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(共24张PPT)
北师大版 八年级下册
第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
学习目标
1. 探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。
2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。
复习回顾
满足什么条件的三角形是等腰三角形？
从边看：有两边相等的三角形是等腰三角形
从角看：有两个角相等的三角形是等腰三角形
满足什么条件的三角形是等边三角形？
三边都相等的三角形是等边三角形
还有其他的判定方法吗？
进行新课
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
请证明自己的结论，并与同伴进行交流。
知识点1
等边三角形的判定
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
A
B
C
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠A=∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C=60°。
∵∠B =∠A = 60° ，
∴AC = BC（等角对等边）。
∵∠B =∠C = 60°，
∴AC = AB ，
∴AC = AB = BC ，
∴△ABC 是等边三角形。
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
A
B
C
证明： ①若 AB =AC，∠A =60°，
则∠B = ∠C = (180°– ∠A)÷2=60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC 是等边三角形。
60°
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
A
B
C
60°
证明： ②若AB＝AC，∠B= 60°，
∴∠C=∠B=60°。
则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC 是等边三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定
证明等边三角形的思路：
三角形
等边
三角形
等腰三角形
有一个角等于60°
等腰三角形的判定
思路1：三边相等
思路2：三角相等
练一练
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE // DA。若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是_________________________。
∠BCE=60°
(或∠BEC=∠BCE等，答案不唯一)
尝试·思考
知识点2
含30°角的直角三角形的性质
（1）用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？
（2）在上述拼接过程中，你发现了什么结论？
发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。
如何证明这个结论？
A
B
C
发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。
求证：BC = AB。
D
A
B
C
证明：如图，延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD。
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD = 90°。
∵AC = AC，
∴△ABC ≌ △ADC（SAS）。
∴AB = AD(全等三角形的对应边相等)。
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。
求证：BC = AB。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)。
∵∠BAC = 30°，∠ACB=90°，
∴∠B= 180°－30°－90°=60°。
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。
求证：BC = AB。
∴△ABD 是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)。
∴BC = BD = AB。
D
A
B
C
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：
A
B
C
30°
含30°角的直角三角形的性质：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴BC= AB
例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半。
B
A
D
C
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°，CD 是腰 AB 上的高。
求证：CD = AB。
B
A
D
C
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°(等边对等角)。
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°。
∴CD = AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。
∴CD= AB。
练一练
如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，则BC的长为______cm。
12
AB=AC，
∠C=30°
∠B=30°
AB⊥AD
∠BAD=90°
∠DAC=30°
BD=2AD=8cm
CD=AD=4cm
BC=BD+CD=12cm
随堂练习
1.下列说法不正确的是（ ）
A.三边相等的三角形是等边三角形
B.三个角相等的三角形是等边三角形
C.有一个角是60°的三角形是等边三角形
D.有两个角是60°的三角形是等边三角形
C
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D。若CD=1，则BD的长为______。
2
30°
30°
30°
AD=2
∠DAB=∠B
AD=BD
CD= AD
【教材P20 随堂练习 第1题】
3. 已知：如图，BD // AC，∠C=60°，DA平分∠BDC。
求证：△ACD是等边三角形。
证明：∵DA平分∠BDC，
∴∠BDA=∠CDA。
∵BD // AC，
∴∠BDA=∠DAC，
∴∠CDA=∠DAC，
∴CD=CA，
∵∠C=60°，
∴△ACD是等边三角形。
【教材P20 随堂练习 第2题】
4.如图，在△ABC 中，∠ACB= 90°，∠B = 60°，CD 是△ABC 的高，且 BD = 1，求 AD 的长。
B
C
D
A
解：在△BCD 中，∠BDC = 90°，
∴∠BCD = 30°，
∴ BC = 2BD = 2。
在△ABC 中，∠ACB = 90°，
∴∠A = 30°，
∴AB = 2BC = 4，
∴AD = AB – BD = 4 – 1 = 3。
课堂小结
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形的判定：
含30°角的直角三角形的性质：
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
B
C
30°
A
B
C
