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北师大版 八年级下册
第2课时 不等式的解集
学习目标
1.理解不等式的解与解集的意义，了解不等式解集的数轴表示。
2.通过用数轴表示解集，发展数形结合意识。
3.经历不等式的解与解集的探索过程，培养归纳总结的能力。
情境导入
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄。通常规定以树干离地面 1.5 m 的地方为测量部位。某树栽种时的树围为 6 cm，在一定生长期内每年增加约 1 cm，设经过 x 年后这棵树的树围超过 10 cm，请你列出 x 满足的关系式。
6+x ＞ 10
你能找到满足这个不等式的x的一些值吗？
进行新课
知识点1
不等式的解与解集
尝试·思考
（1）x = 3，4，5，5.5 能使不等式 6+x＞10 成立吗？
x 3 4 5 5.5
6+x
6+x＞10能否成立
9
10
11
11.5
不能
不能
能
能
（2）你能找出多少个使不等式 6+x＞10 成立的 x 值？你是怎样找的？
x =5.8，6，7，8，9……
在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
例如：5是不等式 6+x > 10 的一个解，4.2，5.5，6，7，8，···也是这个不等式的解。
判断某个数是不是不等式的解的方法：
用这个数代替不等式中的未知数
是原不等式的解
不是原不等式的解
成立
不成立
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如：不等式 6+x ＞10的解集是 x ＞4；
不等式 x -1≤ 2 的解集是 x ≤3；
不等式 x2＞0 的解集是所有非零实数。
求不等式解集的过程叫作解不等式。
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
不等式的解 不等式的解集
区别 定义 使不等式成立的 未知数的某个值 使不等式成立的未知数的所有值
特点 个体 全体
形式 如：78是 的一个解 如：x＞75是
的解集
联系 某个解一定是解集中的一员 解集一定包括了
某个解
练一练
在8，-7，5.3，4，2，1，0，1.5，-6中：
①_____是方程 2x +1=5 的解；
②______________是不等式 2x +1≥5 的解；
③____________________是不等式 2x +1<5 的解。
8，5.3，4，2
2
-7，1，0，1.5，-6
知识点2
不等式的解集在数轴上的表示
思考·交流
你能在数轴上表示不等式 6+x >10 的解集吗？
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
不等式 6+x ＞10的解集是 x ＞4。
在数轴上表示4的点的位置画空心圆圈，表示4不在这个解集内。
不等式 x -1≤2 的解集又该如何表示呢？
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
不等式 x -1≤2 的解集是 x ≤3。
在数轴上表示3的点的位置画实心圆点，表示3在这个解集内。
在数轴上表示不等式解集的步骤：
包含界点用实心，不包含用空心；
①画数轴
标出原点，正方向，长度；
②定界点
③定方向
左小右大。
用数轴表示不等式解集的四种情况：
x ＞ a
a
x ＜ a
a
x ≥ a
a
x ≤ a
a
练一练
在数轴上表示不等式 x ≥ 2 的解集，正确的是（ ）
A
B
C
D
D
随堂练习
1.某不等式的解集是 x＞-1，下列表述不正确的是（ ）
A.0是这个不等式的解
B.-2不是这个不等式的解
C.大于-2的数都是这个不等式的解
D.小于-2的数都不是这个不等式的解
C
【教材P58 随堂练习 第1题】
√
×
2.判断正误：
（1）不等式 的解有无数个； （ ）
（2）x=4是不等式 x+5＞10的解。 （ ）
【教材P58 随堂练习 第2题】
3. 将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）x＞4； （2）x＜-1；
（3）x≥-2； （4）x≤6。
（1）
4
6
5
3
2
1
0
（2）
1
-1
-2
-3
0
（3）
2
1
0
-1
-2
（4）
4
6
5
3
2
1
0
7
4.填空：
(1)写出不等式 x＜3 的所有正整数解：_______；
(2)写出不等式 x≥-4 的所有负整数解：_________________；
(3)写出不等式 x≤2 的所有非负整数解：__________；
(4)写出不等式 的最小整数解：_____。
1，2
-1，-2，-3，-4
0，1，2
-3
课堂小结
不等式的解集
在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式解集的过程叫作解不等式。
在数轴上表示不等式的解集：
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共22张PPT)
北师大版 八年级下册
第二章 不等式与不等式组
1.不等式及其基本性质
第1课时 不等关系
学习目标
1.了解不等式的概念，认识不等号的含义。
2.学会并准确运用不等式表示数量关系，体会不等式是刻画量与量之间关系的重要模型之一。
3.经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展符号感与将实际问题数学化的能力。
情境导入
你是否想过这些生活场景与某种“不等关系”有关？
跷跷板
拔河比赛
汽车限速/限重
思考：生活中的这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？
进行新课
知识点1
不等式的概念
如图，用两根长度均为 l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积不小于100 cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
（3）当 l = 8时，正方形和圆的面积哪个大？如果 l = 12呢？改变 l 的取值再试一试。
当l =8时，
当l =12时，
（3）当 l = 8时，正方形和圆的面积哪个大？如果 l = 12呢？改变 l 的取值再试一试。
由此你能得到什么猜想？
无论取何值，长度为 l 的绳子围成的圆的面积始终大于围成的正方形面积。
当l =40时，
尝试·思考
（1）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李外部尺寸的长、宽、高之和不得超过160cm。设行李外部尺寸的长、宽、高分别为 a cm，b cm，c cm，请你列出行李外部尺寸的长、宽、高满足的关系式。
