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iSlideYOUR LOGODesignPPTer第2课时　等腰三角形的判定与反证法第一章　1.2　等腰三角形初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.能证明等腰三角形的判定定理，并能灵活应用进行推理证明.(重点、难点)
2.理解反证法.(难点)
情境引入
如图，位于海上B，C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？
一、
等腰三角形的判定
问题　已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
提示　过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，如图所示.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB=AC.
知识梳理
等腰三角形的判定定理：有两个角 的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
符号语言：如图，在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC.
注意点：注意等腰三角形的判定不能这样叙述：两底角相等的三角形是等腰三角形.这是因为底角是等腰三角形的特殊称谓，这里等腰三角形是得到的结论，不是已知条件，因此在条件中不能说“底角”.
相等
例1　(课本P12例1)已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.
证明　∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS).
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).
∴AE=DE(等角对等边).
∴△AED是等腰三角形.
跟踪训练1　(1)如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
√
解析　∵∠A=36°，∠B=72°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=36°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=72°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB=∠A=36°，∠DEB=∠ACB=72°，∠CDE=∠ACD=36°，
∴△ACB，△ACD，△CDB，△CDE，△DEB都是等腰三角形，共5个.
(2)如图，已知AD平分∠CAE，AD∥BC.求证：△ABC是等腰三角形.
证明　∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC(等角对等边).
故△ABC是等腰三角形.
二、
反证法
知识梳理
1.在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为 .
2.用反证法证题的一般步骤：
(1)假设：先假设命题的结论不成立.
(2)归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果.
(3)结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
反证法
例2　(课本P13例2)用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.
证明　假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.
于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
反思感悟
反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
跟踪训练2　(1)用反证法证明命题“若a2<4，则|a|<2”时，应假设　　　.
(2)反证法是数学证明的一种重要方法.请补全下面运用反证法进行证明的过程.
已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B<90°.
证明：假设　　　　　，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B≥90°，
∴∠A+∠B+∠C>180°，
这与　　　　　　　　　　　　　.
∴　　　　　不成立.
∴∠B<90°.
|a|≥2
∠B≥90°
三角形内角和定理相矛盾
此假设
解析　证明：假设∠B≥90°，
∵AB=AC，∴∠C=∠B≥90°，
∴∠A+∠B+∠C>180°，
这与三角形内角和定理(或三角形的内角和等于180°)相矛盾.
∴此假设不成立.∴∠B<90°.
(3)求证：△ABC中不能有两个钝角.
证明　假设△ABC中能有两个钝角，即∠A<90°，∠B>90°，∠C>90°，
所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角.
课堂小结
1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).
2.反证法.
(1)假设结论不成立.
(2)从假设出发推出矛盾.
(3)假设不成立，则结论成立.
1.用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设
A.AB=AC
B.∠B=∠C
C.AB=AC且∠B=∠C
D.AB=AC且∠B≠∠C
课堂练习
√
2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个与它不相邻的内角的2倍.这个三角形是
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
√
课堂练习
3.如图，两条直线m，n被直线l所截，已知∠1≠∠2.求证：m与n不平行.用反证法证明时，假设为　　　　.
m∥n
课堂练习
证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△ABD≌△DCA（SSS）.
∴∠ADB=∠DAC（全等三角形的对应角相等）.
∴AE=DE（等角对等边）.
∴△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
4.如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.
课堂练习
证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC =∠C=72°.
又∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBC=36°.
∵∠A＝∠ABD=36°，∴BD=AD（等角对等边）.
又∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴BD=BC（等角对等边），
∴AD＝BC.
A
B
C
D
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
求证：AD＝BC.
课堂练习
6.如图，已知在△AOB中，点C在OA上，点E，D在OB上，且AB=AD，CD∥AB，CE∥AD，问：△CDE是否为等腰三角形？请说明你的理由.
解　△CDE是等腰三角形.理由如下：
∵CD∥AB，∴∠CDE=∠B，
又∵CE∥AD，∴∠CED=∠ADB，
又∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，
∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE，
∴△CDE是等腰三角形.
课堂练习
谢谢

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