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四川省成都实验外国语学校融通班2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．（2025九上·成都期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，
∴此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，
∴此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，
∴此选项不符合题意；
D、与，是同类二次根式，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】由题意，先将各选项化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义"被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式"即可判断求解．
2．（2025九上·成都期中）若是方程的一个根，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的一个根，设方程的另一个根为x2，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数，设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则，据此直接求解即可.
3．（2025九上·成都期中）如图，数轴上的点、分别对应数、，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴知：，，故A、B选项错误，不符合题意；
由于异号得负，所以，故选项正确，符合题意；
由于，，所以，故选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点可得a＜0＜b，|a|＜|b|，据此可直接判断A、B选项；根据有理数的乘法法则“异号两数相乘得负”可判断C选项；根据有理数加法法则“绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”可判断D选项.
4．（2025九上·成都期中）下列方程中，判断中错误的是（　　）
A．方程是分式方程
B．方程是二元二次方程
C．方程是无理方程
D．方程是一元二次方程
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；分式方程的概念；无理方程；二元二次方程与方程组的认识
【解析】【解答】解：A、方程是分式方程，正确，故该选项不符合题意；
B、方程是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；
C、方程是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；
D、 因为可以化为x2+2=0，所以是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】分母中含有未知数的方程就是分式方程，据此可判断A选项；含有两个未知数，且未知数项的最高次数为2的整式方程就是二元二次方程，据此可判断B选项；根号下含有未知数的方程就是无理方程，据此可判断C选项；含有一个未知数，且未知数项的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，据此可判断D选项.
5．（2025九上·成都期中）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：，
，
，
关于的分式方程的解为正数，
且，即，
且，
且，
故答案为：B．
【分析】将m作为参数，根据解分式方程的步骤解该分式方程，用含m的式子表示出x，然后根据关于x的原方程的解为正数，可得关于字母m的不等式组，求解可得答案.
6．（2025九上·成都期中）若双曲线与直线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 双曲线与直线的一个交点坐标为，且双曲线与直线的交点关于原点对称，
∴ 另一个交点的坐标为.
故答案为：A.
【分析】双曲线关于原点对称，直线也经过原点，因此两个交点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”可直接得出答案.
7．（2025九上·成都期中）在中，若a，b，c满足，则最大边c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∴，即，
又∵c是最大边，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用配方法将等式变形为两个式子完全平方的和，根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可求出a、b的值，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可求出最大边c的取值范围.
8．（2025九上·成都期中）已知，则函数与轴的交点横坐标为a，b，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；数形结合
【解析】【解答】解：二次函数与x轴的交点横坐标为m，n，
将其图象往上平移1个单位长度可得出二次函数的图象，
如图所示观察图象，可知：．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得函数y=(x-m)(x-n)的图象向上平移一个单位长度可得函数y=(x-m)(x-n)+1的图象，故先画出函数的大致图象，再将其图象往上平移1个单位，并画出其大致图像，数形结合即可求解．
9．（2025九上·成都期中）已知，下列四个不等式中不正确的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故此选项错误；
B、当同号且为负数时（如），，故此选项不一定成立；
C、当同号时，（如或），，故此选项不一定成立；
D、∵a＜b，∴a-b＜0，故此选项正确，
综上，不正确的有ABC．
故答案为：ABC．
【分析】不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断A选项；利用举特例的方法可判断B、C选项；不等式的两边同时减去同式子，不等号的方向不改变，据此可判断D选项.
10．（2025九上·成都期中）已知二元二次方程组，下列关于该方程组的解的说法中，正确的是（　　）
A．方程组有且仅有2个实数解；
B．方程组没有负数解；
C．所有解都满足
D．若是此方程组的解，则也是此方程组的解．
【答案】C,D
【知识点】解二元二次方程组
【解析】【解答】解：
得③，
得④，
③+④×2得x2+2xy+y2=(x+y)2=16，
∴x+y=±4；
③-④×2得x2-2xy+y2=(x-y)2=4，
∴x-y=±2；
∴或或或
解得或或或
故A、B选项错误，不符合题意，C、D选项正确，符合题意.
故答案为：CD．
【分析】将方程组中的两个方程相加得x2+y2=10③，将方程组中的两个方程相减得xy=3④，从而由③+④×2可得(x+y)2=16，再开方得x+y=±4；由③-④×2得(x-y)2=4，再开方得x-y=±2；从而组合可得四个关于字母x、y的方程组，求解即可逐一判断得出答案.
