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第1课时　等腰三角形的性质
第一章　1.2　等腰三角形
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.能够证明并掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用进行推理证明.(重点、难点)
2.掌握等边三角形的性质，并能灵活应用进行推理证明.(重点)
课堂引入
回顾一下之前学过的证明依据.
证明依据
一、
等腰三角形的性质
问题　如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并剪去阴影部分，再把它展开得到的△ABC是什么三角形？通过上述操作，你发现它有哪些性质？
知识梳理
1.定理：等腰三角形的两底角 (等边对等角).
几何语言：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
相等
知识梳理
2.定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 (三线合一).
几何语言：如图，在△ABC中，
①∵AB=AC，∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD，AD⊥BC.
②∵AB=AC，BD=CD(已知)，
∴∠1=∠2，AD⊥BC.
③∵AB=AC，AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD，∠1=∠2.
重合
例1　已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明　方法一　如图，取BC的中点D，连接AD.
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
例1　已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明　方法二　作顶角∠BAC的角平分线AD，
则∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，∵
∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
例1　已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明　方法三　在△ABC和△ACB中，
∵∴△ABC≌△ACB(SAS)，
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
跟踪训练1　(1)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB等于
A.100° B.115° C.130° D.145°
√
解析　∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=130°，
∴∠B=∠C==25°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠ADB=90°+25°=115°.
(2)如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，连接AD，E为AD上一点，连接BE.若∠ABE=25°，BE=AE，求∠BAC的度数.
解　∵BE=AE，∴∠BAD=∠ABE=25°.
∵AB=AC，点D为BC边的中点，∴AD平分∠BAC.
∴∠BAC=2∠BAD=50°.
二、
等边三角形的性质
知识梳理
等边三角形的三个内角都 ，并且每个角都等于 .
相等
60°
例2　请你完成命题“等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°”的证明.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明　∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
又∵AC=BC，
∴∠A=∠B(等边对等角).
∴∠A=∠B=∠C.
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
跟踪训练2　(1)如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠EDC等于
A.15° B.20°
C.25° D.30°
√
解析　∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD=∠BAC=30°，AD⊥BC，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD=180°，
∴∠ADE==75°，
∴∠EDC=15°.
(2)如图，△ABC为等边三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于点Q，求∠BQM的度数.
解　∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC，
在△AMB和△BNC中，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°.
课堂小结
1.
2.
1.如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，CD=2 cm，则BC的长度为
A.0.5 cm B.1 cm
C.2 cm D.4 cm
课堂练习
√
解析　∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴BC=2CD，
∵CD=2 cm，∴BC=4 cm.
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于
A.60° B.45° C.40° D.30°
√
解析　∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=×(180°-∠A)=×(180°-30°)=75°，
∵以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，∴BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=75°-30°=45°.
课堂练习
3.如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，DE⊥BC交AB于点E，则∠EDF的度数为
A.50° B.60° C.65° D.75°
解析　∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵DE⊥BC交AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BDE=∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°-60°=30°，
∴∠EDF=180°-90°-30°=60°.
√
课堂练习
4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，求∠A的度数.
解　设∠A=x°，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，解得x=36，
∴∠A=36°.
课堂练习
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
试说明：∠CBE=∠BAD.
解　因为AB=AC，AD是BC边上的中线，
所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
所以∠CAD+∠C=90°.
因为BE⊥AC，所以∠CBE+∠C=90°.
所以∠CBE=∠CAD.
所以∠CBE=∠BAD.
课堂练习
谢谢

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