝–8.
求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36 –16＝20.
解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，
(x–y)2＝x2＋y2–2xy，
∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20 –16＝4.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
例题讲解
(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.
52
(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=________ .
18或–18
(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.
1
针对练习
a+(b+c) = a+b+c;
a– (b+c) = a – b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a – b – c = a – ( b + c ) .
去括号：
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).
添括号法则
添括号法则
例 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
解: (1)
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+
2bc+c2.
添括号法则的应用
例题讲解
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
＝1–4x2＋4xy–y2.
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2
＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c
＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc.
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)]
＝12–(2x–y)2
针对练习
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( )
A．(a–b)2 B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2 D．–(a–b)2
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(　　)
A．a2–4a+4 B．a2–2a+4
C．a2–4 D．a2–4a–4
A
D
对照练习
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=______________；(2)(4x–3y)2=_____________；
(3) (2m–1)2 =______________；(4)(–2m–1)2 =____________.
36a2+60ab+25b2
16x2–24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2–4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792=________．
25
对照练习
计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．
(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]
解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]
＝(3a)2–(b–2)2
＝9a2–b2＋4b–4.　
＝(x–y)2–(m–n)2
＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.
能力提升
1.若a+b=5，ab= –6， 求a2+b2，a2–ab+b2.
2.已知x+y=8，x–y=4，求xy.
解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；
a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.
解：∵x+y=8， ∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;
∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②;
由①–②得
4xy=48，
∴xy=12.
能力提升
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;
4ab=(a+b)2–(a–b)2.
课堂小结

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