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四川省泸州市龙马潭区五校联考2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
一、单选题（共36分）
1．（2025八上·龙马潭期末）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·龙马潭期末）冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·龙马潭期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·龙马潭期末）点 关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·龙马潭期末）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2025八上·龙马潭期末）已知，则的值是（ ）．
A． B． C．5 D．6
7．（2025八上·龙马潭期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·龙马潭期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
9．（2025八上·龙马潭期末）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·龙马潭期末）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　）
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
11．（2025八上·龙马潭期末）已知，则的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
12．（2025八上·龙马潭期末）如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点D，过点D作交的延长线于点F，连接，点E为中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共12分）
13．（2025八上·龙马潭期末）若分式 有意义，则 的取值范围是　 　.
14．（2025八上·龙马潭期末）因式分解：　 　．
15．（2025八上·龙马潭期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是　 　．
16．（2025八上·龙马潭期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是　 　
三、解答题（共72分）
17．（2025八上·龙马潭期末）计算：
18．（2025八上·龙马潭期末） 先化简，再求值：，并在，0，1，2中选一个合适的数求值．
19．（2025八上·龙马潭期末）如图，，，．求证：．
20．（2025八上·龙马潭期末）解方程：．
21．（2025八上·龙马潭期末）如图，已知的两个顶点的坐标分别为和．
（1）请补全原有的直角坐标系；
（2）画出关于轴对称的，其中点的对应点分别为，写出点的坐标________；
（3）点是轴上一动点，写出取最小值为___________
22．（2025八上·龙马潭期末）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的倍，若用元购进篮球的数量比用元购进排球的数量少个，求篮球、排球的进价分别为每个多少元？
23．（2025八上·龙马潭期末）已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
（1）求证：；
（2）请判断有何关系，并证明．
24．（2025八上·龙马潭期末）乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　 　；方法2：　 　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，ab之间的等量关系： 　 　；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求ab的值；
②已知，求的值．
25．（2025八上·龙马潭期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，，．
（1）如图1，当时，连接交轴于点，直接写出点的坐标；
（2）如图2，轴于且，连接交轴于一点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由；
（3）如图3，在延长线上，过作轴于，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000031用科学记数法表示为：
.
故答案为：．
【分析】根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1”并结合题意即可求解．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项正确，符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据“单项式除以单项式，就是把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 关于x轴对称的点的坐标是，
故答案为：D．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可直接得出答案.
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用多边形的内角和公式即可求解。
【解答】因为多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
所以（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
所以这个多边形的边数是6．
故选B．
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，，
，
故选：D．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，其中同底数幂相乘，原来的底数作底数，指数的和作指数，把已知等式代入计算，即可得到答案．
7．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、等式右边不是整式乘积的形式，故B不符合题意；
C、是因式分解，故C符合题意；
D、等式右边不是整式乘积的形式，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此逐项进行判断即可．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
由作图可得，平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的面积为，
故答案为：A．
【分析】过点D作于点H，根据作图可得平分，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
9．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
解得：或；
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”并结合题意可得关于m的方程，解方程即可求解．
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，
∴凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点，
故选：C.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可．
11．【答案】A
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则：
，
故答案为：A．
【分析】由题意可知，用单项式乘多项式法则“单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.”计算去括号，然后整体代换即可求解．
12．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴ ∠ABC=2∠CBD，∠ACF=2∠DCF
∵，∠BDC=∠DCF-∠CBD，
∴2∠BDC=2∠DCF-2∠CBD= ∠BAC+∠ABC-∠ABC=90°
∴，故①正确；
∵点为中点，
∴，
在中，，三角形中，两边之和大于第三边，
∴，故②错误；
如图所示，过点作于，
∵，
∴，
点是中点，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，为公共边，
∴，
∴，
∴，即，故③正确；
由结论③可知，，
∴AE=EH，
∴S△AED=S△DEH，
又∵
∴，，
在中，点是中点，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有①③④，共3个．
故答案为：B．
【分析】由角平分线定义得∠ABC=2∠CBD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形外角性质得∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠BDC=∠DCF-∠CBD，则2∠BDC=2∠DCF-2∠CBD= ∠BAC+∠ABC-∠ABC，由此可证，据此可判断①；根据中点定义得， 在△BCE中，由三角形的三边关系可知错误，据此可判断②；过点作于，用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得AB=DH，再利用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得DH=DF，从而可得AB=DF，据此可判断③；由全等三角形的对应边相等得AE=EH，由等底同高三角形面积相等得S△AED=S△DEH，由全等三角形的面积相等得，进而根据可判断④．
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1.