11．（2025九上·成都期中）已知关于x的不等式的解集，则（　　）
A．有最大值；
B．；
C．的解集为；
D．的解集为或．
【答案】A,B,D
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由解集知，二次函数开口向下（），故有最大值，故A正确；
方程的两根为和，可得，，
代入可得，因为，则，即，故B正确；
将代入化简为，因为，解得，所以的解集为，故C错误；
将，代入，化简得，解得，即或，故D正确，
综上所述，ABD正确．
故答案为：ABD．
【分析】关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集，从图象角度看，就是求函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方部分对应的自变量的取值范围，而该不等式的解集为-1＜x＜3，说明抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点坐标为(-1，0)，(3，0)，且抛物线开口向下，而对于抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，a＜0，有最大值，从而可判断A选项；根据一元二次方程与二次函数的关系可得方程ax2+bx+c=0的两根为-1和3，利用一元二次方程根与系数的关系可得b=-2a，c=-3a，将其代入4a+3b+c可判断B选项；将c=-3a代入ax+c，求解即可判断C选项；将b=-2a与c=-3a代入bx2+a|x|-c＞0求解可判断D选项.
12．（2025九上·成都期中）函数 中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】由分式的分母不能为零及二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式组，求解即可得出x的取值范围.
13．（2025九上·成都期中）已知是方程的一个根，则　 　．
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
，
即，
，
则
，
故答案为：2025．
【分析】使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，据此把代入，整理得，从而整体代入待求式子整理得 ，然后通分计算后，再整体代入进行计算，即可得出答案.
14．（2025九上·成都期中）已知在时最大值为，最小值为2，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，最小值为；
∵当时，；
∴由对称性可知：当时，；
∵在时最大值为，最小值为2，
∴；
故答案为：.
【分析】利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式得出此函数的对称轴为直线x=-1，当x=-1时，函数最小值为2；然后算出x=-4时的函数值为11，再利用抛物线的对称性可得当x=2时函数值也为11，然后根据抛物线的增减性及给定取值范围内的最值即可确定m的取值范围.
15．（2025九上·成都期中）计算：
（1）计算：；
（2）因式分解：；
（3）解方程：；
（4）解方程：；
（5）解不等式：；
（6）解不等式：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：
去分母，得，
整理，得，
，
解得或；
经检验：是原方程的增根，舍去；是原方程的解；
∴方程的解为；
（4）解：，
，
，
，
解得或；
经检验：是原方程的解，是原方程的增根，舍去；
故；
（5）解：，
，
，
，
或，
解得或无解；
故；
（6）解：，
，
，
，
或，
解得或．
【知识点】解一元一次不等式组；因式分解-分组分解法；无理方程；实数的混合运算（含开方）；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时根据-1的奇数次幂等于-1，二次根式的性质、绝对值的性质及负整数指数幂的性质“”分别计算，再计算二次根式的乘法，进而进行加减运算即可；
（2）利用“二二”分组，将一二两项及三四两项分别分为一组，先在组内分别提取公因式，再在组间提取公式进行分解即可；
（3）方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x+2)(x-2)，约去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可；
（4）方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可；
（5）将不等式通过去括号、移项化为一元二次不等式的一般，然后将不等式的左边利用那个十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积为负数可得两个因式符号相反，从而转化为两个一元一次不等式组，求解即可；
（6）先通过移项、通分计算将不等式转化为的形式，根据两个因式的商为正数可得两个因式符号相同，从而转化为两个一元一次不等式组，求解即可.
