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浙江省金华市永康第三中学2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷
1．（2025九上·永康期中）已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4 cm
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在半径为2cm的圆内，
∴点P到圆心的距离小于2cm，
∴点P到圆心的距离可以是1cm，
故答案选：A.
【分析】由圆的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再与各选项比较大小得到答案.
2．（2025九上·永康期中）从一个装有 6 个红球， 4 个蓝球， 2 个白球和 1 个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵所有的球中黑球最少，
∴摸出黑球的可能性最小，
故答案为： D.
【分析】找到个数最少的球即可确定正确的选项.
3．（2025九上·永康期中）二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为y=(x-1)2+2，
∴该函数图象的顶点坐标为(1，2)，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数y=(x-1)2+2符合顶点式形式，直接得出顶点坐标即可.
4．（2025九上·永康期中） 已知一个正多边形的内角是 ，则这个正多边形的边数为 （　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n=(n-2)·180°
解得n=6.
故答案为：B .
【分析】先根据多边形内角和公式表示出正多边形的内角和，再结合正多边形每个内角相等的性质列出方程，求解方程得到边数.
5．（2025九上·永康期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1//l2/l3，
∴
∵AB=4，DE=3，EF=6
∴
∴BC=8
故答案为：C .
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解.
6．（2025九上·永康期中） 抛物线 与 轴的交点坐标是（　　）
A．(0， - 4) B．(4，0) C．(0，4) D．(4，0)
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-4.
∴抛物线y=2x2-4与y轴的交点坐标是(0，-4)
故答案为：A .
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可.
7．（2025九上·永康期中）已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．x＝3，y＝4
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴3x=4y
故A不符合题意；
B、∵
∴xy=12
故B不符合题意；
C、∵
∴4x=3y
故C符合题意；
D、∵4x=3y
∴，
∴设x=3k，y=4k
故D不符合题意；
故答案为：C .
【分析】利用比例的性质进行计算，逐一判断即可解答.
8．（2025九上·永康期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值：
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
-1 -0.28 0.48 1.28 2.12
根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格可知，当x=2.6时，y=-0.28<0，当x=2.7，y=0.48>0，
∴二次函数y=2x2-3x-6与x轴一个交点在直线x=2.6和直线x=2.7之间，
∴方程2x2-3x-6=0的一个解x的范围是2.6故答案为：B.
【分析】根据表格可知二次函数y=2x2-3x-6与x轴一个交点在直线x=2.6和直线x=2.7之间，即可求解.
9．（2025九上·永康期中）如图，已知 ，四边形 的面积为 若 经过 的重心，则 的面积为（　　）
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】C
【知识点】三角形的重心及应用；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵DE经过△ABC的重心，
∴DF//BC， DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC，
∴
∴
∴，，
∴设△ABC的面积为9k，则△BDE的面积为4k，△ADF的面积为k，
∴四边形DECF的面积为9k-4k-k=4k，
4k=12，
∴k=3，
∴9k=27.
故答案为：C .
【分析】设重心为G，则BG=2GH，根据三角形相似的判定与性质可得，，，列出方程组并求解即可.
10．（2025九上·永康期中）如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，若的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作直径，过点作的直径，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，的半径是10，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
∴在x，y值的变化过程中，代数式的值不变．
故选：C．
【分析】
分别过点、作直径、，连接，，由题意结合圆周角定理可得，则，由于直径AE＝BF，则可依据“”判定全等，则，然后在中应用勾股定理即可．
11．（2025九上·永康期中）已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为　 　
【答案】4π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6，
∴扇形的弧长是：.
故答案为：4π .
【分析】直接利用弧长公式求出即可.
12．（2025九上·永康期中）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为　 　
【答案】y=3x2+12x+11.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为 ：
y=3（x+2）2-1，
整理为：y=3x2+12x+11.
故答案为：y=3x2+12x+11.
