资源简介

(共25张PPT)
YOUR LOGO
Design PPTer
第2课时　直角三角形全等的
判定
第一章　1.3　直角三角形
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程.
2.理解并掌握直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”，并能运用进行推理证明.(重点、难点)
3.综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等.(难点)
情境引入
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
一、
直角三角形全等的判定
——“斜边、直角边”
问题　(1)两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？
提示　不一定全等.
(2)任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画出一个Rt△A1B1C1，使∠C1=90°，B1C1=BC，A1B1=AB.把画好的Rt△A1B1C1剪下来，放到Rt△ABC上，它们能全等吗？
提示　两个直角三角形全等.
例1　已知：如图，线段a，c(a求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.
解　如图，(1)作∠MCN=∠α=90°；
(2)在射线CM上截取CB=a；
(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，
交射线CN于点A；
(4)连接AB，得到Rt△ABC.
例2　已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
证明　在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).
同理，B'C'2=A'B'2-A'C'2.
∵AB=A'B'，AC=A'C'，
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
知识梳理
1.文字语言：
斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简述为“斜边、直角边”或“HL”).
2.几何语言：如图，
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
相等
例3　(课本P26例题)如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？
解　根据题意，可知∠BAC=∠EDF=90°，
BC=EF，AC=DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).
∴∠CBA=∠DEF(全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)，
∴∠CBA+∠EFD=90°.
跟踪训练1　(1)如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，则判定Rt△ABC≌Rt△ABD的依据是
A.SAS B.SSS
C.HL D.无法确定
√
解析　∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).
(2)如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°，若∠ABC=35°，求∠CAO的度数.
解　∵∠ABC=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°-35°=55°.
∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形.
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∵Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)，∴∠BAD=∠ABC=35°.
∴∠CAO=∠BAC-∠BAD=55°-35°=20°.
二、
直角三角形全等判定的综合运用
例4　求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.
解　如图，已知在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，
CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，BC=B'C'，CD=C'D'，
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明：∵CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，
∴∠CDB=∠C'D'B'=90°，
在Rt△CDB与Rt△C'D'B'中，
∴Rt△CDB≌Rt△C'D'B'(HL)，∴∠B=∠B'，
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(ASA).
跟踪训练2　(1)两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等.能使这两个直角三角形全等的是
A.①② B.②③
C.①②③ D.①②③④
√
解析　∵直角三角形的一锐角对应相等，
∴另一锐角也对应相等，
又∵斜边对应相等，
∴可以利用ASA或AAS证出两个直角三角形全等，①正确；
∵斜边和一直角边对应相等，
∴可以利用HL证出两个直角三角形全等，②正确；
由有两条边相等，无法证出两个直角三角形全等，③不正确；
由两个锐角对应相等，无法证出两个直角三角形全等，④不正确.
∴能使这两个直角三角形全等的是①②.
(2)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由.
①　　　　　　　　(　　)；
②　　　　　　　　(　　)；
③　　　　　　　　(　　)；
④　　　　　　　　(　　).
BC=AD
HL
AC=BD
HL
∠DAB=∠CBA
AAS
∠DBA=∠CAB
AAS
课堂小结
1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
2.全等三角形的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL，“HL”只适用于两个直角三角形全等的判定.
1.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是
A.AE=DF B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AB=DC
课堂练习
√
解析　还需要添加的条件是AB=DC，理由：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).
2.如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC等于
A.28° B.59° C.60° D.62°
√
课堂练习
解析　在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB，
∴Rt△CAE≌Rt△DAE(HL)，
∴∠CAE=∠DAE=∠CAB，
∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=90°-28°=62°，
∴∠AEC=90°-∠CAB=90°-31°=59°.
课堂练习
3.如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO，CD⊥CO，AO=DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO，则需要添加的条件是
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.∠AOB=∠DOC D.OB=OD
√
课堂练习
解析　∵AB⊥BO，CD⊥CO，
∴∠ABO=∠DCO=90°，
∴△ABO和△DCO是直角三角形，AO=DO(斜边相等)，AB=DC(直角边相等)，符合两个直角三角形全等的判定定理HL，故A符合题意；
∠A=∠D，AO=DO，可利用AAS证明两三角形全等，不符合HL判定定理，故B不符合题意；
∠AOB=∠DOC，AO=DO，可利用AAS证明两三角形全等，不符合HL判定定理，故C不符合题意；
OB=OD，AO=DO，不能证明这两个直角三角形全等，故D不符合题意.
课堂练习
4.如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，求AB的长.
随堂演练
解　∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，∴∠DAE=∠EBC=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)，
∴AE=BC，AD=BE，
∵AD+BC=7，∴AB=BE+AE=AD+BC=7.
课堂练习
解:∵∠AFD=132°,
∴∠CFD=180°-∠AFD=48°.
∵FD⊥BC,DE⊥AB,
∴∠FDC=∠DEB=∠FDB=90°.
在Rt△BDE和Rt△CFD中,BD=CF,BE=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL),
∴∠BDE=∠CFD=48°,∴∠EDF=∠FDB-∠BDE=90°-48°=42°.
3.如图,BD=CF,FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BE=CD,∠AFD=132°,求∠EDF的度数？
随堂演练
谢谢

展开更多......

收起↑