（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）去分母，得，
整理，得，
，
解得或；
经检验：是原方程的增根，舍去；是原方程的解；
∴方程的解为；
（4），
，
，
，
解得或；
经检验：是原方程的解，是原方程的增根，舍去；
故；
（5），
，
，
，
或，
解得或无解；
故；
（6），
，
，
，
或，
解得或．
16．（2025九上·成都期中）民族要复兴，乡村必振兴．乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务．某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B 原料单价的 倍，若用1000 元收购A原料会比用1000元收购B原料少．生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元．市场调查发现：该产品每盒的售价是80 元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求A，B两种原料的单价；
（2）求每盒产品的成本(成本原料费其他成本)；
（3）设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？
【答案】（1）解：设原料单价为元，A原料单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，
∴，
答：A原料单价为元，原料单价为元．
（2）解：∵A原料单价为元，原料单价为元，
∴每盒产品的成本是：（元），
答：每盒产品的成本为40 元．
（3）解：设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，
根据题意，得，
，
，
∴抛物线开口向下，
∴当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元，根据总价除以单价等于数量及“ 用1000元收购A原料会比用1000元收购B原料少200kg ”列分式方程求解即可；
（2）根据单价乘以数量等于总价及每盒产品的成本=原料费其他成本，列式计算即可；
（3）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式，再根据所得函数解析式的性质求解即可.
（1）解：设原料单价为元，A原料单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，
∴，
答：A原料单价为元，原料单价为元．
（2）解：∵A原料单价为元，原料单价为元，
∴每盒产品的成本是：（元），
答：每盒产品的成本为40 元．
（3）解：设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，
根据题意，得，
，
，
∴抛物线开口向下，
∴当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000元．
17．（2025九上·成都期中）已知关于x的一元二次方程：．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若方程的两个根分别为，，且满足，求m的值；
（3）若等腰的一边长为3，另两边的长恰好是此方程的两个根，求的周长．
【答案】（1）解：方程总有实数根，理由：
∵为关于x的一元二次方程，
∴，
∵恒成立，
∴方程总有实数根．
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，
即，解得或．
（3）解：将方程因式分解得，
此时两根为2或m，
①若3为腰长，则，三边为3，3，2，周长为，
②若3为底边长，则，三边为2，2，3，周长为，
综上所述，的周长为7或8．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程，其判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，据此此题只需要证明根的判别式的值不为负数即可；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=，，据此求出和的值，由完全平方公式可得，从而整体代入可得关于m的方程，进而求解m的值；
（3）等腰三角形的两腰长度相等，需要分情况讨论已知边长3是腰长还是底边长，再结合方程的根来确定三角形三边的长度，最后根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出三角形的周长即可．
（1）解：方程总有实数根，
理由：∵为关于x的一元二次方程，
∴，
∵恒成立，
∴方程总有实数根．
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，
即，解得或．
（3）解：将方程因式分解得，
此时两根为2或m，
①若3为腰长，则，三边为3，3，2，周长为，
②若3为底边长，则，三边为2，2，3，周长为，
综上所述，的周长为7或8．
18．（2025九上·成都期中）材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式．
材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
已知函数．
（1）将函数拆分成整式与真分式的和的形式；
（2）若直线与函数的图象恰好只有一个交点，求实数的值；
（3）若点都在函数图象上，当时，求的最小值．
【答案】（1）解：∵
∴
；
（2）解：根据题意得，，
∴
当时，
解得，
则仅有一个交点，符合条件；
当时，
方程为一元二次方程，在中，，
，
令，此时仅有一个交点，
∴，
解得，
综上所述，的值为、、；
（3）解：由题意得，，，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】分式的加减法；一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）将x2+4利用配方法变形为x(x+1)-(x+1)+5，然后将x+1看成一个整体，利用多项式除以单项式法则进行计算即可；
（2）联立两个函数解析式可得，然后分k-1=0与k-1≠0两种情况，结合根的判别式求解即可；
（3）将点代入可得，，将两者进行相加，然后根据异分母分式加法法则计算后再利用分离整数法可变形为y，进而再利用配方法将其变形为y，结合偶数次幂的非负性可得答案.