【分析】首先根据抛物线的平移变换规律得出平移后的抛物线的顶点式，进而转换成一般形式即可。
13．（2025九上·永康期中）一只不透明的袋中，装有3枚白色棋子和n枚黑色棋子，除颜色外其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，则n的值可能是 　 　．
【答案】12
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，
∴小明从中随机摸出一枚棋子，摸到黑色棋子的概率为，
∴，解得n=12，
经检验，n=12是方程的解，且符合题意，
故答案为：12 .
【分析】根据频率与概率的关系可知，当小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，得到概率为，再由简单概率公式列式求解即可得到答案.
14．（2025九上·永康期中）如图，点A、B、C在⊙O上，若，则∠BCO的度数为　 　.
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC=20°
∴∠BOC=2∠BAC=40°
∵OB=OC
∴∠BCO=∠CBO
∴
故答案为：70° .
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠BOC=2∠BAC，载根据等腰三角形的性质可得∠BCO=∠CBO，再根据三角形内角和定理即可求解.
15．（2025九上·永康期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BD，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图所示，
∵∠ABC=90°，AB=2，∠BCA=30°，
∴AC=2AB=4，，∠BAD=60°，
∵以点B为圆心，AB的长为半径作弧，
∴BD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=2，
∴DC=AC-AD=2，
∴△BDC是等腰三角形，
∴∠DBC=30°，
∴， ∠ABD =60°，
∴S阴影=S扇形ABD-S△ABD+S△BDC-S扇形BDE
=S扇形ABD-(S△ABC-S△BDC)+S△BDC-S扇形BDE
故答案为： .
【分析】连接BD，过点D作DF⊥BC，垂足为F，找出S阴影=S扇形ABD-S△ABD+S△BDC-S扇形BDE即可求出答案.
16．（2025九上·永康期中）数学兴趣小组进行探究性学习时，把由8个全等的正方形组成的纸片（如图）放入矩形中，纸片的四个顶点分别落在矩形的边上，顶点落在矩形内，通过测量发现顶点到的距离为，并测得，通过探究求出了这个纸片（阴影部分）的面积为　 　．
【答案】40
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵
∴设AH=5x，BH=4x
∴AB=CD=9x，
根据题意得：
∠DEF+∠EFD=∠AEM+∠DEF=∠GFC+∠EFD=∠FGC+∠HGB=90°
∴∠DEF=∠HGB，∠DEF=∠GFC
∵∠D=∠B=90°
∴△DEF∽△BGH，
∴
∴DF=6x，
∴FC=3x
∵EF=FG，∠D=∠C，∠DEF=∠GFC
∴△DEF≌△CFG(AAS)，
∴CG=DF=6x，
∴
∴
∴BG=2x
延长EM交GH的延长线于点K，过点 M作MN⊥AE，如图所示：
同理得：△BGH≌△NME(AAS)
∴NM=BG=2x，NE=BH=4x，
∴，
∴阴影部分小正方形的边长为：，
∴
∵∠BHG=∠PHK
∴
∴
∴
∴
∴
根据题意得：四边形MNAP为矩形，
∴PM=AN= 1
∴AE=4x+1，
∴
解得：x=1
∴阴影部分小正方形的边长为：
面积为：
故答案为：40 .
【分析】根据题意设AH=5x，BH=4x，再由相似三角形的判定和性质得出△DEF∽△BGH，，利用全等三角形的判定和性质得出△DEF≌△CFG(AAS)，△BGH≌△NME(AAS)，利用正切函数的定义得出，结合图形求解即可.
17．（2025九上·永康期中）已知实数 满足 ，
（1）求出 的值
（2）若2a+4b=11，求出a，b的值.
【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：设a=5k，b=3k(k≠0)，
2a+4b=11
2×5k+4×3k=11
解得
∴，
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】(1)由可得，将其代入即可求解；
(2)设比例系数为k，则a=5k，b=3k，代入方程2a+4b=11，得到关于k的一元一次方程，求出，再代入即可求解.
