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浙江省温州市新素质教育联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．（2025九上·温州期中）在下列设计图案中，绕着一个固定点旋转后，能和原图形重合的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·温州期中）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025九上·温州期中）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y=x+2 B． C．y=2x-1 D．
4．（2025九上·温州期中）已知，那么等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·温州期中）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．水中捞月 B．浑水摸鱼 C．水滴石穿 D．守株待兔
6．（2025九上·温州期中）如图，用制作的表盘模型，其中点A，B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使，则点C应位于表盘的（　　）
A．“7时”处 B．“8时”处 C．“9时”处 D．“10时”处
7．（2025九上·温州期中）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·温州期中）已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·温州期中）如图，在中，为直径，点C，D分别在两侧，连接．若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·温州期中）如图1，，点D在线段上，交射线于点E，连接，设，的面积为y．若y关于x的函数图象如图2所示，则图1中的长是（　　）
A．7 B． C．14 D．15
11．（2025九上·温州期中）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是　 　．
12．（2025九上·温州期中）物理某一实验的电路图如图所示，其中为电路开关，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为　 　．
13．（2025九上·温州期中）抛物线（a为常数，）的对称轴是　 　．
14．（2025九上·温州期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为　 　度．
15．（2025九上·温州期中）小明同学在学习了九年级上册“比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在框架图的横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
16．（2025九上·温州期中）如图，在中，，是高线，延长交的外接圆于点E，连接．若，圆的面积为，则的长是　 　．
17．（2025九上·温州期中）如图，已知直线，直线AE交l，m，n分别于点A，C，E，直线BF交l，m，n分别于点B，D，F．已知，，，求的长．
18．（2025九上·温州期中）有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3；B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字4，5，小明先从A 布袋中随机取出一个小球，再从B 布袋中随机取出一个小球.
（1）请用列表或树状图表示小明取球的所有可能结果.
（2）求两次取出的球数字和大于6的概率.
19．（2025九上·温州期中）如图，是的弦，C是中点，点D在圆上，请按要求作图：①仅用无刻度直尺（不能用直尺的直角）；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．
（1）在图1中画出等腰三角形，使点E在圆上．
（2）在图2中连结，，并画出的平分线．
20．（2025九上·温州期中）已知抛物线（m为常数），请回答下列问题：
（1）点在该抛物线上，求m的值．
（2）若该抛物线经过点，当时，求k的取值范围．
21．（2025九上·温州期中）如图，中，，以为直径的圆分别交，于点D，E，连接，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
22．（2025九上·温州期中）某玩具批发商销售每只进价为20元的玩具，市场调查发现，若以每只30元的价格销售，则平均每天销售60只；若销售价每提高1元/只，则平均每天就少销售2只．设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售毛利润W（元）与销售价x（元/只）之间的函数关系式．
（3）物价部门规定每只售价不得高于35元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润？最大毛利润是多少元？（注：每只毛利润=每只销售价 每只进价）
23．（2025九上·温州期中）已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为．
（1）如图1，连结，求的度数．
（2）如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结．
①求证：；
②若，，求的半径．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，不能和原图形重合，不符合题意；
B． 该图形不是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，不能和原图形重合，不符合题意；
C． 该图形不是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，不能和原图形重合，不符合题意；
D． 该图形是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，能和原图形重合，符合题意；
故选：D．
【分析】根据中心对称图形的定义，逐项分析判断即可．
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为r=4，3<4，P点在圆内。
故答案为：A
【分析】dr在圆外。据此判断。
3．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A：y=x+2，x的次数为1，不符合题意；
B：y=x2-3，x的最高次数为2，且二次项系数为1≠ 0，符合题意；
C：y=2x-1，x的次数为1，不符合题意；
D：，x的次数为-1，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义，形如y=ax2+b+c(a≠0)的函数是二次函数，逐一判断各选项.
4．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
故选：D．
【分析】根据比例的性质将等积式转化为比例式，即可得出答案．
5．【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A.水中捞月：月亮在水中是虚影，无法捞取，一定不会发生，是不可能事件；
B.浑水摸鱼：鱼可能存在于浑水中，摸到鱼是可能的，是随机事件；
C.水滴石穿：水滴长期滴落能穿透石头，是必然事件；
D.守株待兔：兔子撞树是偶然的，可能发生，是随机事件；
∴只有A选项描述的事件是不可能事件
故答案为：A.
