资源简介

(共20张PPT)
情景引入
杨辉是我国南宋末年的一位杰出
的数学家。在他所著的《详解九章算法》
一书中，画了一张表示二项式展开后的
系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角” 的规律进行探讨和研究。
阅读与思考
——杨辉三角
1.建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律，让学生感受我国古代数学成就和数学美，激发学生的民族自豪感.
2.通过研究(a+b)n 的展开式的规律，探索杨辉三角与其他数学对象之间的联系，培养观察能力和归纳推理能力.
学习目标
新知探究
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨.
(a+b)2与杨辉三角
(a+b)2＝a2+2ab+b2，此代数式的系数为：1 2 1
(a+b)3=
到此我们似乎发现了一些规律，发现以下呈三角形的数列：
a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
代数式的系数为：1 4 6 4 1
此代数式的系数为： 1 3 3 1
新知探究
(a+b)2与杨辉三角
新知探究
(1)
(1+1=2)
(1+2+1=4)
(1+3+3+1=8)
(1+4+6+4+1=16)
(1+5+10+10+5+1=32)
(1+6+15+20+15+6+1=64)
杨辉三角的幂的关系
首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：
相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2n-1.
新知探究
杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
①
②
③
④
⑤
⑥
把斜行①中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
②：1+2+3+4+5=15
③：1+3+6+10=20
④：1+4+10=15
⑤：1+5=6
⑥1
将上面得到的数字与第7行中的数字对比你有什么发现？
新知归纳
由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-2)中第n行之前的数字之和、1。
杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
新知探究
(a+b)1=
(a+b)2=
(a+b)3=
(a+b)4=
(a+b)5=
(a+b)6=
1a+1b
1a2+2ab+1b2
1a3+3a2b+3ab2+1b3
1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6
杨辉三角字母指数的关系
1
各项次数都等于n，且按照a或b的降幂排列.你能试着写出第8行吗？
归纳总结
1、每个数等于它上方两数之和.
2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大.
3、第n行的数字有n项。
4、第n行数字和为2(n-1)。
5、(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项；各项次数和等于n且按某一字母的降幂排列。
典例分析
例1　(2018·孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，…记a1＝1，a2＝3，a3＝6，
a4＝10，…那么a4＋a11－2a10＋10的值
是_________．
－24
1
针对练习
1.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图)就是一例.这个三角形的构造法则为两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和事实上，这个三角形给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式中各项(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如:在三角形中，第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数;第四行的四个数1，3，3,1恰好对应(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数.
针对练习
(1)根据上面的规律，(a+b)4展开式的各项系数中最大的数为 .
(2)直接写出25+5×24×(-3)
+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3
+5×2×(ー3)4+(-3)5= ；
(3)直接写出25-5×24+10×23-10×22+5×2-1= ；
1
6
-1
1
针对练习
(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3 x2016+
…+a2017 x2+a2018 x+a2019，
求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.
1
当x=0时，a2019=1，
当x=1时，a1+a2+a3+…+a2017+a2018+a2019=1，
∴a1+a2+a3+…+a2017+a2018=0
2.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用下图所示的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三
角”根据“杨辉三角”,计算(a+b)20
的展开式中第三项的系数为( )
A.2017 B.2016 C.191 D.190
针对练习
D
针对练习
3.根据杨辉三角规律，写出(x- )2016展开式中含x2014项的系数是 .
1
-4032
课堂小结
杨辉三角
杨辉三角的认识
杨辉三角的规律探索问题
下 课
Thanks!
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