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(共25张PPT)
北师大版 八年级下册
第一章 三角形的证明及其应用
1.三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理与
全等三角形
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°。
2.会用三角形内角和定理证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论。
3.应用三角形内角和定理解决相关问题。
复习回顾
1.回顾平行线有哪些性质？
两直线平行
内错角相等
同位角相等
同旁内角互补
2.我们学过的知识中哪些含有180°的关系？
三角形内角和等于180°
1
2
3
4
∠1=∠2
∠1=∠3
∠1+∠4=180°
平角为180°
进行新课
三角形三个内角的和等于180°
你还记得这个结论的探索过程吗？
A
B
C
1
（1）如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗？
尝试·交流
如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？
2
（2）你能说说这个结论的证明思路吗？
A
B
C
1
2
请试着写出证明过程，并与同伴进行交流。
剪拼角的目的什么？
构造平角
如果不实际移动角，还可以怎样改变角的位置呢？
知识点1
三角形的内角和定理
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
A
B
C
你学过哪些与180°有关的结论？
平角为180°
两直线平行，同旁内角互补
曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？
分析：
改变角的位置构造平角
延长BC至D，过点C作射线CE ，使CE // BA
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线。
E
D
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
A
B
C
E
D
1
2
证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE // BA，则
∠1=∠A，∠2=∠B。
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴∠1+∠2+∠ACB=180°。
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
证法一
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。
思考·交流
A
B
C
（1）如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ // BC，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？
P
Q
1
2
证明：如图，过点A作直线PQ，使PQ // BC，则
∠1=∠B，∠2=∠C。
∵点P，A，Q在同一条直线上，
∴∠BAC+∠1+∠2=180°。
∴∠BAC+∠B+∠C=180°。
证法二
思考·交流
A
B
C
（2）对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流。
1
2
3
D
E
F
证法三
证明：如图，过点D作DE // AC交AB于点E，DF // AB交AC于点F，则
∠1=∠C，∠3=∠B，
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°。
∴∠A=∠2。
∵点B，D，C在同一条直线上，
∴∠1+∠2+∠3=180°。
∴∠A+∠B+∠C=180°。
除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部或外部构造平角。
思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？
两直线平行，同旁内角互补
讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？
A
B
C
A
B
C
根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法。
l
D
E
F
A
B
C
E
D
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
思考：多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？
转化思想
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
A
C
B
D
解：在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理)。
∵∠B= 38°，∠C=62°，
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD =∠CAD= ∠BAC= ×80°= 40°。
在△ADB中，
∠B +∠BAD+∠ADB = 180°(三角形内角和定理)。
∵∠B=38°，∠BAD =40°，
∴∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°。
尝试·思考
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
A
B
C
D
E
F
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF。
求证：△ABC≌△DEF。
证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180°(三角形内角和定理)，
∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，
∠F = 180°－（∠D +∠E）。
∵∠A =∠D，∠B =∠E，
∴∠C =∠F。
∵∠B =∠E，BC = EF，∠C =∠F。
∴△ABC ≌ △DEF（ASA）。
A
B
C
D
E
F
知识点2
全等三角形的性质与判定
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等。（AAS）
A
B
C
D
E
F
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
练一练
如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB // DE。
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BF=4，FC=3，求BE的长。
（1）证明：∵AB // DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS）。
练一练
如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB // DE。
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BF=4，FC=3，求BE的长。
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DEF，∴BC=EF，
∴BF+CF=EC+CF，∴BF=EC，
∵BF=4，FC=3，∴EC=4，
∴BE=BF+FC+EC=4+3+4=11。
随堂练习
1.已知△ABC。
（1）若∠B=3∠A，∠C=5∠A，则∠A的度数是______；
（2）若∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数是______。
∠A+∠B+∠C=180°
（1）∠A+3∠A+5∠A=180°
9∠A=180°
20°
（2）55°+∠B+(∠B-25°)=180°
2∠B+30°=180°
2∠B=150°
75°
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处。若∠A=24°，则∠EDC的度数为______。
∠A+∠B+∠ACB=180°
69°
∠A+∠B=90°
∠ACB=90°
∠A=24°
∠B=66°
△BDC≌△EDC
∠DEC=∠B=66°
△BDC≌△EDC
∠ACB=90°
∠BCD=∠ECD=45°
∠EDC=180°-∠DEC -∠ECD =69°
A
B
C
D
E
证明：∵DE // BC，
∴∠AED=∠C=70°。
又∵∠A=60°，
∴ ∠ADE=180°－70°－60°=50°。
【教材P4 随堂练习 第1题】
3. 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在边AB和AC上，且DE // BC。
求证：∠ADE=50°。
【教材P4 随堂练习 第2题】
4. 如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数。