（1）解：∵
∴
；
（2）解：根据题意得，
，
当时，
解得，
则仅有一个交点，符合条件；
当时，
方程为一元二次方程，在中，，
，
令，此时仅有一个交点，
∴，
解得，
综上所述，的值为、、；
（3）解：由题意得，，
，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
19．（2025九上·成都期中）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式．
（2）当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连接，求线段的长．
（3）将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．
当图象对应的函数值随的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求的取值范围；
设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，
∴，，
∴，
∴此抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：∵点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，点、点关于此抛物线的对称轴直线对称，
∴，
解得：，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
∴线段的长为；
（3）解：①当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知：点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意，
点A在左侧，点B在右侧；
可得：
解得：；
图象G在时，y随x的增大而先减小；在时，y随x的增大而增大；
则最低点即为抛物线顶点；
当，即时；点为图象G的最高点；
则；
由可得：；
当，即时；
点为图象G的最高点；则；
由得：；
∴综上，h的取值范围为：；
②或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解（3）②由题意，，即，
当线段与图象有公共点时，，
解得：，
当时，代入抛物线表达式可得，
设线段与抛物线的交点为点，则，
由题意可知点在线段上；
当，即时，则点在点上方，
∴，
又，
解得：；
当，即时；则点在点下方，
∴，
又，
解得：，
综上所述：或．
【分析】（）根据对称轴直线公式建立方程可求出b的值，再将(0，-2)代入可求出c的值，从而得到抛物线的解析式；
（）根据抛物线的对称性，可得A、B两点到对称轴直线的距离相等，据此建立方程求解得出m的值，从而得到A、B两点的横坐标得值，最后根据两点间距离公式可求出AB的长；
（）①根据抛物线的增减性可得点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意，点A在左侧，点B在右侧，据此建立出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围；根据函数的增减性得出抛物线的顶点是抛物线的最低点，然后分点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离与点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，两种情况求解即可；
由题意可得点在线段上，然后分在上方和在下方两种情况列出不等式组，解不等式组求解即可．
（1）解：∵抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，
∴，，
∴，
∴此抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：∵点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，点、点关于此抛物线的对称轴直线对称，
∴，
解得：，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
∴线段的长为；
（3）解：当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知：
点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意，
点A在左侧，点B在右侧；
可得：
解得：；
图象G在时，y随x的增大而先减小；在时，y随x的增大而增大；
则最低点即为抛物线顶点；
当，即时；点为图象G的最高点；
则；
由可得：；
当，即时；
点为图象G的最高点；则；
由得：；
∴综上，h的取值范围为：；
由题意，，即，
当线段与图象有公共点时，，
解得：，
当时，代入抛物线表达式可得，
设线段与抛物线的交点为点，则，
由题意可知点在线段上；
当，即时，则点在点上方，
∴，
又，
解得：；
当，即时；则点在点下方，
∴，
又，
解得：，
综上所述：或．
1 / 1四川省成都实验外国语学校融通班2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．（2025九上·成都期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·成都期中）若是方程的一个根，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·成都期中）如图，数轴上的点、分别对应数、，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·成都期中）下列方程中，判断中错误的是（　　）
A．方程是分式方程
B．方程是二元二次方程
C．方程是无理方程
D．方程是一元二次方程
5．（2025九上·成都期中）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
6．（2025九上·成都期中）若双曲线与直线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·成都期中）在中，若a，b，c满足，则最大边c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·成都期中）已知，则函数与轴的交点横坐标为a，b，且，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·成都期中）已知，下列四个不等式中不正确的有（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·成都期中）已知二元二次方程组，下列关于该方程组的解的说法中，正确的是（　　）
A．方程组有且仅有2个实数解；
B．方程组没有负数解；
C．所有解都满足
D．若是此方程组的解，则也是此方程组的解．
11．（2025九上·成都期中）已知关于x的不等式的解集，则（　　）
A．有最大值；
B．；
C．的解集为；
D．的解集为或．
12．（2025九上·成都期中）函数 中自变量x的取值范围是　 　．
13．（2025九上·成都期中）已知是方程的一个根，则　 　．
14．（2025九上·成都期中）已知在时最大值为，最小值为2，则的取值范围是　 　．
15．（2025九上·成都期中）计算：
（1）计算：；
（2）因式分解：；
（3）解方程：；
（4）解方程：；
（5）解不等式：；
（6）解不等式：．
16．（2025九上·成都期中）民族要复兴，乡村必振兴．乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务．某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B 原料单价的 倍，若用1000 元收购A原料会比用1000元收购B原料少．生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元．市场调查发现：该产品每盒的售价是80 元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求A，B两种原料的单价；
（2）求每盒产品的成本(成本原料费其他成本)；
（3）设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？
17．（2025九上·成都期中）已知关于x的一元二次方程：．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若方程的两个根分别为，，且满足，求m的值；
（3）若等腰的一边长为3，另两边的长恰好是此方程的两个根，求的周长．
18．（2025九上·成都期中）材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式．
材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
已知函数．
（1）将函数拆分成整式与真分式的和的形式；
（2）若直线与函数的图象恰好只有一个交点，求实数的值；
（3）若点都在函数图象上，当时，求的最小值．
19．（2025九上·成都期中）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式．
（2）当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连接，求线段的长．
（3）将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．
当图象对应的函数值随的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求的取值范围；
设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，
∴此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，
∴此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，
∴此选项不符合题意；
D、与，是同类二次根式，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】由题意，先将各选项化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义"被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式"即可判断求解．
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的一个根，设方程的另一个根为x2，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数，设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则，据此直接求解即可.