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，从而列出不等式，解得x的范围.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：．
【分析】观察多项式，可先提取公因式，括号内的多项式符合平方差公式特征，于是将括号内的因式用平方差公式分解即可求解．
15．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解∶解方程，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
关于的分式方程的解为负数，
且．
且．
故答案为∶且．
【分析】将m作为参数解分式方程，用含m的式子表示出x，根据分式方程的解为负数列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
16．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：当点P是EF与AC的交点时，连接BP，如图，
∵是的垂直平分线，
∴，
根据两点之间线段最短知，，其值最小，
所以的最小值即为的长，
所以的最小值为6．
故答案为：6．
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BP=CP，则PA+BP=AP+PC=AC，根据两点之间线段最短即可求解．
17．【答案】解：
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【分析】先根据有理数乘方运算法则、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、绝对值意义及负整数指数幂法则“”分别计算，再计算有理数的加减法运算可得答案.
18．【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先算括号里面的减法，再算括号外面的除法进行化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
19．【答案】证明：∵，，
∴
∵，
∴
∴，
∴，即．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；翻折全等-对顶角模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据全等三角形的判定AAS证出，再利用全等三角形的对应边相等证出即可.
20．【答案】解：方程两边乘（x－5），得x＋3＝2（x－5）．
解得x＝13．
检验：当x＝13时，x－5≠0．
所以原分式方程的解为x＝13
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同乘（x 5）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
21．【答案】（1）解：原有直角坐标系如图所示：
（2）解：△A'B'C'就是所求的三角形，
，
（3）
【知识点】两点之间线段最短；坐标系中的两点距离公式；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】（2）解：的坐标．
故答案为：；
（3）解：如图，连接，交y轴于点P，连接，
∵C与关于y轴对称，
∴，
∴，
当B、P、三点共线时，，即取最小值为，
∵，，
∴，
即取最小值为．
故答案为：．
【分析】（1）根据点A的坐标，可得原点是将点A向左平移一个单位长度后再向下平移一个单位长度后对应点所在的位置，从而以过这点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，向右及向上的方法作为正方向，建立相应的平面直角坐标系；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A'、B'、C'，并顺次连接A'、B'、C'即可得到所求的△A'B'C'，进而根据点C'在平面直角坐标系中的位置写出其坐标；
（3）连接C'B交y轴于点P，利用对称的性质和两点之间线段最短可得BC'就是BP+CP的最小值，进而根据两点间的距离公式计算出BC'即可.
（1）解：原有直角坐标系如图所示：
（2）如图，即为所求，
的坐标．
故答案为：；
（3）解：如图，连接，交y轴于点P，连接，
∵C与关于y轴对称，
∴，
∴，
当B、P、三点共线时，，即取最小值为，
∵，，
∴，
即取最小值为．
故答案为：．
22．【答案】解：设每个排球的进价为元，则每个篮球的进价为元，
根据题意得，
解得（元），
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
（元），
答：篮球的进价为每个元，排球的进价为每个元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设每个排球的进价为元，则每个篮球的进价为元，由题中的等量关系"元购进篮球的数量=用元购进排球的数量-"列出关于x的方程，解方程并检验即可求解．
23．【答案】（1）证明：∵
∴
即，
又∵，
∴．
（2），．
证明如下：由（1）知，
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）根据，利用角的运算可推出，再根据，利用全等三角形的判定定理可证明；
（2）根据（1）的结论：，利用全等三角形的性质可得：，，再根据，利用角的运算可推出，据此可证明结论；
（1）证明：∵
∴
即，
又∵，
∴．
（2），．
证明如下：由（1）知，
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴．
24．【答案】（1），
（2）
解：（3）①由，
可得
∴当，时，
②设，则，
则
可求得
由整体思想得，
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法1，根据正方形面积公式，图2的面积表示为：
方法2，根据大正方形面积等于两个小的正方形与两个长方形之和，图2的面积表示为：
故答案为：，；
（2）由（1）题可得，
故答案为：；
【分析】（1）方法1：利用整个大的图形是正方形去，切边长为 可得面积，方法2：再利用大的正方形由两个小的正方形与两个长方形组成，结合正方向及长方形面积公式可得面积；
（2）利用图形面积相等，可得公式；
（3）①由完全平方公式的恒等变形可得，再整体代入求值即可；
②设，则，，根据已知等式求得，然后将待求式子展开式整体代入计算可得答案.