18．（2025九上·永康期中）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）判断点是否在二次函数图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线的顶点式为
将点代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点在这条抛物线的图象上．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)由抛物线的顶点坐标是(1，2)，可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2，再把(0，0)代入解析式求出a即可；
(2)当x=2时求出y的值即可判断.
19．（2025九上·永康期中）中华文化之瑰宝——“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》 和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位.
（1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是　 　.
（2）若从这四大名著中随机抽取两套(先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套)， 请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率。
【答案】（1）
（2）解：记《水浒传》、《三国演义》和《红楼梦》分别为A、B、C、D，
列树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的有2种，
∴抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：(1)从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是，
故答案为：.
【分析】(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)列树状图展示所有12种等可能的结果数，找出学生乙和学生丙都没有抽到《西游记》的结果数，然后根据概率公式求解.
20．（2025九上·永康期中）如图，已知△ADE∽△ABC，AB=15cm，AD=9cm，BC=12cm，∠BAC=65°，∠ABC=40°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
【答案】（1）解：∵∠BAC=65°，∠ABC=40°，
∴∠C =180°-∠BAC-∠ABC=180°-65°-40°=75°
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=75°
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴
即，
解得：
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C，再根据相似三角形的性质即可得到∠ADE和∠AED的度数；
(2)根据相似三角形的相似比可直接得到答案.
21．（2025九上·永康期中）如图，OA=OB，AB交于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC=BD；
（2）若CD=6，EF=1，求的半径
【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，CD为☉O的弦，
∴CF=DF，
∵OA=OB ，OE⊥AB，
∴AF=BF ，
∴AF-CF=BF-DF ，
∴AC=BD
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，CD为☉O的弦
∴，∠OFC=90°
∴CO2=CF2+OF2
设⊙O的半径是r，
∴r2=32+(r-1)2
解得r=5，
∴⊙O的半径是5.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)由垂径定理得CF=DF，根据等腰三角形的性质可得AF=BF，再根据线段的和差关系可得结论；
(2)连接OC，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可.
22．（2025九上·永康期中） 某大型游乐园里有一个热门游乐项目， 每场可供 200 人同时游玩， 当游玩票价为 50 元时， 该项目每场均为满员状态. 市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间(含 50 元和 80 元) 浮动时， 每提高 2 元， 每场人数会减少 4 人.
（1）设票价为 元，请写出每场人数 关于票价 的函数关系式.
（2）已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元，根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系， 求此时的票价.
（3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：根据题意得：
，
∴y与x的函数关系式为y=300-2x
（2）解：x·y=x(300-2x)=10800
整理得：2x2-300x+10800=0，
化简得：x2-150x+5400=0，
解得x1=60，x1=90，
∵50≤x≤80.
∴x=60.
∴此时的票价为60元
（3）解：设游乐园的营业收入w元，
根据题意得：w=x·y
=x(300-2x)
=-2x2+300x
=-2(x-75)2+11250
∵-2<0，50≤x≤80，
∴当x=75时，w最大，最大值为11250，
∴当票价为75时，营业收入最大为11250元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态，每提高2元，每场人数会减少4人列出v与x的函数解析式；
(2)根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系列出方程，解方程即可；
(3)根据“营业收入=票价×每场人数”列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
23．（2025九上·永康期中） 已知二次函数 ( 为常数 )的图像经过A（1 ， 5），对称轴为直线
（1）求二次函数的表达式.
（2）若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向右平移m（m>0）个单位长度后，恰好落在 的图像上，求m的值.
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为，求n的取值范围.
【答案】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线
∴设二次函数的解析式为，
把A(1，5)代入得，
解得
∴
整理得：，
∴二次函数的表达式
（2）解：点B平移后的点的坐标为(m+1，9)，
∵点B平移后的点在的图象上，
则9=(m+1)2+(m+1)+3，
解得m=1或m =-4(舍)，
∴m的值为1
（3）解：①当时：
由于n≤x≤1
故x=n时二次函数值最小，ymin=n2+n+3；
x=1时二次函数值最大，ymax=12+1+3=5
∴
解得
故时不符合题意.