【分析】根据不可能事件的定义(一定不会发生的事件)，逐一判断各成语描述的事件是否不可能发生.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于C，连接，
是直径，
，
点C应位于表盘的“9时”处，
故选：．
【分析】连接，延长交于C，连接，根据直径所对的圆周角是直角可知，当是直径时，，据此即可得解．
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数二次项系数大于0，可得出抛物线开口向上，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，再根据对称轴为x=1，即可得出。
8．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC=AB，
∵AB=10cm，
∴AC=×10=（5-5）cm．
故选：C．
【分析】根据黄金分割的定义得到AC=AB，再把AB=10cm代入进行计算，即可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；邻补角
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】连接，根据圆周角定理得出，从而得出，再根据直径是12，得出半径，利用弧长公式进行计算，即可得出答案．
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当D是中点，即时，，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
故选：．
【分析】根据题意得出，再根据三角形的面积列出方程，解方程求出m，即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2-2．
故答案是：y＝x2-2．
【分析】根据平移的性质求出y＝x2-2即可作答。
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∴共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为．
故填：．
【分析】画树状图得出所有情况，再找出能让灯泡发光的情况，利用概率公式进行计算即可求解．
13．【答案】直线
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对于二次函数，其对称轴为直线．
∴函数的对称轴为直线．
故填：直线．
【分析】根据二次函数的对称轴公式求解即可．
14．【答案】40
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故填：40．
【分析】根据等腰三角形的性质得出，从而得出，，圆周角定理得出，即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
或（不符合题意，舍去），
∴．
故填：．
【分析】根据得出，根据得出，从而得出，得出或（不符合题意，舍去），即可得出．
16．【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，是高线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
∵，
∴是圆的直径，
∵圆的面积为，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴.
故填：．
【分析】根据等腰三角形三线合一得到，，，根据圆周角定理得到，可知，根据等角对等边得到，可知，即，根据可知是圆的直径，根据圆的面积为求出，根据勾股定理得到，可知，即，代入得到，求解一元二次方程即可．
17．【答案】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式进行计算，得出DF的长，利用BF=BD+DF得出BF的长，即可得出答案．
18．【答案】（1）解：画树状图得：
共6种等可能性结果，即(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5).
（2）解：两次取出的球数字和大于6的结果有3种，即(2，5)，(3，4)，(3，5)，
∴两次取出的球数字和大于6的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果；
(2)先求出两次取出的球数字和大于6的结果有3种，再根据概率公式求解即可.
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；角平分线的概念；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：（1）连接，延长交于E，连接，
C是中点，
，
，
是等腰三角形，
即为所求；
（2）如图，连接，延长交于F，连接，
C是中点，
，
，
是的平分线，
即为所求．
【分析】（1）连接，延长交于E，连接，根据垂径定理的推论得出，从而得出，即可得出即为所求；
（2）连接，延长交于F，连接，根据垂径定理的推论得出，从而得出，即可得出即为所求.