25．【答案】（1）解：点C的坐标为（3，-5）；
（2）解：在B点运动过程中，长保持不变，理由如下：
如图2，过C作轴于H．
由（1）可知：，
∴，，
∵，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：．理由：
如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．
则，
∵，，
∴，
∴，，
∵，．
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：如图1，过点C作轴于H．
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【分析】（1）过点C作轴交y轴于H，由点A、B的坐标得出OA=8，OB=3，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠CBH=∠BAO，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得CH=OB=3，BH=OA=8，由OH=BH-OB求出OH=5，从而得到C点的坐标；
（2）过点C作轴交y轴于M，同（1）证得△BCH≌△ABO，由全等三角形的对应边相等得CH=BO，BH=OA=8，进而利用“AAS”证明△DBEQ≌△CHE，由全等三角形的对应相等得BE=EH，从而即可得出结论；
（3）AQ=BN+BO，理由如下：延长NQ交AB的延长线于M，过点N作NH⊥AM于H，交AQ于K；由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠OAB=∠KNQ，从而用“ASA”证△AOB≌△NQK，由全等三角形的对应边相等得到，，然后再用“SAS”证明△ANK≌△NAB，由全等三角形的对应边相等得到，进而根据线段和差及等量代换即可得出结论．
（1）解：如图1，过点C作轴于H．
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：在B点运动过程中，长保持不变，的长为4，
理由：如图2，过C作轴于H．
由（1）可知：，
∴，，
∵，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：．
理由：如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．
则，
∵，，
∴，
∴，，
∵，．
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
1 / 1四川省泸州市龙马潭区五校联考2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
一、单选题（共36分）
1．（2025八上·龙马潭期末）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.
2．（2025八上·龙马潭期末）冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000031用科学记数法表示为：
.
故答案为：．
【分析】根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1”并结合题意即可求解．
3．（2025八上·龙马潭期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项正确，符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据“单项式除以单项式，就是把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
4．（2025八上·龙马潭期末）点 关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 关于x轴对称的点的坐标是，
故答案为：D．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可直接得出答案.
5．（2025八上·龙马潭期末）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用多边形的内角和公式即可求解。
【解答】因为多边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，
所以（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
所以这个多边形的边数是6．
故选B．
6．（2025八上·龙马潭期末）已知，则的值是（ ）．
A． B． C．5 D．6
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，，
，
故选：D．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，其中同底数幂相乘，原来的底数作底数，指数的和作指数，把已知等式代入计算，即可得到答案．
7．（2025八上·龙马潭期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、等式右边不是整式乘积的形式，故B不符合题意；
C、是因式分解，故C符合题意；
D、等式右边不是整式乘积的形式，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此逐项进行判断即可．
8．（2025八上·龙马潭期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
由作图可得，平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的面积为，
故答案为：A．
【分析】过点D作于点H，根据作图可得平分，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
9．（2025八上·龙马潭期末）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
解得：或；
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”并结合题意可得关于m的方程，解方程即可求解．
10．（2025八上·龙马潭期末）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　）
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，
∴凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点，
故选：C.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可．
11．（2025八上·龙马潭期末）已知，则的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
【答案】A
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则：
，
故答案为：A．
【分析】由题意可知，用单项式乘多项式法则“单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.”计算去括号，然后整体代换即可求解．
12．（2025八上·龙马潭期末）如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点D，过点D作交的延长线于点F，连接，点E为中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴ ∠ABC=2∠CBD，∠ACF=2∠DCF
∵，∠BDC=∠DCF-∠CBD，
∴2∠BDC=2∠DCF-2∠CBD= ∠BAC+∠ABC-∠ABC=90°
∴，故①正确；
∵点为中点，
∴，
在中，，三角形中，两边之和大于第三边，
∴，故②错误；
如图所示，过点作于，
∵，
∴，
点是中点，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，为公共边，
∴，
∴，
∴，即，故③正确；
由结论③可知，，
∴AE=EH，
∴S△AED=S△DEH，
又∵
∴，，
在中，点是中点，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有①③④，共3个．
故答案为：B．
【分析】由角平分线定义得∠ABC=2∠CBD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形外角性质得∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠BDC=∠DCF-∠CBD，则2∠BDC=2∠DCF-2∠CBD= ∠BAC+∠ABC-∠ABC，由此可证，据此可判断①；根据中点定义得， 在△BCE中，由三角形的三边关系可知错误，据此可判断②；过点作于，用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得AB=DH，再利用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得DH=DF，从而可得AB=DF，据此可判断③；由全等三角形的对应边相等得AE=EH，由等底同高三角形面积相等得S△AED=S△DEH，由全等三角形的面积相等得，进而根据可判断④．
二、填空题（共12分）
13．（2025八上·龙马潭期末）若分式 有意义，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1.