②当时：
二次函数值最小，
x=-2时二次函数值最大，ymax=22-2+3=5
∵
∴时符合题意，
③当n<-2时：
时二次函数值最小，，
故x=n时二次函数值最大，ymax=n2+n+3
∵，n=-2或1，不符合题意.
综上可得n的取值范围为：.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
(2)先求出平移后点8的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
(3)分为，，n<-2时间，建立方程解题即可.
24．（2025九上·永康期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E在AB上，BE＝2，以CE为直径的⊙O交AO于点F，交AO的延长线于点G，OG交BC于点M，连结CG，BG，EF．
（1）求⊙O的半径和AF的长.
（2）求证：OM＝MG．
（3）线段AE上一点P，使得∠PFE和△BCG的一个内角相等，求EP的长.
【答案】（1）解：∵BC=4，BE=2，
∴
∴⊙O的半径为，
如图：作OH⊥BE于点H，
∴，，AH=AB-BH=5-1=4，
∴
∴
（2）证明：如图，过 O 作 于点 I，
，，
由 可得 ，
即 ，解得 ，
，即 .
（3）解： 过点 G 作 于点 N.
由 (2) 可得 ，，
，即 是等腰直角三角形，GF 是直径，，
.
点 P 由以下两种可能：
① 当 时， 是等腰直角三角形.
.
② 当 时，
由
可得 ，
，
解得
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)由勾股定理可得，再结合圆的定义可求得圆的半径；如图：作OH⊥BE于点H，则OH=2、BH=EH=1、AH=4，再运用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答；
(2)如图，过O作OI⊥BC于点I，先说明OI//AB、OI=1，易得△OMI∽△AOH，运用相似三角形的性质可得，然后运用线段的和差即可证明结论；
(3)如图：过点G作GN⊥BC于点N，再说明∠FEP=∠FGB=∠NCG=45°，然后分∠PFE=∠NCG=45°和∠PFE=∠GBC两种情况解答即可.
1 / 1浙江省金华市永康第三中学2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷
1．（2025九上·永康期中）已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4 cm
2．（2025九上·永康期中）从一个装有 6 个红球， 4 个蓝球， 2 个白球和 1 个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
3．（2025九上·永康期中）二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·永康期中） 已知一个正多边形的内角是 ，则这个正多边形的边数为 （　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2025九上·永康期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·永康期中） 抛物线 与 轴的交点坐标是（　　）
A．(0， - 4) B．(4，0) C．(0，4) D．(4，0)
7．（2025九上·永康期中）已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　）
A． B． C． D．x＝3，y＝4
8．（2025九上·永康期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值：
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
-1 -0.28 0.48 1.28 2.12
根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·永康期中）如图，已知 ，四边形 的面积为 若 经过 的重心，则 的面积为（　　）
A．25 B．26 C．27 D．28
10．（2025九上·永康期中）如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，若的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·永康期中）已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为　 　
12．（2025九上·永康期中）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为　 　
13．（2025九上·永康期中）一只不透明的袋中，装有3枚白色棋子和n枚黑色棋子，除颜色外其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，则n的值可能是 　 　．
14．（2025九上·永康期中）如图，点A、B、C在⊙O上，若，则∠BCO的度数为　 　.
15．（2025九上·永康期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．（2025九上·永康期中）数学兴趣小组进行探究性学习时，把由8个全等的正方形组成的纸片（如图）放入矩形中，纸片的四个顶点分别落在矩形的边上，顶点落在矩形内，通过测量发现顶点到的距离为，并测得，通过探究求出了这个纸片（阴影部分）的面积为　 　．
17．（2025九上·永康期中）已知实数 满足 ，
（1）求出 的值
（2）若2a+4b=11，求出a，b的值.
18．（2025九上·永康期中）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）判断点是否在二次函数图象上，并说明理由．
19．（2025九上·永康期中）中华文化之瑰宝——“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》 和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位.
（1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是　 　.