解：∵BD与CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠CDB=∠AEC=90°。
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
∵∠A=50°，
∴∠ABD=180°-50°-90°=40°。
同理∠ACE=40°。
在△DCO中，∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，
∵∠OCD=40°，∠ODC=90°，
∴∠COD=180°-40°-90°=50°。
课堂小结
1.三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°。
A
B
C
转化思想
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
2.全等三角形的性质与判定
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共25张PPT)
北师大版 八年级下册
第2课时 三角形的外角
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义。
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。
复习回顾
1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，三角形内角和等于180°。
2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=_____。
3.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠ACB=_____，∠ACD=_____。
48°
50°
130°
进行新课
在证明三角形内角和定理时，我们把△ABC的一边BC延长得到了∠ACD。
A
B
C
E
D
思考：像∠ACD这样的角有什么特征？猜想它的性质。这节课让我们一起来探讨吧。
知识点1
三角形的外角
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角。
1
∠1是△ABC的一个外角。
A
C
B
D
问题1：如图，延长AB到E，∠CBE是不是△ABC的一个外角？
∠DBE是不是△ABC的一个外角？
∠CBE是△ABC的一个外角
∠DBE不是△ABC的一个外角
A
C
B
D
E
问题2：画出△ABC的所有外角，共有几个？
A
C
B
D
E
每一个三角形都有6个外角。
1
2
3
4
5
6
每一个顶点相对应的外角都有2个。
问题3：△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系）
∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2；
∠3和∠4是对顶角，∠3=∠4；
∠5和∠6是对顶角，∠5=∠6。
练一练
A
B
C
E
D
F
如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角；
∠AEC是△BEC和△BEF的外角；
∠EFD是△BEF和△DCF的外角。
思考·交流
如图，∠1与△ABC的内角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流。
1
A
C
B
D
知识点2
三角形内角和定理的推论
4
3
2
思考1：∠1与∠4有什么关系？
∠1与∠4互补
思考2：∠1与∠2、∠3有什么关系？
外角
相邻的内角
不相邻的内角
猜测：∠2+∠3=∠1。
你能证明这个猜测吗？
1
A
C
B
D
4
3
2
已知：如图，△ABC。求证：∠1=∠2+∠3。
证明：在△ABC中，
∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理），
∴∠2+∠3=180°-∠4。
∵∠4+∠1=180°，
∴∠1=180°-∠4。
∴∠1=∠2+∠3。
由三角形内角和定理，可以得到
推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
1
A
C
B
D
4
3
2
几何语言：
在△ABC中，
∵∠ABD是△ABC的一个外角，
∴∠ABD=∠A+∠C。
三角形的外角几何画板
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论。
思考3：∠1与∠2、∠3的大小有什么关系？
1
A
C
B
D
4
3
2
∵∠1=∠2+∠3，
∴∠1＞∠2，∠1＞∠3。
推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD // BC。
B
A
E
D
C
只要具备什么条件，就能说明AD // BC？
同位角相等
分析：
内错角相等
同旁内角互补
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD // BC。
B
A
E
D
C
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠B=∠C，
∴∠C= ∠EAC。
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC= ∠EAC。
∴∠DAC=∠C。
∴AD // BC。
还有其他证法吗？
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD // BC。
B
A
E
D
C
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠B=∠C，
∴∠B= ∠EAC。
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAE= ∠EAC。
∴∠DAE=∠B。
∴AD // BC。
例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。
求证：∠BPC >∠A。
分析：
你学过哪些关于角的不等关系的定理？这里能直接使用吗？
你遇到的困难是什么？
你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗？
例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。
求证：∠BPC >∠A。
D
证明：如图，延长BP，交AC于点D。
∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），
∴ ∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。
∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），
∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。
∴∠BPC＞∠A。
还有其他证法吗？
角度模型
飞镖型：
∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
8字型：
∠A+∠B=∠C+∠D
随堂练习
1.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，则∠DAC的度数为_______。
100°
设∠1=α，
∴∠2=∠1=α。
又∠1+∠2=∠4，
∴∠4=2α，
∴∠3=2α。
∵∠2+∠3=180°-∠BAC=60°，
∴α+2α=60°，
∴α=20°。
∴∠DAC=∠BAC-∠1=120°-20°=100°。
【教材P6 随堂练习 第1题】
2.如图，在△ABC 中，∠A=45°， 外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数。
A
B
C
D
解：∵ ∠DCA是△ABC的 一个外角，
∠DCA=100°，∠A=45°，
∴ ∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。
∵∠DCA+∠ACB=180°，
∴ ∠ACB=80°。
【教材P6 随堂练习 第2题】
3.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？
A
B
C
3
2
1
解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，
∴ ∠1= ∠ABC+ ∠ACB，
∠2= ∠BAC+ ∠ACB，
∠3= ∠ABC+ ∠BAC。
∵∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°，
∴ ∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）=360°。
课堂小结
三角形的外角
推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
A
B
C
3
2
1
三角形的外角和等于360°。
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共15张PPT)
