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(共20张PPT)
北师大版 八年级下册
☆ 问题解决策略：反思
进行新课
问题 证明：等腰三角形两腰上的中线相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是边AC，AB上的中线。
求证：BD=CE。
A
E
B
C
D
理解问题
A
E
B
C
D
已知条件是什么？目标是什么？将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是边AC，AB上的中线。
求证：BD=CE。
拟定计划
（1）证明两条线段相等有哪些常用的方法？
A
E
B
C
D
（2）以BD为边的三角形有哪些？以CE为边的三角形呢？其中哪些三角形有可能全等？
①全等三角形对应边相等
②等腰三角形两腰相等
③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
④角平分线上的点到角两边距离相等
△ABD≌△ACE
△CBD≌△BCE
（3）找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？
A
E
B
C
D
①△ABD≌△ACE
已知：一边：AB=AC
一角：∠A=∠A
需证：这个角的另一边：AD=AE（SAS）
或另外任意一对角：∠ABD=∠ACE（ASA）
∠ADB=∠AEC（AAS）
√
（3）找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？
A
E
B
C
D
②△CBD≌△BCE
已知：公共边：CB=BC
需证：∠BCD=∠CBE ，CD=BE（SAS）
或任意两对角（AAS或ASA）
（4）整理你的思路，并与同伴进行交流。
√
实施计划
按照下述思路写出证明过程，并说明每一步的理由。（1）通过△ABD≌△ACE，证明 BD=CE。
A
E
B
C
D
证明：∵BD和CE分别是边AC，AB上的中线，
∴AD= AC，AE= AB。
又∵AB=AC，∴AD=AE。
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
∴BD=CE。
A
E
B
C
D
（2）通过△CBD≌△BCE，证明 BD=CE。
证明：∵BD和CE分别是边AC，AB上的中线，
∴CD= AC，BE= AB。
又∵AB=AC，∴CD=BE。
∵AB=AC，∴∠CBE=∠BCD。
在△CBD和△BCE中，
∵CB=BC，∠BCD=∠CBE，CD=BE，
∴△CBD≌△BCE（SAS）。
∴BD=CE。
回顾反思
①△ABD≌△ACE
已知：AB=AC，∠A=∠A
需证：AD=AE
②△CBD≌△BCE
已知：CB=BC
需证：∠BCD=∠CBE ，CD=BE
（1）比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是边AC，AB上的中线。
求证：BD=CE。
A
E
B
C
D
（4）本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
（2）根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。
（3）适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？
（4）本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
（5）你认为还可以研究哪些问题？与同伴进行交流。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是边AC，AB上的中线。
求证：BD=CE。
A
E
B
C
D
已知：如图，在△ABC中，BD和CE分别是边AC，AB上的中线，BD=CE。
求证：AB=AC。
A
E
B
C
D
M
N
证明：过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N。
∵BD和CE分别是边AC，AB上的中线，
∴S△CBE= S△ABC，S△BCD= S△ABC。
∴S△CBE=S△BCD 。
又∵S△CBE= EM·BC，S△BCD= DN·BC，
∴EM=DN。
A
E
B
C
D
在Rt△EMC和Rt△DNB中，
∵EC=DB，EM=DN，
∴Rt△EMC≌Rt△DNB（HL）。
∴∠ECB=∠DBC。
在△ECB和△DBC中，
∵EC=DB，∠ECB=∠DBC，CB=BC，
∴△ECB≌△DBC（SAS）。
∴∠EBC=∠DCB。
∴AB=AC。
M
N
解决问题之后，还可以继续进行思考与尝试：
①条件不变，尝试寻找更多可能成立的结论；
②适当改变条件（如将条件变成更一般的条件或类似的条件），探究结论是否仍然成立；
③研究是否可以将一些条件和结论互换。
请你解答下列问题。
1.（1）证明：全等三角形对应边上的中线相等；
A
B
C
D
E
F
G
H
已知：如图，△ABC≌△EFG，AD为△ABC边BC上的中线，EH为△EFG边FG上的中线。
证明：AD=EH。
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：∵△ABC≌△EFG，
∴AB=EF，BC=FG，∠B=∠F。
∵AD为△ABC边BC上的中线，EH为△EFG边FG上的中线，
∴BD= BC，FH= FG。∴BD=FH。
在△ABD和△EFH中，
∵AB=EF，∠B=∠F，BD=FH，
∴△ABD≌△EFH（SAS）。∴AD=EH。
（2）参考上述命题提出几个新的命题，说明它们与原来命题的联系和区别。
请你解答下列问题。
2.（1）将0~9这10个数字填写到图中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大；
0
9
1
8
2
7
3
6
4
5
（2）参考上述命题提出几个新的命题，说明它们与原来命题的联系和区别。
随堂练习
证明：等腰三角形两腰上的高相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D。
求证：CE=BD。(请用两种不同的证明三角形全等的方法解答)
方法1：证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
在△ACE和△ABD中，
∵∠AEC=∠ADB，∠A=∠A，AC=AB，
∴△ACE≌△ABD（AAS）。
∴CE=BD。
方法2：证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠CDB=90°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
在△BCE和△CBD中，
∵∠BEC=∠CDB，∠EBC=∠DCB，BC=CB，
∴△BCE≌△CBD（AAS）。
∴CE=BD。
证明：等腰三角形两腰上的高相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D。
求证：CE=BD。(请用两种不同的证明三角形全等的方法解答)
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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