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iSlideYOUR LOGODesignPPTer第1课时　直角三角形的性质与判定第一章　1.3　直角三角形
学习目标
1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法.(难点)
2.结合具体实例了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
课堂引入
直角三角形的性质：
(1)直角三角形的两个锐角互余.
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
(3)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
一、
直角三角形的性质与判定
问题1　(1)直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
(2)如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
知识梳理
定理1：直角三角形的两个锐角 .
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
互余
问题2　如图，是设计的一块正方形的地板砖模型，大正方形的边长是a+b，如图所示四个角上是4个同样大小的直角三角形，使得直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，用两种方法求地板砖中间的正方形的面积，你能得到什么结论？
提示　方法一　(a+b)2-4×ab=a2+b2.
方法二　c2.
结论a2+b2=c2.
知识梳理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2.
几何语言：如图，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2=c2.
问题3　证明：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，
求证：△ABC是直角三角形.
证明　作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，如图所示，
则BC=B'C'，AC=A'C'，
由勾股定理得A'B'====c.
∴A'B'=AB，
在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)，
∴∠C=∠C'=90°，∴△ABC是直角三角形.
知识梳理
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的______，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：如图，
∵在△ABC中，a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形.
平方
例1　在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且(a+b)(a-b)=c2，则
A.∠A为直角 B.∠C为直角
C.∠B为直角 D.不是直角三角形
√
解析　因为(a+b)(a-b)=c2，
所以a2-b2=c2，
所以a2=b2+c2.
所以△ABC是直角三角形，且∠A为直角.
跟踪训练1　(1)如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC=90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上.则四边形ABCD的周长为　　　　.
12+5
解析　AB=4，BC=3，CD==5，AD==5，
∴C四边形ABCD=4+3+5+5=12+5.
(2)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数.
解　如图所示，连接AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC2=AB2+BC2=8，∠BAC=45°，
又∵CD=3，DA=1，
∴AC2+DA2=8+1=9=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴∠DAB=45°+90°=135°.
二、
互逆命题与互逆定理
问题4　(1)观察下面4个定理：
定理1：直角三角形的两个锐角互余.
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理3：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
定理4：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流；
(2)再观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
知识梳理
1.在两个命题中，如果一个命题的 和 分别是另一个命题的____和 ，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题.
2.原命题是真命题，它的逆命题 是真命题.
3.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的 .
条件
结论
结论
条件
不一定
逆定理
例2　写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形.
解　(1)同旁内角互补，两直线平行.真命题.
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内).真命题.
(3)内错角相等.假命题.
(4)等边三角形有一个角是60°.真命题.
跟踪训练2　(1)命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论分别是什么？它的逆命题是什么？
(2)在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.
解　条件为两直线平行，结论为内错角相等.因此它的逆命题为内错角相等，两直线平行.
解　同位角相等，两直线平行.
逆命题：两直线平行，同位角相等(真命题).
课堂小结
1.以下命题的逆命题属于假命题的是
A.两角相等的三角形是等腰三角形
B.全等三角形的对应角相等
C.两直线平行，内错角相等
D.直角三角形的两个锐角互余
课堂练习
√
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=3∠C
√
课堂练习
解析　A选项，∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A-∠B=∠C，即2∠A=180°，∠A=90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，即∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意；
D选项，∠A=∠B=3∠C，根据三角形内角和定理得7∠C=180°，三个内角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意.
课堂练习
3.在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=6，b=8，那么斜边c的长为
A.6 B.8 C.10 D.14
解析　在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=6，b=8，
∴斜边c===10.
√
课堂练习
4.写出下列命题的逆命题，并判断真假.
(1)若x=3，则x2=9；
(2)三角形的任何两边之和大于第三边；
(3)面积相等的两个三角形全等.
随堂演练
解　(1)逆命题为：若x2=9，则x=3，它是假命题.
(2)逆命题为：如果三条线段中的任意两条线段之和都大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形，它是真命题.
(3)逆命题为：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等，它是真命题.
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD为BC边上的中线，若AC=5，AD=，求AB的长度.
解　∵∠C=90°，AC=5，AD=，
∴CD===6，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD=6，
∴BC=12，
∴AB===13，即AB的长度为13.
课堂练习
谢谢

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