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北师大版 八年级下册
章末复习
知识框架
不等式及其性质
不等式的有关概念
不等式的解集
不等式的基本性质
一元一次不等式
概念
不等式与不等式组
解法
应用
关系
应用
概念
解法
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式组
知识梳理
考点1
不等式(组)的概念及基本性质
1.不等式的概念
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫作不等式。
2.不等式组的概念
一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}基本性质
文字语言
符号语言
基本性质1
基本性质2
基本性质3
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变。
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc， a÷c＞b÷c
如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc， a÷c＜b÷c
3.不等式的基本性质
练一练
1.下列各式中，是不等式的有（ ）
①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≠2；⑤x≤0。
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
B
2.下列不等式变形一定正确的是（ ）
A.若a+cb
B.若a>b，则ac?>bc?
C.若a>b，c<0，则аcD.若 ，则a>b
C
考点2
解一元一次不等式(组)
1.不等式的解与不等式的解集的区别与联系
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
不等式的解
不等式的解集
区别
定义
使不等式成立的
未知数的某个值
使不等式成立的未知数的所有值
特点
个体
全体
形式
如：78是
的一个解
如：x＞75是
的解集
联系
某个解一定是解集中的一员
解集一定包括了
某个解
2.在数轴上表示不等式解集的步骤
包含界点用实心，不包含用空心；
①画数轴
标出原点，正方向，长度；
②定界点
③定方向
左小右大。
3.用数轴表示不等式解集的四种情况
x??
x?≤?a
?
x?≥?a
?
x?>?a
?
????
?
????
?
????
?
????
?
4.一元一次不等式组的解集的概念
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式组的解集。
5.解一元一次不等式组的基本步骤
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；
(2)在同一条数轴上画出这些不等式的解集；
(3)找出它们的公共部分，写出不等式组的解集。
6.一元一次不等式组的解集的四种情况
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}最简不等式组(a＜b)
在数轴上表示
解集
口诀
x＞b
x＜a
a＜x＜b
无解
同大取大
同小取小
大小小大中间找
大大小小找不到
练一练
3.解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来。
解：解不等式①，得x ≥-3。
解不等式②，得x ＞2。
故不等式组的解集为x＞2。
这个不等式组的解集在数轴上表示如图所示。
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
4. 已知关于x，y的方程组 的解满足-1(1)求a的取值范围。
(2)当整数a为何值时，关于x的不等式2ax-x>2a-1的解集为x<1？
解：(1)由题知，方程组的两式相加，得3x+3y=3+3a，
所以x+y=1+a。
因为-1(2)因为关于x的不等式2ax-x>2a-1的解集为x<1，
所以2a-1<0，解得a<0.5。
又因为-2考点3
一元一次不等式的应用
一元一次不等式解决实际问题的一般步骤
审：审题，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系
找：找出能表示题目含义的一个不等关系
设：设出适当的未知数
列：根据题目中的不等关系，列出不等式
解：解一元一次不等式，求出其解集
验：检验解集是否符合题意与实际情况
答：写出答案
练一练
5.某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件。其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元。
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，那么甲、乙两种奖品各购买了多少件？
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，那么该公司有哪几种不同的购买方案？
解：（1）设购买甲种奖品x件，则购买乙种奖品(20-x)件。根据题意，得
40x+30(20-x)=650
解得x=5。
所以20-x=15。
答：甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15 件。
（2）设购买甲种奖品y件，则购买乙种奖品(20-y)件。根据题意，得
因为y为整数，所以y=7或8。
当y=7时，20-y=13；
当y=8时，20-y=12。
答：该公司有两种不同的购买方案：购买甲种奖品7件，乙种奖品13件；购买甲种奖品8件，乙种奖品12件。
考点4
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式 kx+b>0 (或kx+b<0)与一次函数 y=kx+b的关系
x
O
y
y=kx+b
kx+b＞0 的解集
kx+b＜0 的解集
数
形
y=kx+b中，y>0时x的取值范围
y=kx+b中，y<0时x的取值范围
直线位于x轴上方部分对应的x的取值范围
直线位于x轴下方部分对应的x的取值范围
练一练
6.如图，正比例函数y=-2x和一次函数y=kx+6的图象相交于点A(m，4)，则关于x的不等式kx+6+2x≥0的解集为_________。
x ≥ -2
7.某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生。已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元。
（1）购买1个甲种文具、1个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，则有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？资金最少是多少元？
解：(1)设购买1个甲种文具需a元，购买1个乙种文具需b元。根据题意，得
答：购买1个甲种文具需15元，1个乙种文具需5元。
(2)根据题意，得 955 ≤ 15x+5(120-x) ≤ 1000。
解这个不等式，得 35.5 ≤ x ≤ 40。
因为x是整数，所以x =36或37或38或39或40。
所以有5种购买方案。
(3)根据题意，得W=15x+5(120-x)=10x+600。
因为10>0，所以W的值随着x值的增大而增大。
所以当x=36时，W取最小值，
此时W=10×36+600=960(元)，120-36=84(个)。
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，资金最少是960元。
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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