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，从而列出不等式，解得x的范围.
14．（2025八上·龙马潭期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：．
【分析】观察多项式，可先提取公因式，括号内的多项式符合平方差公式特征，于是将括号内的因式用平方差公式分解即可求解．
15．（2025八上·龙马潭期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解∶解方程，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
关于的分式方程的解为负数，
且．
且．
故答案为∶且．
【分析】将m作为参数解分式方程，用含m的式子表示出x，根据分式方程的解为负数列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
16．（2025八上·龙马潭期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是　 　
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：当点P是EF与AC的交点时，连接BP，如图，
∵是的垂直平分线，
∴，
根据两点之间线段最短知，，其值最小，
所以的最小值即为的长，
所以的最小值为6．
故答案为：6．
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BP=CP，则PA+BP=AP+PC=AC，根据两点之间线段最短即可求解．
三、解答题（共72分）
17．（2025八上·龙马潭期末）计算：
【答案】解：
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【分析】先根据有理数乘方运算法则、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、绝对值意义及负整数指数幂法则“”分别计算，再计算有理数的加减法运算可得答案.
18．（2025八上·龙马潭期末） 先化简，再求值：，并在，0，1，2中选一个合适的数求值．
【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先算括号里面的减法，再算括号外面的除法进行化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
19．（2025八上·龙马潭期末）如图，，，．求证：．
【答案】证明：∵，，
∴
∵，
∴
∴，
∴，即．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；翻折全等-对顶角模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据全等三角形的判定AAS证出，再利用全等三角形的对应边相等证出即可.
20．（2025八上·龙马潭期末）解方程：．
【答案】解：方程两边乘（x－5），得x＋3＝2（x－5）．
解得x＝13．
检验：当x＝13时，x－5≠0．
所以原分式方程的解为x＝13
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同乘（x 5）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
21．（2025八上·龙马潭期末）如图，已知的两个顶点的坐标分别为和．
（1）请补全原有的直角坐标系；
（2）画出关于轴对称的，其中点的对应点分别为，写出点的坐标________；
（3）点是轴上一动点，写出取最小值为___________
【答案】（1）解：原有直角坐标系如图所示：
（2）解：△A'B'C'就是所求的三角形，
，
（3）
【知识点】两点之间线段最短；坐标系中的两点距离公式；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】（2）解：的坐标．
故答案为：；
（3）解：如图，连接，交y轴于点P，连接，
∵C与关于y轴对称，
∴，
∴，
当B、P、三点共线时，，即取最小值为，
∵，，
∴，
即取最小值为．
故答案为：．
【分析】（1）根据点A的坐标，可得原点是将点A向左平移一个单位长度后再向下平移一个单位长度后对应点所在的位置，从而以过这点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，向右及向上的方法作为正方向，建立相应的平面直角坐标系；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A'、B'、C'，并顺次连接A'、B'、C'即可得到所求的△A'B'C'，进而根据点C'在平面直角坐标系中的位置写出其坐标；
（3）连接C'B交y轴于点P，利用对称的性质和两点之间线段最短可得BC'就是BP+CP的最小值，进而根据两点间的距离公式计算出BC'即可.
