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(共29张PPT)
北师大版 八年级下册
章末复习
知识框架
三角形的证明及其应用
三角形内角和定理
三角形的内角和、全等三角形
三角形的外角
多边形的内角和、外角和
等腰
三角形
等腰三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定
反证法
含30°角的直角三角形的性质
知识框架
直角三角形的性质与判定
直角三角形全等的判定
线段垂直平分线的性质与判定
三角形三边的垂直平分线
角平分线的性质与判定
三角形内角的平分线
直角
三角形
线段的垂直平分线
角平分线
三角形的证明及其应用
知识梳理
考点1
三角形内角和定理及其推论
三角形三个内角的和等于180°。
1.三角形内角和定理
A
C
B
D
2.三角形内角和定理的推论
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
练一练
1.如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD // BE。若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠C的度数为（ ）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 95°
B
2.如图，在△ABC中，∠C=36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是_______。
72°
考点2
多边形的内角和与外角和
n边形的内角和等于(n-2)·180°。
正多边形每个内角的度数：
1.多边形的内角和与外角和
2.正多边形
多边形的外角和等于360°。
正多边形每个外角的度数：
练一练
3.把等边三角形、正方形、正五边形如图摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是_________。
102°
考点3
全等三角形
性质
全等三角形
全等三角形的对应边相等、对应角相等
判定条件
边边边(SSS)
角边角(ASA)
角角边(AAS)
边角边(SAS)
4.如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACF，AC=CF，AB=4，EF=5，则BE=______。
练一练
9
考点4
等腰三角形
等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
1.等腰三角形的性质
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（三线合一）
2.等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
A
B
C
D
3.等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
A
B
C
4.等边三角形的判定
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
5.含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
B
C
30°
6.反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。
练一练
5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC的延长线上，点E在边AC上，且DE=BE=AE，延长DE交边AB于点F。
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。
∵BE=DE，∴∠CBE=∠D。
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，∠ACB=∠D+∠CED，
∴∠ABE=∠CED。
∵AE=BE，∴∠A=∠ABE。
又∵∠AEF=∠CED，∴∠A=∠AEF。
∴AF=EF。∴△AEF是等腰三角形。
练一练
5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC的延长线上，点E在边AC上，且DE=BE=AE，延长DE交边AB于点F。
（2）若BE=BF，求∠A的度数。
(2)解：设∠A=x°，则∠ABE=∠AEF=x°。
∴∠BFE=∠A+∠AEF=(2x)°。
∵BE=BF，∴∠BEF=∠BFE=(2x)°。
在△BEF中，∠BFE+∠BEF+∠EBF=180°，
∴2x+2x+x=180，即 5x=180，
∴x=36。
∴∠A=36°。
考点5
直角三角形
1.直角三角形的性质与判定
几何语言：
在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形
直角三角形的性质
直角三角形的判定
如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°
2.勾股定理的逆定理
3.逆命题、逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。
如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
3.直角三角形全等判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∵∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。
A
C
B
A'
C'
B'
练一练
6.如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC，EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，BE=DF。求证：CE=CF。
证明：如图，连接BD。
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB。
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC。∴BC=DC。
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∵BC=DC，BE=DF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)。
∴CE=CF。
考点6
线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
A
B
P
2.线段垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3.三角形三边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
P
练一练
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交BC于点E，交AC于点F，且BD=DE。若△ABC的周长为13，AC=5，则CD=_______。
4
考点7
角平分线
1.角平分线的性质与判定
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
O
A
B
P
D
E
O
A
B
P
D
E
2.三角形内角的平分线
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
8.如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.
练一练
D
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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