（1）解：连接，延长交于E，连接，
C是中点，
，
，
是等腰三角形，
即为所求．
（2）解：连接，延长交于F，连接，
C是中点，
，
，
是的平分线，
即为所求．
20．【答案】（1）解：∵点在抛物线上，
∴，
∴或；
（2）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴此抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，随着的增大而减小，得到的取值范围为，
在时，随着的增大而增大，的取值范围为，
综上所述，当时，的取值范围为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，即可求得的值；
（2）将点代入抛物线方程，得到，整理得到关于的二次函数即，得到对称轴为直线，此抛物线，开口向上，得出当时，随着的增大而减小，求得，当时，随着的增大而增大，求得，即可得出的取值范围为．
（1）解：将点代入抛物线方程，
得到，
故或．
答：的值为或．
（2）解：将点代入抛物线方程，
得到，
即，
此抛物线对称轴为直线，
当时，随着的增大而减小，得到的取值范围为，
在时，随着的增大而增大，的取值范围为，
综合得到当时，的取值范围为．
答：当时，的取值范围为．
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，则，
∴，
设，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
在中，，即
在中，，即，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，由相等的圆周角所对的弧相等得出，即可得出；
（2）由（1）可得，得出，设，得出，根据直径所对的圆周角得出，，再利用勾股定理列出关于x的方程，求解得出x的值，再进行计算即可得出．
（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，则，
∴，
∵，
故设，则，
∵是直径，
∴，
∴，
在中，，即
在中，，即，
∴
解得，
则．
22．【答案】（1）解： 设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只．
由题意得：；
（2）解：由题意得：；
（3）解：∵，
，
抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
规定每件售价不得高于35元，
当时，取得最大值为750元，
∴当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元．
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售量=原来的销售量-减少的销售量，列式进行计算，即可得出 y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=单价的利润×平均每天的销售量，列式进行计算，即可得出与的函数关系式；
（3）根据抛物线的性质得出抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，根据题意得出当时，取得最大值，把x=35代入进行计算求出w的值，即可得出最大毛利润 ．
（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：；
（3）解：，
，
抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
规定每件售价不得高于35元，
当时，取得最大值为750元，即当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元．
23．【答案】（1）解：连接，如图，
由折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）①证明：∵与关于直线对称，
∴
∵四边形是圆的内接四边形，
∴
∵，
∴；
②解：连接，，，如图，
由(1)，可得，弧=弧，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图，
∴，
即，．
∵圆心O在的垂直平分线上， ，
∴点E在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线所在直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴．
∴的半径为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，由折叠的性质得出，再证出是等边三角形，即可得出；
（2）①根据对称的性质得出根据圆内接四边形的性质得出，根据等角的补角相等，即可得出；
②连接，，，先证出为等边三角形，得出，从而得出，过点O作于点M，连接并延长交于点P，证明是的垂直平分线，求出PB和OP的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可得出的半径.
（1）解：连接，如图，
由折叠，得，
∵
∴
∴是等边三角形
∴．
（2）①∵与关于直线对称
∴
∵四边形是圆的内接四边形，
∴
∵，
∴．
②连接，，，如图，
由(1)，可得，弧=弧，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图
∴，即，．
∵圆心O在的垂直平分线上， ，
∴点E在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线所在直线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
∴．
答：的半径为．
1 / 1浙江省温州市新素质教育联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．（2025九上·温州期中）在下列设计图案中，绕着一个固定点旋转后，能和原图形重合的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，不能和原图形重合，不符合题意；
B． 该图形不是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，不能和原图形重合，不符合题意；
C． 该图形不是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，不能和原图形重合，不符合题意；
D． 该图形是中心对称图形，绕着一个固定点旋转后，能和原图形重合，符合题意；
故选：D．
【分析】根据中心对称图形的定义，逐项分析判断即可．
2．（2025九上·温州期中）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为r=4，3<4，P点在圆内。
故答案为：A
【分析】dr在圆外。据此判断。
3．（2025九上·温州期中）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y=x+2 B． C．y=2x-1 D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A：y=x+2，x的次数为1，不符合题意；
B：y=x2-3，x的最高次数为2，且二次项系数为1≠ 0，符合题意；
C：y=2x-1，x的次数为1，不符合题意；
D：，x的次数为-1，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义，形如y=ax2+b+c(a≠0)的函数是二次函数，逐一判断各选项.
4．（2025九上·温州期中）已知，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
故选：D．
【分析】根据比例的性质将等积式转化为比例式，即可得出答案．
5．（2025九上·温州期中）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．水中捞月 B．浑水摸鱼 C．水滴石穿 D．守株待兔
【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A.水中捞月：月亮在水中是虚影，无法捞取，一定不会发生，是不可能事件；
B.浑水摸鱼：鱼可能存在于浑水中，摸到鱼是可能的，是随机事件；
C.水滴石穿：水滴长期滴落能穿透石头，是必然事件；
D.守株待兔：兔子撞树是偶然的，可能发生，是随机事件；
∴只有A选项描述的事件是不可能事件
故答案为：A.
【分析】根据不可能事件的定义(一定不会发生的事件)，逐一判断各成语描述的事件是否不可能发生.
