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(共21张PPT)
北师大版 八年级下册
第2课时 三角形内角的平分线
学习目标
1.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”。
2.会运用三角形内角的平分线的性质和判定解决问题。
复习回顾
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
O
A
B
P
D
E
O
A
B
P
D
E
进行新课
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB = AC + CD。
E
D
A
B
C
∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）。
∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°。
∴∠BDE=90°– 45°= 45°。
∴BE = DE（等角对等边）。
在等腰直角三角形 BDE 中，
cm（勾股定理）。
∴AC = BC = CD + BD = cm.
（1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE = CD = 4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（2）求证：AB = AC + CD。
E
D
A
B
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。
∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）。
∵BE = DE = CD，
∴AB = AE + BE = AC + CD。
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于三角形内的一点。
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
发现：交点到三条边的距离相等。
你能证明这个结论吗？
例3 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P。
求证：∠A的平分线经过点P。
A
B
C
P
M
N
证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F。
∵BM是△ABC的角平分线，
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
同理，PE=PF。
∴PD=PE=PF。
∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即 ∠A的平分线经过点P。
A
B
C
P
M
N
E
F
D
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC
AB·OE
BC·OD
AC·OF
= (AB+BC+AC)·OD
练一练
1. 如图，已知△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是_______。
E
F
30
OE
OD
OF
相等
练一练
2. 如图，在△ABC中，∠B=100°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠ADC的度数是（ ）
A.130° B.140° C.150° D.160°
B
∠BAC+∠BCA=180°－∠B=80°
∠DAC+∠DCA= (∠BAC+∠BCA)
=40°
∠ADC=180°－(∠DAC+∠DCA)
=140°
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
随堂练习
1. 如图，O是△ABC三条角平分线的交点。若△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，则S△ABO ：S△BCO ：S△CAO =_________。
4 : 5 : 6
2.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ）
A.△ABC三条中线的交点
B.△ABC三边的垂直平分线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
C
【教材P43 随堂练习 第1题】
3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N。
求证：FE=FD。
G
证明：如图，过点F作FG⊥AC于点G。
∵AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，且FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM=FG=FN=FG。
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°。
∴∠DAC=15°，∠ECB=45°。
在△ADC中，∠ADC=180°-∠DAC-∠ACD=75°。
在△BCE中，∠BEC=180°-∠B-∠ECB=75°。
∴∠BEC=∠ADC，∴∠FEM=∠FDN。
在△FEM和△FDN中，
∠FEM=∠FDN，∠EMF=∠DNF=90°，FM=FN，
∴△FEM≌△FDN（AAS）。∴FE=FD。
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，且BD=DF。
（1）求证：CF=EB；（2）若CD=4，DB=5，求AF的长。
（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，△CDF和△EDB是直角三角形。
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
DF=DB，CD=ED，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）。
∴CF=EB。
（2）解：由（1）可知DE=DC=4，
∴CF=EB= =3，BC=CD+BD=9。
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
AD=AD，DC=DE，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）。
∴AC=AE。
设AF为x，则AC=AF+CF=x+3，AB=AE+BE=x+3+3。
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，
即(x+3)2+92=(x+3+3)2，解得x=9，
∴AF=9。
课堂小结
A
B
C
P
M
N
E
F
D
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共22张PPT)
北师大版 八年级下册
5.角平分线
第1课时 角平分线的性质与判定
学习目标
1. 探索证明角平分线的性质和判定定理。
2.能运用角平分线性质和其判定解决实际问题。
3.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力。
情境导入
动手折一折：
①在∠AOB的角平分线上任取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E。
②将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？
③改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗？
O
E
C
B
A
D
进行新课
知识点1
角平分线的性质
O
E
C
B
A
D
通过刚刚的折纸活动，你能得出什么结论？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
你能证明这个结论吗？
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。
求证：PD = PE。
O
A
B
C
1
2
P
D
E
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°。
∵ ∠1 =∠2，OP = OP，
∴△PDO ≌△PEO（AAS）。
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的性质：
应用所具备的条件：
①角的平分线；
②点在该平分线上；
③垂直距离。
定理的作用：证明线段相等
O
A
B
P
D
E
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言：
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为E，F，
∴PE=PF
角平分线的性质：
O
A
B
P
D
E
练一练
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB。若AC=2，DE=1，则S△ACD=______。
1
F
DF=DE=1
S△ACD= AC·DF= ×2×1=1
尝试·思考
知识点2
角平分线的判定
你能写出这个定理的逆命题吗？
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
逆命题：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
逆命题
它是真命题吗？
角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点。
假命题
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
如何证明？
已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E ，且 PD = PE。
求证：OP 平分∠AOB。
O
A
B
1
2
P
D
E
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°。
∵ PD=PE，OP = OP，
∴Rt△DOP ≌Rt△EOP（HL）。
∴ ∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）。
∴OP平分∠AOB。
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
角平分线的判定：
应用所具备的条件：
①位置关系：点在角的内部；
②数量关系：该点到角的两边距离相等。
定理的作用：判断点是否在角平分线上
O
A
B
P
D
E
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
角平分线的判定：
O
A
B
P
D
E
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE
∴点P在∠AOB的平分线上
例1 如图，在△ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在边 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长。
A
B
C
D
E
F
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，
∴AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)。
又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°。
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。
练一练
如图，BD=CE，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD交于点F。求证：点F在∠A的平分线上。
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠FDB=∠FEC=90°。
又∵∠BFD=∠CFE，BD=CE，
∴△BDF≌CEF（AAS）。
∴FD=FE。
又∵FE⊥AC，FD⊥AB，
∴点F在∠A的平分线上。
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
归纳：
O
A
B
P
D
E
O
A
B
P
D
E
1. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E。若CD=2，CE=1，则点D到AB的距离为（ ）
A. B. C. 2 D.
随堂练习
B
2. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若OC=OD，则∠AOQ的度数为_______。
35°
【教材P41 随堂练习 第1题】
3.如图，某工地在A区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉处500m，请你在图中标出它的位置（比例尺为1 : 20000）。
O
4. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC的中点，且AE平分∠BAD。求证：
（1）DE平分∠ADC；
F
证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于点F。
∵AE平分∠BAD，∠B=90°，
∴BE=FE。
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，∴CE=FE。
又∠C=90°，EF⊥AD，
∴DE平分∠ADC。
4. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC的中点，且AE平分∠BAD。求证：
（2）AB+CD=AD。
证明：（2）由（1）知BE=FE=CE。
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
AE=AE，BE=FE，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）。
∴AB=AF。
同理可得DF=CD。
∴AB+CD=AF+DF=AD。
F
课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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