（1）解：原有直角坐标系如图所示：
（2）如图，即为所求，
的坐标．
故答案为：；
（3）解：如图，连接，交y轴于点P，连接，
∵C与关于y轴对称，
∴，
∴，
当B、P、三点共线时，，即取最小值为，
∵，，
∴，
即取最小值为．
故答案为：．
22．（2025八上·龙马潭期末）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的倍，若用元购进篮球的数量比用元购进排球的数量少个，求篮球、排球的进价分别为每个多少元？
【答案】解：设每个排球的进价为元，则每个篮球的进价为元，
根据题意得，
解得（元），
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
（元），
答：篮球的进价为每个元，排球的进价为每个元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设每个排球的进价为元，则每个篮球的进价为元，由题中的等量关系"元购进篮球的数量=用元购进排球的数量-"列出关于x的方程，解方程并检验即可求解．
23．（2025八上·龙马潭期末）已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
（1）求证：；
（2）请判断有何关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵
∴
即，
又∵，
∴．
（2），．
证明如下：由（1）知，
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）根据，利用角的运算可推出，再根据，利用全等三角形的判定定理可证明；
（2）根据（1）的结论：，利用全等三角形的性质可得：，，再根据，利用角的运算可推出，据此可证明结论；
（1）证明：∵
∴
即，
又∵，
∴．
（2），．
证明如下：由（1）知，
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴．
24．（2025八上·龙马潭期末）乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　 　；方法2：　 　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，ab之间的等量关系： 　 　；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求ab的值；
②已知，求的值．
【答案】（1），
（2）
解：（3）①由，
可得
∴当，时，
②设，则，
则
可求得
由整体思想得，
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法1，根据正方形面积公式，图2的面积表示为：
方法2，根据大正方形面积等于两个小的正方形与两个长方形之和，图2的面积表示为：
故答案为：，；
（2）由（1）题可得，
故答案为：；
【分析】（1）方法1：利用整个大的图形是正方形去，切边长为 可得面积，方法2：再利用大的正方形由两个小的正方形与两个长方形组成，结合正方向及长方形面积公式可得面积；
（2）利用图形面积相等，可得公式；
（3）①由完全平方公式的恒等变形可得，再整体代入求值即可；
②设，则，，根据已知等式求得，然后将待求式子展开式整体代入计算可得答案.
25．（2025八上·龙马潭期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，，．
（1）如图1，当时，连接交轴于点，直接写出点的坐标；
（2）如图2，轴于且，连接交轴于一点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由；
（3）如图3，在延长线上，过作轴于，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：点C的坐标为（3，-5）；
（2）解：在B点运动过程中，长保持不变，理由如下：
如图2，过C作轴于H．
由（1）可知：，
∴，，
∵，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：．理由：
如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．
则，
∵，，
∴，
∴，，
∵，．
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：如图1，过点C作轴于H．
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【分析】（1）过点C作轴交y轴于H，由点A、B的坐标得出OA=8，OB=3，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠CBH=∠BAO，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得CH=OB=3，BH=OA=8，由OH=BH-OB求出OH=5，从而得到C点的坐标；
（2）过点C作轴交y轴于M，同（1）证得△BCH≌△ABO，由全等三角形的对应边相等得CH=BO，BH=OA=8，进而利用“AAS”证明△DBEQ≌△CHE，由全等三角形的对应相等得BE=EH，从而即可得出结论；
（3）AQ=BN+BO，理由如下：延长NQ交AB的延长线于M，过点N作NH⊥AM于H，交AQ于K；由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠OAB=∠KNQ，从而用“ASA”证△AOB≌△NQK，由全等三角形的对应边相等得到，，然后再用“SAS”证明△ANK≌△NAB，由全等三角形的对应边相等得到，进而根据线段和差及等量代换即可得出结论．
（1）解：如图1，过点C作轴于H．
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：在B点运动过程中，长保持不变，的长为4，
理由：如图2，过C作轴于H．
由（1）可知：，
∴，，
∵，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：．
理由：如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．
则，
∵，，
∴，
∴，，
∵，．
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
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