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吉林省长春市2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列函数，属于二次函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
2. 下列事件中，属于不可能事件的是 （ ）
A. 某运动员跳高成绩为12米
B. 投掷一枚硬币，正面向上
C. 任意画一个正方形，它是轴对称图形
D. 射击运动员射击一次，命中靶心
3. 抛物线的顶点坐标为 （ ）
A. B.
C. D.
4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （ ）
A.
B.
C. 且
D. 且
5. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE、BD，且AE、BD相交于点F，，则 （ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B.已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 （ ）
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
7. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 （ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米。当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ）
A.6米 B.5米 C.4米 D.1米
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 计算： ________。
10. 将抛物线向右平移5个单位长度后，得到的抛物线的表达式是 ________。
11. 一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同。经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在，则袋子中的黄球有 ________个。
12. 对于任意正实数a、b，定义一种新的运算：。例：，按照这种运算方法，则 ________。
13. 如图，在中，，，，，则AD的长是 ________。
14. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④。其中正确的序号是 ________。
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15.（6分）解方程：。
16.（6分）如图，已知，且，求证：。
17.（6分）已知二次函数的图象经过点。
（1）求的值；
（2）当时，求的取值范围。
18.（7分） 榆林市博物馆是榆林市重点公共文化工程. 如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位， 分别为A，B，C，D. 现有甲、乙两车准备到该停车场停车， 甲车先从这四个车位中随机选择一个停放， 乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放.
（1） 甲车停放在A位置的概率为 ；
（2） 请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率.
19.(7分)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹.
(1)在图①中以线段AB为边画，使点C在格点上，且；
(2)在图②中以线段AB为边画，使；
(3)在图③中以线段AB为边画，使.
20.（7分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ，直线 与 轴交于点 . 点 在该抛物线上，设点 的横坐标为 .
（1） 求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2） 当 的面积是3时，求点 的坐标.
21.（8分） 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面. 如图 ① 所示是一款智能送货机器人，图 ② 是其侧面示意图，现测得其矩形底座 的高 为20 cm，上部显示屏 的长度为44 cm，侧面支架 的长度为150 cm， ， ，求该机器人的最高点 距地面 的高度（参考数据： ， ， ）.
22.（9分）【问题背景】
在四边形 中， 是线段 上一点，连结 ， 为射线 上一点（不与射线端点 重合），且 。
（1） 如图 ①，若四边形 为正方形，点 在线段 上，则 与 之间的关系是________；
【类比探究】
（2） 如图 ②，若四边形 为矩形，点 在 的延长线上，且 ，。探究线段 与 之间的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3） 如图 ②，在（2） 的条件下，过点 作 交 于点 ，延长 交 边于点 ，当 时，直接写出 的长。
23.（10分）如图，已知菱形 的边长为13，， 于点 ， 是边 上的一点（点 不与点 和 重合），作射线 ，在射线 上取点 ，使 ，以 、 为邻边作 。
（1）；
（2）当点 为 的中点时，求点 到直线 的距离；
（3）当点 落在 内部时，求 的取值范围；
（4）当 、 两个点中，存在至少一个点落在 的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时 的长。
24.（12分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴为直线 .
求该抛物线的表达式；
当 时，求 的最大值和最小值；
P为该抛物线上的一个动点，点P的横坐标为 ，以点P为中心作正方形ABCD， ，且 轴.
当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标 随 的增大而减小时，求 的取值范围；
当正方形ABCD的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为 时，直接写出 的值.
九年级期末检测 数学（市命题）
参考答案
一、1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.A 7.C 8.B
二、9. 10. 11.4 12. 13. 14. ②④
三、15. 解：，.
16. 证明：，. 又，，即，.
17. 解：（1） .
（2） .
18. 解：（1） .
（2） 画树状图如图.
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种，
甲、乙两车停放在相邻车位的概率为.
19. 解：（1） 如图 ①.
（2） 如图 ②.
（3） 如图 ③.
20. 解：（1） ，顶点坐标为.
（2） 或 .
21. 解：过点E、F分别作、，垂足分别为H、N，过点E作，垂足为M，则四边形EMNH为矩形，，，在中，，，，，，， 点F到CD的高度为， 矩形底座ABCD的高BC为20 cm， 点F距地面AB的高度约为.
22. 解:(1) ，.
（2） 且 ， 理由如下： 过点 作 于点 ， 作 于点 ， 四边形 是矩形， ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
(3) .
23. 解:(1) .
（2） 点 到直线 的距离是 .
（3） 过点 作 于点 . 当点 落在 上时， 此时 、、 三点重合； 当点 落在 上时， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， .
（4） 的长为 或 .
24. 解：（1） .
（2） 的最大值和最小值分别是 和 .
（3） ① 由题意， 得正方形 边长为 ， 轴， 轴， 、 轴， 的横坐标为 ， 且点 是正方形 的中心， 又 抛物线落在正方形内部的点的纵坐标 随 的增大而减小， 正方形 在直线 的左侧， 即 ， 解得 ， .
② 的值为 或 或 .

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