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共23张PPT)
北师大版 八年级下册
第2课时 等腰三角形的判定及反证法
学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法。
2.理解反证法的意义，掌握反证法的书写步骤，运用反证法进行证明。
复习回顾
问题1：等腰三角形有怎样的性质？
边：等腰三角形有两边相等。（定义）
角：等腰三角形的两个底角相等。（定理）
三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（定理）
边：有两边相等的三角形是等腰三角形。
（定义）
问题2：如何判定一个三角形是等腰三角形？
角：等腰三角形 两底角相等
性质
进行新课
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
要想证明AB=AC，只要能构造全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。
分析：
知识点1
等腰三角形的判定——等角对等边
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
D
证法一
证明：如图，过点A作 AD⊥BC 于点 D，
则∠ADB =∠ADC = 90°，
又∵∠B =∠C，AD = AD，
∴△ADB ≌ △ADC（AAS），
∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）。
还有其他证法吗？
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
D
证法二
证明：如图，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD。
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）。
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）。
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
这一定理可以简述为：等角对等边。
前提是“在同一个三角形中”
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC。
等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在同一个三角形中；
区别：判定是由角的关系得到边的关系，
性质是由边的关系得到角的关系。
即：等边 等角
性质
判定
例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E。
求证：△AED是等腰三角形。
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD ≌ △DCA（SSS）。
∴∠ADB = ∠DAC（全等三角形的对应角相等）。
∴AE = DE（等角对等边）。
∴△AED 是等腰三角形。
练一练
如图，AE平分∠BAC，DE // AB，若AD=5，则DE的长是______。
AE平分∠BAC
∠2=∠3
DE // AB
(等角对等边)
∠1=∠2
5
1
2
3
∠1=∠3
DE=AD
尝试·思考
知识点2
反证法
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
小明的思考过程如下。你能理解他的推理过程吗？
A
B
C
如图，在△ABC 中，已知
∠B ≠∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等。
假设 AB = AC，那么根据定理“等边对等角” 可得∠C =∠B，这与已知条件∠B ≠∠C 相矛盾，因此 AB ≠ AC。
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。
反证法
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。
已知：△ABC。
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角。
证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B 是直角，即∠A = 90°，∠B = 90°。 于是∠A +∠B +∠C = 90°+ 90°+∠C ＞180°。
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B 是直角”的假设不成立。
所以，一个三角形中不能有两个角是直角。
用反证法证明的一般步骤
1. 先假设命题的结论不成立；
2.从这个假设出发，应用正确的推理证明，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；
3.由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
练一练
用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不大于60°。
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角。
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°。
证明：假设∠A，∠B，∠C 都大于60°，
则∠A +∠B +∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，因此假设不成立。
所以，一个三角形中至少有一个角不大于60°。
随堂练习
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D。
（1）图中等腰三角形的个数是_______；
（2）若BC=2，则AD的长为_______。
3
36°
72°
72°
36°
36°
△ABC、△ADB、△DBC
2
BC=BD=DA
【教材P17 随堂练习 第1题】
2. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，交AC 于点 D，过点 D 作 BC 的平行线，交 AB 于点E，请判断△BDE 的形状，并说明理由。
解：△BDE 是等腰三角形。
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC，
又∵DE∥BC，
∴∠DBC = ∠EDB，
∴∠ABD =∠EDB，
∴△BDE 是等腰三角形。
A
B
C
E
D
【教材P18 随堂练习 第2题】
3. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个数大于或等于 。
证明：假设这五个正数a1，a2，a3，a4，a5全部小于 ，
那么这五个正数的和 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 就小于 1。
这与已知这五个正数的和等于 1 相矛盾。
因此假设不成立，原命题成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 。
4.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，E是射线OA上的一个动点。当∠OEC的度数为__________________时，△OCE是等腰三角形。
120°或75°或30°
课堂小结
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
反证法：