（2）若从这四大名著中随机抽取两套(先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套)， 请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率。
20．（2025九上·永康期中）如图，已知△ADE∽△ABC，AB=15cm，AD=9cm，BC=12cm，∠BAC=65°，∠ABC=40°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
21．（2025九上·永康期中）如图，OA=OB，AB交于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC=BD；
（2）若CD=6，EF=1，求的半径
22．（2025九上·永康期中） 某大型游乐园里有一个热门游乐项目， 每场可供 200 人同时游玩， 当游玩票价为 50 元时， 该项目每场均为满员状态. 市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间(含 50 元和 80 元) 浮动时， 每提高 2 元， 每场人数会减少 4 人.
（1）设票价为 元，请写出每场人数 关于票价 的函数关系式.
（2）已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元，根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系， 求此时的票价.
（3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？
23．（2025九上·永康期中） 已知二次函数 ( 为常数 )的图像经过A（1 ， 5），对称轴为直线
（1）求二次函数的表达式.
（2）若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向右平移m（m>0）个单位长度后，恰好落在 的图像上，求m的值.
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为，求n的取值范围.
24．（2025九上·永康期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E在AB上，BE＝2，以CE为直径的⊙O交AO于点F，交AO的延长线于点G，OG交BC于点M，连结CG，BG，EF．
（1）求⊙O的半径和AF的长.
（2）求证：OM＝MG．
（3）线段AE上一点P，使得∠PFE和△BCG的一个内角相等，求EP的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在半径为2cm的圆内，
∴点P到圆心的距离小于2cm，
∴点P到圆心的距离可以是1cm，
故答案选：A.
【分析】由圆的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再与各选项比较大小得到答案.
2．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵所有的球中黑球最少，
∴摸出黑球的可能性最小，
故答案为： D.
【分析】找到个数最少的球即可确定正确的选项.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为y=(x-1)2+2，
∴该函数图象的顶点坐标为(1，2)，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数y=(x-1)2+2符合顶点式形式，直接得出顶点坐标即可.
4．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n=(n-2)·180°
解得n=6.
故答案为：B .
【分析】先根据多边形内角和公式表示出正多边形的内角和，再结合正多边形每个内角相等的性质列出方程，求解方程得到边数.
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1//l2/l3，
∴
∵AB=4，DE=3，EF=6
∴
∴BC=8
故答案为：C .
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-4.
∴抛物线y=2x2-4与y轴的交点坐标是(0，-4)
故答案为：A .
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可.
7．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴3x=4y
故A不符合题意；
B、∵
∴xy=12
故B不符合题意；
C、∵
∴4x=3y
故C符合题意；
D、∵4x=3y
∴，
∴设x=3k，y=4k
故D不符合题意；
故答案为：C .
【分析】利用比例的性质进行计算，逐一判断即可解答.
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格可知，当x=2.6时，y=-0.28<0，当x=2.7，y=0.48>0，
∴二次函数y=2x2-3x-6与x轴一个交点在直线x=2.6和直线x=2.7之间，
∴方程2x2-3x-6=0的一个解x的范围是2.6故答案为：B.
【分析】根据表格可知二次函数y=2x2-3x-6与x轴一个交点在直线x=2.6和直线x=2.7之间，即可求解.
9．【答案】C
【知识点】三角形的重心及应用；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵DE经过△ABC的重心，
∴DF//BC， DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC，
∴
∴
∴，，
∴设△ABC的面积为9k，则△BDE的面积为4k，△ADF的面积为k，
∴四边形DECF的面积为9k-4k-k=4k，
4k=12，
∴k=3，
∴9k=27.
故答案为：C .
【分析】设重心为G，则BG=2GH，根据三角形相似的判定与性质可得，，，列出方程组并求解即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作直径，过点作的直径，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，的半径是10，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
∴在x，y值的变化过程中，代数式的值不变．
故选：C．
【分析】
分别过点、作直径、，连接，，由题意结合圆周角定理可得，则，由于直径AE＝BF，则可依据“”判定全等，则，然后在中应用勾股定理即可．
11．【答案】4π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6，
∴扇形的弧长是：.
