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iSlideYOUR LOGODesignPPTer第2课时　三角形内角和定理的推论第一章　1.1　三角形内角和定理初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.理解三角形外角的概念.(难点)
2.掌握三角形内角和定理的推论，并能灵活应用进行推理证明.(重点、难点)
情境引入
星期天，小杰到邻居大叔家玩，发现大叔正对着一个模板苦思冥想呢.原来，小杰的邻居大叔是某工厂的检验员，最近工厂生产了一种如图所示的模板，按规定∠C，∠A，∠B分别应等于90°，25°，35°，但∠A，∠B不能直接测量，大叔只测量出∠C为90°，
∠ADB=153°，现在正在思考这个模板是否合格呢.小杰知道了情况后，略一思考，便帮大叔解决了问题，你知道小杰是怎么做的吗？
一、
三角形的外角
知识梳理
△ABC内角的一条边与另一条边的 组成的角，称为△ABC的外角.
反向延长线
问题1　 (1)如图所示，∠ACB和∠ACD是相邻的内角外角，它们具有什么关系？它们的三要素(顶点和两边)分别具有什么关系？
提示　它们互为补角.它们各自的三要素中有两要素相同，即有公共顶点C和一条公共边CA，另一要素CB和CD互为反向延长线.
(2)如图所示，△ABC的顶点B处有几个外角，分别是哪几个角，它们具有什么关系？一个三角形共有几个外角？
提示　△ABC的顶点B处有2个外角，分别是∠1和∠3，它们是对顶角，相等.一个三角形共有6个外角.
知识梳理
在三角形的每个顶点处有2个外角，它们是对顶角的关系，一个三角形共有6个外角.
二、
三角形内角和定理的推论
问题2　(1)如图，∠ACD与∠A+∠B具有什么数量关系，试加以证明；
提示　∠ACD=∠A+∠B.
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠ACB=180°，
∴∠ACD=∠A+∠B.
(2)试比较∠ACD与∠A的大小，∠ACD与∠B的大小；
提示　∠ACD>∠A，∠ACD>∠B.
(3)如图是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A+∠B的关系吗？
提示　∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A，∠ECD=∠B，
∵∠ACD=∠ACE+∠ECD，
∴∠ACD=∠A+∠B.
知识梳理
三角形内角和定理的推论：
三角形的一个外角等于和它 的两个内角的和.
三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角.
注意点：(1)推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
(2)三角形内角和定理的这个推论，也是三角形外角的性质，它点明了三角形的外角和不相邻的两个内角之间的相等及不等关系.
不相邻
大于
例1　(课本P5例2)已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.
证明　∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，
∠B=∠C，
∴∠C=∠EAC.
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC=∠EAC.
∴∠DAC=∠C.
∴AD∥BC.
例2　(课本P5例3)已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.
求证：∠BPC>∠A.
证明　如图，延长BP，交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)，
∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，
∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠BPC>∠A.
反思感悟
三角形外角的性质是证明角之间不等关系的依据，注意灵活添加辅助线构建三角形外角性质的基本图形，以利用三角形外角的性质快捷证明.
跟踪训练　(1)如图是一个小马扎的结构图，小新发现∠1=∠2，量得∠3=110°.请你帮助小新计算∠1的度数为　　　　.
55°
解析　∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3=∠1+∠2=110°.
∵∠1=∠2，∴∠1=55°.
(2)请你解决情境引入的问题.
解　如图，延长AD交BC于点E.
∵∠ADB=∠B+∠DEB，∠DEB=∠A+∠C，
∴∠ADB=∠A+∠C+∠B=25°+90°+35°=150°.
由于实际测量的∠ADB=153°，因此这个零件不合格.
课堂小结
1.三角形的外角.
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为三角形的外角.
2.三角形内角和定理的推论.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
1.如图，AB∥CD，点E在线段BC上(不与点B，C重合)，连接DE.若∠D=40°，∠BED=60°，则∠B等于
A.10° B.20°
C.40° D.60°
课堂练习
√
解析　∵∠C+∠D=∠BED，∠D=40°，∠BED=60°，
∴∠C=20°.
又∵AB∥CD，∴∠B=∠C=20°.
2.将一副三角板(∠A=30°，∠E=45°)按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于
A.75° B.90° C.105° D.115°
√
解析　∵BA∥EF，∠A=30°，∴∠FCA=∠A=30°.
∵∠F=∠E=45°，∴∠AOF=∠FCA+∠F=30°+45°=75°.
课堂练习
3.如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数
为(　　)
A．110° B．100°
C．55° D．45°
B
课堂练习
4.如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，
AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是(　　)
A．30° B．40°
C．50° D．70°
B
课堂练习
5.如图，∠1的度数为　　　　.
解析　∠1=45°+55°=100°.
100°
课堂练习
6.我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB，AC于点D，E.你发现∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并加以证明.
解　∠BIC=∠BDI.
证明：∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠BAC)
=90°+∠BAC.
∵AI平分∠BAC，∴∠DAI=∠DAE.∵DE⊥AI，∴∠AID=90°.
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC.∴∠BIC=∠BDI.
课堂练习
谢谢

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