根据题意可得： a+b+c ≤ 160。
尝试·思考
（2）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄。通常规定以树干离地面 1.5 m 的地方为测量部位。某树栽种时的树围为 6 cm，在一定生长期内每年增加约 1 cm，设经过 x 年后这棵树的树围超过 10 cm，请你列出 x 满足的关系式。
根据题意可得： 6+x > 10。
观察·交流
由上述问题分别得到如下关系式：
，a+b+c ≤ 160，6+x > 10
观察这几个关系式，它们有什么共同特点？
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫作不等式。
不等式的概念：
常用的不等符号：
名称
符号
读法
小于号
大于号
小于或等于号
不等号
大于或等于号
≥
＞
＜
≤
大于
小于
小于或等于
大于或等于
≠
不等于
关键词语 第一类——明显的不等关系
不等号
不等关系：
①大于
②比…大
③多于
①小于
②比…小
③少于
①不大于
②不超过
③至多
①不小于
②不低于
③至少
≥
＞
＜
≤
注意“不”字哦！
文字语言 第二类——隐含的不等关系(表明数量的范围特征)
不等 关系
不等关系：
a是正数
a是负数
a是非负数
a是非正数
a≤0
a＞0
a＜0
a≥0
练一练
下列式子：①3＞0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y-7；⑤m-2.5＜3。其中不等式有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
一个式子是不等式的判定：
①含有不等号；
②表示不等关系，而与不等式是否成立无关；
②不等式中可以含有未知数，也可以不含未知数。
知识点2
列不等式
用不等式表示下列关系：
（1）x 的 4 倍与 7 的差大于 3；
（2）a 的 4 倍与 b 的 2 倍的和不大于 -5；
（3）m 的 2 倍与 n 的 3 倍的差是非负数；
（4）y 的一半比它的 3 倍小。
4x -7＞3
4a+2b≤-5
2m-3n≥0
（1）分析题意，找出题中的各种量；
（2）寻找各种量之间的不等关系；
（3）用代数式表示各种量；
（4）用适当的不等符号将具有不等关系的量连接起来。
列不等式表示不等关系的方法步骤：
练一练
某次数学测验，共20道选择题，评分方法是答对一道题得5分，答错或不答扣3分。某同学要想在选择题上至少得60分，他至少要答对多少道题(只列不等式)？
解：设答对x道题，则不答或答错的题目数量为(20-x)道题，根据题意可得5x-3(20-x)≥60。
随堂练习
1.某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温 t（℃）的变化范围是（ ）
A. t ＞ 33 B. t ≤ 24
C. 24＜ t＜ 33 D. 24 ≤ t ≤ 33
D
2.k 的值大于-1且不大于3，则用不等式表示 k的取值范围是___________（使用形如a ≤ x ≤ b的类似式子填空）。
-1< k ≤ 3
【教材P56 随堂练习 第1题】
3.用适当的符号表示下列关系：
(1) a 是非负数；
(2)直角三角形斜边 c 比它的两直角边 a，b 都长；
(3) x 与 17 的和比 x 的 5 倍小；
(4)两数的平方和不小于这两数积的 2 倍。
解：(1) a ≥ 0；
(2) c ＞ a，c ＞ b；
(3) x + 17＜ 5x；
(4) m2 + n2 ＞ 2mn。
【教材P56 随堂练习 第2题】
4.根据下列信息，写出有关不等式：2021 年，我国自主研制的“海斗一号”全海深自主遥控潜水器打破了多项无人潜水器的世界纪录，包括最大下潜深度达到 10908 m，海底连续作业时间超过 8 h，近海底航行距离超过 14 km。
解：设下潜深度为 h m，则 h ≤ 10908；
设海底连续作业时间为 t h，则 t ＞ 8；
设近海底航行距离为 s km，则 s ＞ 14。
课堂小结
不等式
概念
用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子
列不等式
1.理解题意；
2.找出数量关系；
3.列出关系式。
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。(共27张PPT)
北师大版 八年级下册
第3课时 不等式的基本性质
学习目标
1.通过类比、猜测、验证发现不等式的基本性质，并掌握不等式的基本性质。
2.体会不等式与等式的联系与区别。
3.会运用不等式的基本性质解不等式。
复习回顾
还记得等式的基本性质吗？
基本性质 文字语言 符号语言
基本性质1
基本性质2
等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式
等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式
如果a=b，那么a±c=b±c
如果a=b，那么ac=bc，a÷c=b÷c (c≠0)
不等式有没有类似的性质？
进行新课
知识点1
不等式的基本性质
尝试·交流
（1）如果在不等式的两边都加或都减同一个数，那么不等式还成立吗？
活动1：同学们自己先确定一个不等式，在不等式的两边都加上或都减去同一个数，结果有何特点？小组讨论得出结果。
5 > 3，
① 5 + 2 ______ 3 + 2；
② 5 - 2 ______ 3 - 2。
-3 < - 2，
① -3 + 4 ______ - 2 + 4；
② -3 - 4 ______ - 2 - 4。
＞
＞
＜
＜
例：
根据举出的例子，你能归纳出什么结论？
不等式的基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变。
用字母表示：
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c。
尝试·交流
（2）如果在不等式的两边都乘同一个不等于 0 的数，那么不等式还成立吗？
活动2：同学们自己先确定一个不等式，在不等式的两边都乘同一个不等于0的数，结果有何特点？小组讨论得出结果。
5 > 3，
① 5×6______ 3×6；
② 5÷6 ______ 3÷6；
-3 < - 2，
① -3×4 ______ - 2×4；
② -3÷4 ______ - 2÷4；
例：
＞
＞
＜
＜
根据举出的例子，你能归纳出什么结论？
用字母表示为：
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc， a÷c＞b÷c。
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______。