故答案为：4π .
【分析】直接利用弧长公式求出即可.
12．【答案】y=3x2+12x+11.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为 ：
y=3（x+2）2-1，
整理为：y=3x2+12x+11.
故答案为：y=3x2+12x+11.
【分析】首先根据抛物线的平移变换规律得出平移后的抛物线的顶点式，进而转换成一般形式即可。
13．【答案】12
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，
∴小明从中随机摸出一枚棋子，摸到黑色棋子的概率为，
∴，解得n=12，
经检验，n=12是方程的解，且符合题意，
故答案为：12 .
【分析】根据频率与概率的关系可知，当小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，得到概率为，再由简单概率公式列式求解即可得到答案.
14．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC=20°
∴∠BOC=2∠BAC=40°
∵OB=OC
∴∠BCO=∠CBO
∴
故答案为：70° .
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠BOC=2∠BAC，载根据等腰三角形的性质可得∠BCO=∠CBO，再根据三角形内角和定理即可求解.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BD，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图所示，
∵∠ABC=90°，AB=2，∠BCA=30°，
∴AC=2AB=4，，∠BAD=60°，
∵以点B为圆心，AB的长为半径作弧，
∴BD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=2，
∴DC=AC-AD=2，
∴△BDC是等腰三角形，
∴∠DBC=30°，
∴， ∠ABD =60°，
∴S阴影=S扇形ABD-S△ABD+S△BDC-S扇形BDE
=S扇形ABD-(S△ABC-S△BDC)+S△BDC-S扇形BDE
故答案为： .
【分析】连接BD，过点D作DF⊥BC，垂足为F，找出S阴影=S扇形ABD-S△ABD+S△BDC-S扇形BDE即可求出答案.
16．【答案】40
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵
∴设AH=5x，BH=4x
∴AB=CD=9x，
根据题意得：
∠DEF+∠EFD=∠AEM+∠DEF=∠GFC+∠EFD=∠FGC+∠HGB=90°
∴∠DEF=∠HGB，∠DEF=∠GFC
∵∠D=∠B=90°
∴△DEF∽△BGH，
∴
∴DF=6x，
∴FC=3x
∵EF=FG，∠D=∠C，∠DEF=∠GFC
∴△DEF≌△CFG(AAS)，
∴CG=DF=6x，
∴
∴
∴BG=2x
延长EM交GH的延长线于点K，过点 M作MN⊥AE，如图所示：
同理得：△BGH≌△NME(AAS)
∴NM=BG=2x，NE=BH=4x，
∴，
∴阴影部分小正方形的边长为：，
∴
∵∠BHG=∠PHK
∴
∴
∴
∴
∴
根据题意得：四边形MNAP为矩形，
∴PM=AN= 1
∴AE=4x+1，
∴
解得：x=1
∴阴影部分小正方形的边长为：
面积为：
故答案为：40 .
【分析】根据题意设AH=5x，BH=4x，再由相似三角形的判定和性质得出△DEF∽△BGH，，利用全等三角形的判定和性质得出△DEF≌△CFG(AAS)，△BGH≌△NME(AAS)，利用正切函数的定义得出，结合图形求解即可.
17．【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：设a=5k，b=3k(k≠0)，
2a+4b=11
2×5k+4×3k=11
解得
∴，
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】(1)由可得，将其代入即可求解；
(2)设比例系数为k，则a=5k，b=3k，代入方程2a+4b=11，得到关于k的一元一次方程，求出，再代入即可求解.
18．【答案】（1）解：设抛物线的顶点式为
将点代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点在这条抛物线的图象上．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)由抛物线的顶点坐标是(1，2)，可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2，再把(0，0)代入解析式求出a即可；
(2)当x=2时求出y的值即可判断.
19．【答案】（1）
（2）解：记《水浒传》、《三国演义》和《红楼梦》分别为A、B、C、D，
列树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的有2种，
∴抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：(1)从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是，
故答案为：.
