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(共24张PPT)
北师大版 八年级下册
4.线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
学习目标
1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。
2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理证明意识和能力。
情境导入
A
B
P
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
点P是码头的位置
进行新课
我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：
请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。
求证：PA = PB。
A
B
C
M
N
P
知识点1
线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。
求证：PA = PB。
A
B
C
M
N
P
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB = 90°。
∵ AC = BC，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）。
∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）。
如果点P与点C重合，那么结论显然成立。
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
几何语言：
∵MN⊥AB于点C，且AC=BC，
∴PA=PB
线段垂直平分线的性质：
A
B
C
M
N
P
这一点是任意一点
练一练
如图，DE是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定成立的是（ ）
A.ED=CD B.AE=AC
C.AD=BD D.BD=AC
C
尝试·思考
知识点2
线段的垂直平分线的判定
你能写出这个定理的逆命题吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
逆命题
它是真命题吗？
已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PA = PB。
求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上。
A
B
P
考虑点P是否在线段AB上。
证明：∵ PA=PB，
∴ 点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上。
①当点P在线段AB上时：
A
B
P
②当点P在线段AB外时：
证法一：
过点P 作PC⊥AB，垂足为C。
∵PA = PB， PC = PC，
∴Rt△PAC ≌Rt△PBC(HL)。
∴AC = BC，
即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
C
A
B
P
证法二：
取AB的中点C，连接PC。
∵ AP=BP，PC=PC，AC=BC，
∴ △APC≌△BPC(SSS)。
∴ ∠PCA=∠PCB。
又∵ ∠PCA+∠PCB=180°，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。
C
②当点P在线段AB外时：
A
B
P
证法三：
过点P作∠APB的角平分线，交AB于点C。
∵ AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
∴ △APC≌△BPC(SAS)。
∴ AC=BC，∠PCA=∠PCB。
又∵ ∠PCA+∠PCB=180°，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。
C
②当点P在线段AB外时：
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言：
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上
线段的垂直平分线的判定：
A
B
P
归纳总结：
线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点(无穷个点）的集合。
线段是一个轴对称图形，垂直平分线是它的一条对称轴。
归纳总结：
到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找出这样满足条件的两个点即可作出线段的垂直平分线。
例1 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC。
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC。
A
B
C
O
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）。
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上。
还有其他证法吗？
证明：设直线 AO 交 BC 于点 D，
∵ AB = AC，AO = AO，OB = OC ，
∴ △ABO ≌ △ACO (SSS)。
∴ ∠BAO = ∠CAO，
又∵ AB = AC，
∴ AO ⊥ BC。
∵ OB = OC ，OD = OD ，
∴ Rt△DBO ≌ Rt△DCO (HL)。
∴ BD = CD。
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC。
①该直线有两点到线段两端点距离相等。
②该直线垂直且平分线段。
证明直线垂直平分线段
A
B
C
O
D
练一练
如图，AC=AD，BC=BD，则下列结论：①AB垂直平分CD；②CD平分∠ACB；③BA平分∠CBD；④∠ACD=∠ADC；⑤CD垂直平分AB。其中正确的是__________。（填序号）
①③④
随堂练习
1. 如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，分别交BC，AC于D，E两点，∠B =80°，∠C=35°，则∠BAD的度数为（ ）
A.25° B.30° C.35° D.65°
B
2. 如图，AD⊥BE，BD=DE，点E在线段AC的垂直平分线上。若AB=6cm，BD=3cm，则DC的长为_______cm。
9
【教材P34 随堂练习 第1题】
3.还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗？试用本节所学的定理解释其中的道理。
证明：∵AB是线段CD的垂直平分线，
∴EC=ED，FC=FD。
在△ECF和△EDF中，
EC=ED，EF=EF，FC=FD，
∴△ECF≌△EDF(SSS)。
∴∠ECF=∠EDF。
【教材P34 随堂练习 第2题】
4.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点。
求证：∠ECF=∠EDF。
课堂小结
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
性质定理
判定定理
A
B
C
M
N
P
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共18张PPT)
北师大版 八年级下册
第2课时 三角形三边的垂直平分线
学习目标
1.通过观察、发现、作图等活动，能用尺规作出等腰三角形和过一点作已知直线的垂线。
2.通过操作、发现、证明等探究过程，掌握三角形三边垂直平分线的性质证明。
情境导入
C
N
M
B
A
前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形。
a
c
那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗？
进行新课
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？
知识点1
与线段垂直平分线有关的尺规作图
A1
D
C
B
A
a
h
( )
D
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
尝试·交流
（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？
如图，已知线段 a，h，用尺规作△ABC，使 AB = AC， BC = a，高 AD = h。
a
h
如图，已知线段 a，h，用尺规作△ABC，使 AB = AC， BC = a，高 AD = h。
a
h
1.作线段BC，使BC=a。
2.作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D。
3.在l上截取DA=h。
4.连接AB，AC。
△ABC就是所要作的等腰三角形。
B
C
l
D
A
尝试·思考
还记得用尺规过直线l上一点P作l的垂线的方法吗？
A
B
m
P
l
作直线的垂线
作线段的垂直平分线
转化
如果点P在直线l外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？
如图，已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P。
P
l
Q
A
B
m
1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁。
2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B。
3.作线段AB的垂直平分线m。
直线m就是所要作的直线。
为什么直线m经过点P？
知识点2
三角形三边的垂直平分线
思考1：我们可以通过哪些方法得到三角形三条边的垂直平分线呢？
折叠或尺规作图
思考2：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？
P
三角形三条边的垂直平分线交于一点
怎样证明这个结论呢？
例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P，垂足分别为D，E。
求证：边AC的垂直平分线经过点P。
P
A
B
C
D
E
要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件？
已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论？
分析：
证明：如图，连接PA，PB，PC。
∵点 P 在边 AB 的垂直平分线上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）。
同理，PB = PC。
∴ PA = PB = PC。
∴ 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
即 边 AC 的垂直平分线经过点 P。
P
A
B
C
D
E
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置。
锐角三角形的交点在三角形内部
直角三角形的交点是斜边中点
钝角三角形的交点在三角形外部
随堂练习
1.通过如下尺规作图，能确定D是BC边的中点的是（ ）
A
2.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是（ ）
A.PB>PC B.PB=PC
C.PBB
【教材P37 随堂练习 第1题】
3.如图，已知△ABC，完成下列尺规作图：
（1）作AC边上的高；
（2）作BC边上的高。
A
B
C
E
F
4. 如图，P为△ABC三边的垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数。
解：∵P为△ABC三边的垂直平分线的交点，
∴PA=PB=PC。
∴∠PCA=∠PAC=20°，∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB=∠PBA。
∴∠PAB= ×(180°－2×20°－2×30°)=40°。
课堂小结
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
P
三角形三边的垂直平分线：
B
C
l
D
A
P
l
Q
A
B
m
尺规作图：
作等腰三角形
过直线外一点作已知直线的垂线
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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