3．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的概念与意义；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴知：，，故A、B选项错误，不符合题意；
由于异号得负，所以，故选项正确，符合题意；
由于，，所以，故选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点可得a＜0＜b，|a|＜|b|，据此可直接判断A、B选项；根据有理数的乘法法则“异号两数相乘得负”可判断C选项；根据有理数加法法则“绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；分式方程的概念；无理方程；二元二次方程与方程组的认识
【解析】【解答】解：A、方程是分式方程，正确，故该选项不符合题意；
B、方程是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；
C、方程是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；
D、 因为可以化为x2+2=0，所以是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】分母中含有未知数的方程就是分式方程，据此可判断A选项；含有两个未知数，且未知数项的最高次数为2的整式方程就是二元二次方程，据此可判断B选项；根号下含有未知数的方程就是无理方程，据此可判断C选项；含有一个未知数，且未知数项的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，据此可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：，
，
，
关于的分式方程的解为正数，
且，即，
且，
且，
故答案为：B．
【分析】将m作为参数，根据解分式方程的步骤解该分式方程，用含m的式子表示出x，然后根据关于x的原方程的解为正数，可得关于字母m的不等式组，求解可得答案.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 双曲线与直线的一个交点坐标为，且双曲线与直线的交点关于原点对称，
∴ 另一个交点的坐标为.
故答案为：A.
【分析】双曲线关于原点对称，直线也经过原点，因此两个交点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”可直接得出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∴，即，
又∵c是最大边，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用配方法将等式变形为两个式子完全平方的和，根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可求出a、b的值，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可求出最大边c的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；数形结合
【解析】【解答】解：二次函数与x轴的交点横坐标为m，n，
将其图象往上平移1个单位长度可得出二次函数的图象，
如图所示观察图象，可知：．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得函数y=(x-m)(x-n)的图象向上平移一个单位长度可得函数y=(x-m)(x-n)+1的图象，故先画出函数的大致图象，再将其图象往上平移1个单位，并画出其大致图像，数形结合即可求解．
9．【答案】A,B,C
【知识点】不等式的性质；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故此选项错误；
B、当同号且为负数时（如），，故此选项不一定成立；
C、当同号时，（如或），，故此选项不一定成立；
D、∵a＜b，∴a-b＜0，故此选项正确，
综上，不正确的有ABC．
故答案为：ABC．
【分析】不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断A选项；利用举特例的方法可判断B、C选项；不等式的两边同时减去同式子，不等号的方向不改变，据此可判断D选项.
10．【答案】C,D
【知识点】解二元二次方程组
【解析】【解答】解：
得③，
得④，
③+④×2得x2+2xy+y2=(x+y)2=16，
∴x+y=±4；
③-④×2得x2-2xy+y2=(x-y)2=4，
∴x-y=±2；
∴或或或
解得或或或
故A、B选项错误，不符合题意，C、D选项正确，符合题意.
故答案为：CD．
【分析】将方程组中的两个方程相加得x2+y2=10③，将方程组中的两个方程相减得xy=3④，从而由③+④×2可得(x+y)2=16，再开方得x+y=±4；由③-④×2得(x-y)2=4，再开方得x-y=±2；从而组合可得四个关于字母x、y的方程组，求解即可逐一判断得出答案.
11．【答案】A,B,D
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由解集知，二次函数开口向下（），故有最大值，故A正确；
方程的两根为和，可得，，
代入可得，因为，则，即，故B正确；
将代入化简为，因为，解得，所以的解集为，故C错误；
将，代入，化简得，解得，即或，故D正确，
综上所述，ABD正确．
故答案为：ABD．
【分析】关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集，从图象角度看，就是求函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方部分对应的自变量的取值范围，而该不等式的解集为-1＜x＜3，说明抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点坐标为(-1，0)，(3，0)，且抛物线开口向下，而对于抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，a＜0，有最大值，从而可判断A选项；根据一元二次方程与二次函数的关系可得方程ax2+bx+c=0的两根为-1和3，利用一元二次方程根与系数的关系可得b=-2a，c=-3a，将其代入4a+3b+c可判断B选项；将c=-3a代入ax+c，求解即可判断C选项；将b=-2a与c=-3a代入bx2+a|x|-c＞0求解可判断D选项.