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
A
B
C
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共23张PPT)
北师大版 八年级下册
2.等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质和等边三角形的性质
学习目标
1.经历探索、证明等腰三角形和等边三角形性质的过程，进一步发展推理能力。
2.掌握综合推理方法，发展演绎推理能力。
3.应用等腰三角形和等边三角形的性质解决实际问题。
复习回顾
等腰三角形的相关概念你还记得吗？
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等腰三角形具有哪些特殊的性质呢？
进行新课
还记得利用折纸的方法探索等腰三角形的性质吗？这对你有什么启发？
先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足。
A
B
C
（B）
定理 等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简述为：等边对等角。
如何证明这个结论？
知识点1
等边对等角
前提是“在同一个三角形中”
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC。
求证：∠B =∠C。
A
B
C
证明：如图，取BC的中点D，连接AD。
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。
证法一
还有其他证法吗？
D
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC。
求证：∠B =∠C。
A
B
C
证明：如图，作△ABC顶角∠BAC的角平分线AD。
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。
证法二
D
练一练
如图，直线a // b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且CA=CB。若∠2=74°，则∠1的度数为_______。
3
4
∠2=74°
∠4=∠2=74°
a // b
CA=CB
∠3=∠4=74°
(等边对等角)
∠1=180°－∠3－∠4=32°
32°
思考·交流
知识点2
等腰三角形的“三线合一”
由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征？为什么？与同伴进行交流。
A
B
C
D
猜测：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
A
B
C
D
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线。
求证：点D是BC的中点，AD⊥BC。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应边相等、对应角相等），
∴点D是BC的中点。
又∵点B，D，C在同一条直线上，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC。
定理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
几何语言：
在△ABC中，AB=AC。
(1)∵∠1=∠2，
∴AD⊥BC，BD=CD。
(2)∵AD⊥BC ，
∴∠1=∠2，BD=CD。
(3)∵BD=CD ，
∴∠1=∠2，AD⊥BC 。
对腰上的高、中线、底角的平分线一般不重合
A
B
C
D
1
2
练一练
如图，在△ABC中，AB=AC。
（1）若AD为BC边上的高，∠BAC=120°，则∠BAD=______；
（2）若AD为∠BAC的平分线，AB=5，BC=8，则AD的长为_____。
60°
3
尝试·交流
知识点3
等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？请尝试证明你发现的结论，并与同伴进行交流。
A
B
C
A
B
C
如图，△ABC 是等边三角形，那么∠A，∠B， ∠C的大小之间有什么关系呢？
∵△ABC是等边三角形，
∴AB= BC=AC，
∴∠C=∠A=∠B。
由三角形内角和定理可得：
∠A=∠B=∠C= 60°。
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
特别提醒
等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。
等边三角形每个内角的平分线都与它对边上的高、中线重合。
练一练
如图，等边三角形ABC的顶点A，B分别在直线a，b上，且a // b。若∠2=80°，则∠1的度数为( )
A.20° B.30° C.40° D.45°
3
4
∠2+∠4+∠3=180°
∠2=80°，∠4=60°
∠3=40°
∠1+∠3=60°
∠1=20°
A
回顾·反思
回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形性质的经验？
随堂练习
1.已知等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是__________。
注意：顶角和底角不明时要分类讨论：
①80°的角是顶角；
②80°的角是底角。
80°或20°
【教材P15 随堂练习 第1题】
2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，BC=8，求CD的长。
解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD(等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合)。
又∵BC=8，
∴CD=4。
解：由题意得，BD=DE=EC，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=∠DEA=∠EAD=60°。
∴AD=BD=DE=AE=EC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠EAC。
又∠B+∠BAD=∠ADE，∠C+∠EAC=∠DEA，
∴∠BAD=∠EAC=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠EAD+∠EAC=120°。
【教材P15 随堂练习 第2题】
3.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数。
4.如图，AD是等边三角形ABC的一条中线，点E在边AC上，且AE=AD，则∠EDC的度数为______。
15°
∵AD是等边三角形ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠ADC=90°，∠CAD=30°。
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
又∠ADE+∠AED=180°－∠CAD=150°，
∴∠ADE=∠AED=75°.
∴∠EDC=∠ADC－∠ADE=15°。
课堂小结
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
A
B
C
D
1
2
等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
A
B
C
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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