6．（2025九上·温州期中）如图，用制作的表盘模型，其中点A，B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使，则点C应位于表盘的（　　）
A．“7时”处 B．“8时”处 C．“9时”处 D．“10时”处
【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于C，连接，
是直径，
，
点C应位于表盘的“9时”处，
故选：．
【分析】连接，延长交于C，连接，根据直径所对的圆周角是直角可知，当是直径时，，据此即可得解．
7．（2025九上·温州期中）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数二次项系数大于0，可得出抛物线开口向上，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，再根据对称轴为x=1，即可得出。
8．（2025九上·温州期中）已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC=AB，
∵AB=10cm，
∴AC=×10=（5-5）cm．
故选：C．
【分析】根据黄金分割的定义得到AC=AB，再把AB=10cm代入进行计算，即可得出答案．
9．（2025九上·温州期中）如图，在中，为直径，点C，D分别在两侧，连接．若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；邻补角
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】连接，根据圆周角定理得出，从而得出，再根据直径是12，得出半径，利用弧长公式进行计算，即可得出答案．
10．（2025九上·温州期中）如图1，，点D在线段上，交射线于点E，连接，设，的面积为y．若y关于x的函数图象如图2所示，则图1中的长是（　　）
A．7 B． C．14 D．15
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当D是中点，即时，，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
故选：．
【分析】根据题意得出，再根据三角形的面积列出方程，解方程求出m，即可得出答案．
11．（2025九上·温州期中）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2-2．
故答案是：y＝x2-2．
【分析】根据平移的性质求出y＝x2-2即可作答。
12．（2025九上·温州期中）物理某一实验的电路图如图所示，其中为电路开关，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∴共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为．
故填：．
【分析】画树状图得出所有情况，再找出能让灯泡发光的情况，利用概率公式进行计算即可求解．
13．（2025九上·温州期中）抛物线（a为常数，）的对称轴是　 　．
【答案】直线
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对于二次函数，其对称轴为直线．
∴函数的对称轴为直线．
故填：直线．
【分析】根据二次函数的对称轴公式求解即可．
14．（2025九上·温州期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为　 　度．
【答案】40
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故填：40．
【分析】根据等腰三角形的性质得出，从而得出，，圆周角定理得出，即可得出答案．
15．（2025九上·温州期中）小明同学在学习了九年级上册“比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在框架图的横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
或（不符合题意，舍去），
∴．
故填：．
【分析】根据得出，根据得出，从而得出，得出或（不符合题意，舍去），即可得出．
16．（2025九上·温州期中）如图，在中，，是高线，延长交的外接圆于点E，连接．若，圆的面积为，则的长是　 　．
【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，是高线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
∵，
∴是圆的直径，
∵圆的面积为，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴.
故填：．
【分析】根据等腰三角形三线合一得到，，，根据圆周角定理得到，可知，根据等角对等边得到，可知，即，根据可知是圆的直径，根据圆的面积为求出，根据勾股定理得到，可知，即，代入得到，求解一元二次方程即可．
17．（2025九上·温州期中）如图，已知直线，直线AE交l，m，n分别于点A，C，E，直线BF交l，m，n分别于点B，D，F．已知，，，求的长．
【答案】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式进行计算，得出DF的长，利用BF=BD+DF得出BF的长，即可得出答案．
18．（2025九上·温州期中）有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3；B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字4，5，小明先从A 布袋中随机取出一个小球，再从B 布袋中随机取出一个小球.
（1）请用列表或树状图表示小明取球的所有可能结果.
（2）求两次取出的球数字和大于6的概率.
【答案】（1）解：画树状图得：
共6种等可能性结果，即(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5).
（2）解：两次取出的球数字和大于6的结果有3种，即(2，5)，(3，4)，(3，5)，
∴两次取出的球数字和大于6的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果；
(2)先求出两次取出的球数字和大于6的结果有3种，再根据概率公式求解即可.
19．（2025九上·温州期中）如图，是的弦，C是中点，点D在圆上，请按要求作图：①仅用无刻度直尺（不能用直尺的直角）；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．
（1）在图1中画出等腰三角形，使点E在圆上．
（2）在图2中连结，，并画出的平分线．
【答案】（1）
（2）
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；角平分线的概念；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：（1）连接，延长交于E，连接，
C是中点，
，
，
是等腰三角形，
即为所求；
（2）如图，连接，延长交于F，连接，
C是中点，
，
，
是的平分线，
即为所求．
【分析】（1）连接，延长交于E，连接，根据垂径定理的推论得出，从而得出，即可得出即为所求；
（2）连接，延长交于F，连接，根据垂径定理的推论得出，从而得出，即可得出即为所求.