12．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】由分式的分母不能为零及二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式组，求解即可得出x的取值范围.
13．【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
，
即，
，
则
，
故答案为：2025．
【分析】使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，据此把代入，整理得，从而整体代入待求式子整理得 ，然后通分计算后，再整体代入进行计算，即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，最小值为；
∵当时，；
∴由对称性可知：当时，；
∵在时最大值为，最小值为2，
∴；
故答案为：.
【分析】利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式得出此函数的对称轴为直线x=-1，当x=-1时，函数最小值为2；然后算出x=-4时的函数值为11，再利用抛物线的对称性可得当x=2时函数值也为11，然后根据抛物线的增减性及给定取值范围内的最值即可确定m的取值范围.
15．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：
去分母，得，
整理，得，
，
解得或；
经检验：是原方程的增根，舍去；是原方程的解；
∴方程的解为；
（4）解：，
，
，
，
解得或；
经检验：是原方程的解，是原方程的增根，舍去；
故；
（5）解：，
，
，
，
或，
解得或无解；
故；
（6）解：，
，
，
，
或，
解得或．
【知识点】解一元一次不等式组；因式分解-分组分解法；无理方程；实数的混合运算（含开方）；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先代入特殊锐角三角函数值，同时根据-1的奇数次幂等于-1，二次根式的性质、绝对值的性质及负整数指数幂的性质“”分别计算，再计算二次根式的乘法，进而进行加减运算即可；
（2）利用“二二”分组，将一二两项及三四两项分别分为一组，先在组内分别提取公因式，再在组间提取公式进行分解即可；
（3）方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x+2)(x-2)，约去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可；
（4）方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可；
（5）将不等式通过去括号、移项化为一元二次不等式的一般，然后将不等式的左边利用那个十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积为负数可得两个因式符号相反，从而转化为两个一元一次不等式组，求解即可；
（6）先通过移项、通分计算将不等式转化为的形式，根据两个因式的商为正数可得两个因式符号相同，从而转化为两个一元一次不等式组，求解即可.
（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）去分母，得，
整理，得，
，
解得或；
经检验：是原方程的增根，舍去；是原方程的解；
∴方程的解为；
（4），
，
，
，
解得或；
经检验：是原方程的解，是原方程的增根，舍去；
故；
（5），
，
，
，
或，
解得或无解；
故；
（6），
，
，
，
或，
解得或．
16．【答案】（1）解：设原料单价为元，A原料单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，
∴，
答：A原料单价为元，原料单价为元．
（2）解：∵A原料单价为元，原料单价为元，
∴每盒产品的成本是：（元），
答：每盒产品的成本为40 元．
（3）解：设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，
根据题意，得，
，
，
∴抛物线开口向下，
∴当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元，根据总价除以单价等于数量及“ 用1000元收购A原料会比用1000元收购B原料少200kg ”列分式方程求解即可；
（2）根据单价乘以数量等于总价及每盒产品的成本=原料费其他成本，列式计算即可；
（3）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式，再根据所得函数解析式的性质求解即可.