北师大版 八年级下册
第4课时 多边形的外角和
学习目标
1. 掌握多边形外角和定理。
2. 能灵活运用多边形的内角和与外角和解决相关问题。
进行新课
如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑。
（1）小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角。
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？说说你的理由，并与同伴进行交流。
A
B
C
D
E
2
3
4
5
1
∵∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°，
∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，
∠5+∠DEA=180°，
∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+
∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°。
∵五边形的内角和为(5－2)×180°=540°，
即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+
∠DEA=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=900°－540°=360°。
思考·交流
如果公园步道的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？与同伴进行交流。
六边形：6×180°-(6-2)×180°=360°
八边形：8×180°-(8-2)×180°=360°
A
B
C
D
E
2
3
4
5
1
多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和。
多边形的外角及外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
思考：n边形的外角和等于多少？
n 个外角加上与它们相邻的内角为 180°·n，
n 边形的内角和为 (n-2)·180°，
n 边形的外角和为 180°×n - (n-2)·180°= 360°。
一般地，我们有如下定理：
定理 多边形的外角和等于360°。
例5 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°。根据题意，得
(n-2)·180°=3×360°
解得 n=8。
所以，这个多边形是八边形。
因为正多边形的每个外角相等，所以用外角和（360°）除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个外角的度数。
正多边形的每个外角的度数等于 。
360°
n
思考：正多边形的每个外角是多少度？
思考·交流
在研究多边形的内角和与外角和的过程中，采用了哪些方法？与同伴进行交流。
随堂练习
1.如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的度数为______度。
∠F=180°－∠1－∠2=36°
1
2
∠1=∠2= =72°
36
2.一个多边形的内角和等于外角和的2倍，它是几边形？如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？
【教材P9 随堂练习 第1题】
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°。根据题意，得
(n-2)·180°=2×360°
解得 n=6。
所以，这个多边形是六边形。
六边形的内角和为720°，如果每个内角都相等，那么每个内角的度数为 。
3.如图，小明从点A出发，沿直线前进8m后左转40°，再沿直线前进8m，又左转40°……照这样走下去，直到他第一次回到出发点A时，他所走的路径构成了一个多边形。（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少？
解：(1)由题意可得，小明所走的路径正好构成一个外角是40°的正多边形，
∴这个正多边形的边数为360°÷40°=9，周长为9×8=72 (m)。
∴小明一共走了72 米。
(2)由(1)得，(9－2)×180°=1260°。
∴这个多边形的内角和是1260°。
课堂小结
定理 多边形的外角和等于360°。
正多边形每个外角的度数：
1.多边形的外角和
2.正多边形
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共18张PPT)
北师大版 八年级下册
第3课时 多边形的内角和
学习目标
1. 掌握多边形内角和公式。
2. 能通过不同方法探索多边形的内角和公式。
3. 能灵活运用多边形的内角和公式解决问题。
新课导入
思考1：三角形内角和是多少度？
思考2：长方形和正方形的内角和是多少度？
180°
360°
360°
思考3：对于一般的四边形，它的内角和是多少？你是怎么得到的？
方法①：用量角器测量。
方法②：把四个角剪下来，可以拼成一个周角。
方法③：连接一条对角线，把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和就是360°。
进行新课
小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼。
（1）这个广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴进行交流。
知识点1
多边形的内角和
（2）小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形五个内角的和。你知道他们是怎样做的吗？
五边形的内角和等于3个三角形内角和之和：
180°×3 = 540°
五边形的内角和等于5个三角形内角和之和减去一个周角：
180°×5－360° = 540°
你还有其他的方法吗？
尝试·思考
按照下图的方法，六边形能分成多少个三角形？
n（n是大于或等于3的自然数）边形呢？你能确定n边形的内角和吗？
……
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
…… …… …… ……
n
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=360°
2
3
3×180°=540°
3
4
4×180°=720°
(n-3)
(n-2)
(n-2)·180°
定理 n边形的内角和等于(n-2)·180°。
……
按照右图的方法再试一试。
例4 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°。∠B与∠D有怎样的关系？
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D
=(4－2)×180°=360°，
∴ ∠B+∠D
=360°－(∠A+∠C )
=360°－180°
=180°。
例4说明：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。
操作·思考
（1）正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度？
知识点2
正多边形
60°
90°
108°
120°
135°
（2）怎样计算正多边形每个内角的度数？
思考·交流
剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流。
五边形
内角和为540°
四边形
内角和为360°
三角形
内角和为180°
随堂练习
1.若一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是( )
A.七边形 B.八边形
C.九边形 D.十边形
D
(n-2)·180°=1440°
n-2=8
2.一个多边形剪掉一个角后内角和为360°，则原多边形的边数为___________。
3或4或5
3.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F =______。
360°
1
2
3
∵∠E+∠F=∠3，
∠1+∠2=∠3，
∴∠E+∠F=∠1+∠2
∵∠A+∠B+∠ADF+∠1+∠BCE+∠2=360°
∴∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F=360°
【教材P8 随堂练习 第1题】
4.小彬求出一个正多边形的一个内角为145°。他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由。
解：不正确。
解这个方程，得到的根不是自然数，所以一个正多边形的内角不可能是145°。
课堂小结
定理 n边形的内角和等于(n-2)·180°。
正多边形每个内角的度数：
1.多边形的内角和
2.正多边形
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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