（1）解：连接，延长交于E，连接，
C是中点，
，
，
是等腰三角形，
即为所求．
（2）解：连接，延长交于F，连接，
C是中点，
，
，
是的平分线，
即为所求．
20．（2025九上·温州期中）已知抛物线（m为常数），请回答下列问题：
（1）点在该抛物线上，求m的值．
（2）若该抛物线经过点，当时，求k的取值范围．
【答案】（1）解：∵点在抛物线上，
∴，
∴或；
（2）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴此抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，随着的增大而减小，得到的取值范围为，
在时，随着的增大而增大，的取值范围为，
综上所述，当时，的取值范围为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，即可求得的值；
（2）将点代入抛物线方程，得到，整理得到关于的二次函数即，得到对称轴为直线，此抛物线，开口向上，得出当时，随着的增大而减小，求得，当时，随着的增大而增大，求得，即可得出的取值范围为．
（1）解：将点代入抛物线方程，
得到，
故或．
答：的值为或．
（2）解：将点代入抛物线方程，
得到，
即，
此抛物线对称轴为直线，
当时，随着的增大而减小，得到的取值范围为，
在时，随着的增大而增大，的取值范围为，
综合得到当时，的取值范围为．
答：当时，的取值范围为．
21．（2025九上·温州期中）如图，中，，以为直径的圆分别交，于点D，E，连接，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，则，
∴，
设，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
在中，，即
在中，，即，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，由相等的圆周角所对的弧相等得出，即可得出；
（2）由（1）可得，得出，设，得出，根据直径所对的圆周角得出，，再利用勾股定理列出关于x的方程，求解得出x的值，再进行计算即可得出．
（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，则，
∴，
∵，
故设，则，
∵是直径，
∴，
∴，
在中，，即
在中，，即，
∴
解得，
则．
22．（2025九上·温州期中）某玩具批发商销售每只进价为20元的玩具，市场调查发现，若以每只30元的价格销售，则平均每天销售60只；若销售价每提高1元/只，则平均每天就少销售2只．设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售毛利润W（元）与销售价x（元/只）之间的函数关系式．
（3）物价部门规定每只售价不得高于35元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大毛利润？最大毛利润是多少元？（注：每只毛利润=每只销售价 每只进价）
【答案】（1）解： 设销售价为x元/只，平均每天的销售量为y只．
由题意得：；
（2）解：由题意得：；
（3）解：∵，
，
抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
规定每件售价不得高于35元，
当时，取得最大值为750元，
∴当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元．
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售量=原来的销售量-减少的销售量，列式进行计算，即可得出 y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=单价的利润×平均每天的销售量，列式进行计算，即可得出与的函数关系式；
（3）根据抛物线的性质得出抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，根据题意得出当时，取得最大值，把x=35代入进行计算求出w的值，即可得出最大毛利润 ．
（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：；
（3）解：，
，
抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
规定每件售价不得高于35元，
当时，取得最大值为750元，即当每只玩具的销售价为35元时，可以获得最大毛利润，最大毛利润是750元．
23．（2025九上·温州期中）已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为．
（1）如图1，连结，求的度数．
（2）如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结．
①求证：；
②若，，求的半径．
【答案】（1）解：连接，如图，
由折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）①证明：∵与关于直线对称，
∴
∵四边形是圆的内接四边形，
∴
∵，
∴；
②解：连接，，，如图，
由(1)，可得，弧=弧，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图，
∴，
即，．
∵圆心O在的垂直平分线上， ，
∴点E在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线所在直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴．
∴的半径为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，由折叠的性质得出，再证出是等边三角形，即可得出；
（2）①根据对称的性质得出根据圆内接四边形的性质得出，根据等角的补角相等，即可得出；
②连接，，，先证出为等边三角形，得出，从而得出，过点O作于点M，连接并延长交于点P，证明是的垂直平分线，求出PB和OP的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可得出的半径.
（1）解：连接，如图，
由折叠，得，
∵
∴
∴是等边三角形
∴．
（2）①∵与关于直线对称
∴
∵四边形是圆的内接四边形，
∴
∵，
∴．
②连接，，，如图，
由(1)，可得，弧=弧，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图
∴，即，．
∵圆心O在的垂直平分线上， ，
∴点E在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线所在直线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
∴．
答：的半径为．
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