【分析】(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)列树状图展示所有12种等可能的结果数，找出学生乙和学生丙都没有抽到《西游记》的结果数，然后根据概率公式求解.
20．【答案】（1）解：∵∠BAC=65°，∠ABC=40°，
∴∠C =180°-∠BAC-∠ABC=180°-65°-40°=75°
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=75°
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴
即，
解得：
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C，再根据相似三角形的性质即可得到∠ADE和∠AED的度数；
(2)根据相似三角形的相似比可直接得到答案.
21．【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，CD为☉O的弦，
∴CF=DF，
∵OA=OB ，OE⊥AB，
∴AF=BF ，
∴AF-CF=BF-DF ，
∴AC=BD
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，CD为☉O的弦
∴，∠OFC=90°
∴CO2=CF2+OF2
设⊙O的半径是r，
∴r2=32+(r-1)2
解得r=5，
∴⊙O的半径是5.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)由垂径定理得CF=DF，根据等腰三角形的性质可得AF=BF，再根据线段的和差关系可得结论；
(2)连接OC，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可.
22．【答案】（1）解：根据题意得：
，
∴y与x的函数关系式为y=300-2x
（2）解：x·y=x(300-2x)=10800
整理得：2x2-300x+10800=0，
化简得：x2-150x+5400=0，
解得x1=60，x1=90，
∵50≤x≤80.
∴x=60.
∴此时的票价为60元
（3）解：设游乐园的营业收入w元，
根据题意得：w=x·y
=x(300-2x)
=-2x2+300x
=-2(x-75)2+11250
∵-2<0，50≤x≤80，
∴当x=75时，w最大，最大值为11250，
∴当票价为75时，营业收入最大为11250元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态，每提高2元，每场人数会减少4人列出v与x的函数解析式；
(2)根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系列出方程，解方程即可；
(3)根据“营业收入=票价×每场人数”列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
23．【答案】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线
∴设二次函数的解析式为，
把A(1，5)代入得，
解得
∴
整理得：，
∴二次函数的表达式
（2）解：点B平移后的点的坐标为(m+1，9)，
∵点B平移后的点在的图象上，
则9=(m+1)2+(m+1)+3，
解得m=1或m =-4(舍)，
∴m的值为1
（3）解：①当时：
由于n≤x≤1
故x=n时二次函数值最小，ymin=n2+n+3；
x=1时二次函数值最大，ymax=12+1+3=5
∴
解得
故时不符合题意.
②当时：
二次函数值最小，
x=-2时二次函数值最大，ymax=22-2+3=5
∵
∴时符合题意，
③当n<-2时：
时二次函数值最小，，
故x=n时二次函数值最大，ymax=n2+n+3
∵，n=-2或1，不符合题意.
综上可得n的取值范围为：.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
(2)先求出平移后点8的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
(3)分为，，n<-2时间，建立方程解题即可.
24．【答案】（1）解：∵BC=4，BE=2，
∴
∴⊙O的半径为，
如图：作OH⊥BE于点H，
∴，，AH=AB-BH=5-1=4，
∴
∴
（2）证明：如图，过 O 作 于点 I，
，，
由 可得 ，
即 ，解得 ，
，即 .
（3）解： 过点 G 作 于点 N.
由 (2) 可得 ，，
，即 是等腰直角三角形，GF 是直径，，
.
点 P 由以下两种可能：
① 当 时， 是等腰直角三角形.
.
② 当 时，
由
可得 ，
，
解得
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)由勾股定理可得，再结合圆的定义可求得圆的半径；如图：作OH⊥BE于点H，则OH=2、BH=EH=1、AH=4，再运用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答；
(2)如图，过O作OI⊥BC于点I，先说明OI//AB、OI=1，易得△OMI∽△AOH，运用相似三角形的性质可得，然后运用线段的和差即可证明结论；
(3)如图：过点G作GN⊥BC于点N，再说明∠FEP=∠FGB=∠NCG=45°，然后分∠PFE=∠NCG=45°和∠PFE=∠GBC两种情况解答即可.
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