不变
-3 < - 2，
③ -3×(-4)_____-2×(-4)；
④ -3÷(-4)_____-2÷(-4)。
5 > 3，
③ 5×(-6)_____3×(-6)；
④ 5÷(-6)_____3÷(-6)。
例：
＜
＜
＞
＞
根据举出的例子，你能归纳出什么结论？
不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______。
改变
用字母表示为：
如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc， a÷c＜b÷c 。
基本性质 文字语言 符号语言
基本性质1
基本性质2
基本性质3
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变。
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc， a÷c＞b÷c
如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc， a÷c＜b÷c
总结：不等式的基本性质
练一练
用“＞”或“＜”填空：
(1)若 a ＞ b，则 a+1_____b+1；
(2)若 3a ＜ 3b，则 a_____b；
(3)若 a ＞ b，则 -a_____-b；
(4)若 a ＜ b，则 2a-1_____2b-1；
(5)若 ac ＜bc ，则 a_____b。
＞
＜
＜
＜
＜
尝试·思考
在前面的学习中，我们猜想，无论绳长 l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
你相信这个结论吗？能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？
知识点2
利用不等式的基本性质解不等式
解未知数为x的不等式
化为x＞a或x＜a的形式
目标
思路：
依据：不等式的基本性质
例 根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
（1） x-5＞-1； （2）-2x≥3。
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加5，得x > -1 + 5，
即 x > 4。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
（1） x-5＞-1；
（2）-2x≥3。
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得
-3
-2
-1
0
1
2
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
练一练
根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
（1） （2）5x+5＞3x-2。
解：（1）根据不等式的基本性质3，两边都乘 ，得
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
0
-1
（2）5x+5＞3x-2。
（2）根据不等式的基本性质1，两边都减5，得 5x＞3x-7。
根据不等式的基本性质1，两边都减3x，得 2x＞-7。
根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
-4
-3
-2
-1
0
类别 不同点 相同点
不等式
等式 两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变
1.两边都加（或减）同一个数（或代数式），不等式和等式仍然成立；
2.两边都乘（或除以）同一个正数（或符号为正的代数式），不等式和等式仍然成立
两边都乘（或除以）同一个负数，结果仍是等式
思考·交流
不等式的基本性质与等式的基本性质有什么联系和区别？
1.若x<3，则下列各式中不成立的是（ ）
A. x - 2<1 B. 3x<9
C. D. -4x<-12
随堂练习
D
【教材P60 随堂练习 第1题】
2.已知 x＞y，下列不等式一定成立吗？为什么？
（1）x-6＜y-6； （2）3x＜3y；
（3）-2x＜-2y； （4）2x+1＞2y+1。
解：（1）不成立，根据不等式的基本性质1，当x＞y， x-6＞y-6；
（2）不成立，根据不等式的基本性质2，当x＞y，3x＞3y；
（3）成立，根据不等式的基本性质3，当x＞y，-2x＜-2y；
（4）成立，根据不等式的基本性质1、2，当x＞y， 2x+1＞2y+1。
(1) a+c_____b+c； (2) a-b_____c-b；
(3) ac_____bc； (4) _____ 。
3.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，用“> ”或“<“填空：
＞
＜
＜
＜
【教材P60 随堂练习 第2题】
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加1，得 x＞3。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
4.解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
（1）x-1＞2；（2） （3）
（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘2 ，得 x＜6。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
（2） （3）
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以-1 ，得
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。
-1
0
1
基本性质 文字语言 符号语言
基本性质1
基本性质2
基本性质3
课堂小结
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变。
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc， a÷c＞b÷c
如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc， a÷c＜b÷c
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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