（1）解：设原料单价为元，A原料单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，
∴，
答：A原料单价为元，原料单价为元．
（2）解：∵A原料单价为元，原料单价为元，
∴每盒产品的成本是：（元），
答：每盒产品的成本为40 元．
（3）解：设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，
根据题意，得，
，
，
∴抛物线开口向下，
∴当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000元．
17．【答案】（1）解：方程总有实数根，理由：
∵为关于x的一元二次方程，
∴，
∵恒成立，
∴方程总有实数根．
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，
即，解得或．
（3）解：将方程因式分解得，
此时两根为2或m，
①若3为腰长，则，三边为3，3，2，周长为，
②若3为底边长，则，三边为2，2，3，周长为，
综上所述，的周长为7或8．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程，其判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，据此此题只需要证明根的判别式的值不为负数即可；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=，，据此求出和的值，由完全平方公式可得，从而整体代入可得关于m的方程，进而求解m的值；
（3）等腰三角形的两腰长度相等，需要分情况讨论已知边长3是腰长还是底边长，再结合方程的根来确定三角形三边的长度，最后根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出三角形的周长即可．
（1）解：方程总有实数根，
理由：∵为关于x的一元二次方程，
∴，
∵恒成立，
∴方程总有实数根．
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，
即，解得或．
（3）解：将方程因式分解得，
此时两根为2或m，
①若3为腰长，则，三边为3，3，2，周长为，
②若3为底边长，则，三边为2，2，3，周长为，
综上所述，的周长为7或8．
18．【答案】（1）解：∵
∴
；
（2）解：根据题意得，，
∴
当时，
解得，
则仅有一个交点，符合条件；
当时，
方程为一元二次方程，在中，，
，
令，此时仅有一个交点，
∴，
解得，
综上所述，的值为、、；
（3）解：由题意得，，，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】分式的加减法；一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）将x2+4利用配方法变形为x(x+1)-(x+1)+5，然后将x+1看成一个整体，利用多项式除以单项式法则进行计算即可；
（2）联立两个函数解析式可得，然后分k-1=0与k-1≠0两种情况，结合根的判别式求解即可；
（3）将点代入可得，，将两者进行相加，然后根据异分母分式加法法则计算后再利用分离整数法可变形为y，进而再利用配方法将其变形为y，结合偶数次幂的非负性可得答案.
（1）解：∵
∴
；
（2）解：根据题意得，
，
当时，
解得，
则仅有一个交点，符合条件；
当时，
方程为一元二次方程，在中，，
，
令，此时仅有一个交点，
∴，
解得，
综上所述，的值为、、；
（3）解：由题意得，，
，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
19．【答案】（1）解：∵抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，
∴，，
∴，
∴此抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：∵点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，点、点关于此抛物线的对称轴直线对称，
∴，
解得：，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
∴线段的长为；
（3）解：①当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知：点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意，
点A在左侧，点B在右侧；
可得：
解得：；
图象G在时，y随x的增大而先减小；在时，y随x的增大而增大；
则最低点即为抛物线顶点；
当，即时；点为图象G的最高点；
则；
由可得：；
当，即时；
点为图象G的最高点；则；
由得：；
∴综上，h的取值范围为：；
②或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解（3）②由题意，，即，
当线段与图象有公共点时，，
解得：，
当时，代入抛物线表达式可得，
设线段与抛物线的交点为点，则，
由题意可知点在线段上；
当，即时，则点在点上方，
∴，
又，
解得：；
当，即时；则点在点下方，
∴，
又，
解得：，
综上所述：或．
【分析】（）根据对称轴直线公式建立方程可求出b的值，再将(0，-2)代入可求出c的值，从而得到抛物线的解析式；
（）根据抛物线的对称性，可得A、B两点到对称轴直线的距离相等，据此建立方程求解得出m的值，从而得到A、B两点的横坐标得值，最后根据两点间距离公式可求出AB的长；
（）①根据抛物线的增减性可得点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意，点A在左侧，点B在右侧，据此建立出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围；根据函数的增减性得出抛物线的顶点是抛物线的最低点，然后分点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离与点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，两种情况求解即可；
由题意可得点在线段上，然后分在上方和在下方两种情况列出不等式组，解不等式组求解即可．
（1）解：∵抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，
∴，，
∴，
∴此抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：∵点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，点、点关于此抛物线的对称轴直线对称，
∴，
解得：，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
∴线段的长为；
（3）解：当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知：
点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意，
点A在左侧，点B在右侧；
可得：
解得：；
图象G在时，y随x的增大而先减小；在时，y随x的增大而增大；
则最低点即为抛物线顶点；
当，即时；点为图象G的最高点；
则；
由可得：；
当，即时；
点为图象G的最高点；则；
由得：；
∴综上，h的取值范围为：；
由题意，，即，
当线段与图象有公共点时，，
解得：，
当时，代入抛物线表达式可得，
设线段与抛物线的交点为点，则，
由题意可知点在线段上；
当，即时，则点在点上方，
∴，
又，
解得：；
当，即时；则点在点下方，
∴，
又，
解得：，
综上所述：或．
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