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2.3 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
第二章 不等式与不等式组
八年级下册数学（北师版）
复习导入
1. 直线 y = 2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ， )，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x =_____.
-10
0
-10
2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x = 5，则直线 y = kx＋2 与 x 轴交点坐标为(____，_____).
5
0
探究新知
函数 y＝2x－5 的图象如图所示，观察图象
回答下列问题：
（1）x 取什么值时，2x－5＝0？
（2）x 取哪些值时，2x－5＞0？
（3）x 取哪些值时，2x－5＜0？
（4）x 取哪些值时，2x－5＞1
你是怎样思考的？与同伴进行交流。
O
1
2
3
4
5
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y＝2x－5
一元一次不等式与一次函数
1
解：由图象可知
O
1
2
3
4
5
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
(1) 当 x＝2.5 时， 2x－5＝0，
(2) 当 x＞2.5 时，直线 y＝2x－5在 x 轴的上方，则 2x－5＞0，
(3) 当 x＜2.5 时，直线 y＝2x－5在 x 轴的下方，则 2x－5＜0.
y＝2x－5
(2.5，0)
(4) 当直线 y＝2x－5 上的点的纵坐标的值为 1 时，这时该点的横坐标的值为 3.
当 x＞3 时，直线 y＝2x－5 在直线 y＝1 的上方，
则 2x－5＞1.
O
1
2
3
4
5
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y＝2x－5
(3，1)
归纳总结
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 kx + b > 0 或 kx + b < 0（k，b 是常数，k ≠ 0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作求当一次函数 y = kx + b 的值大于（或小于）0 时，相应的自变量的取值范围.
O
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y＝-2x -5
由图象可得
当 x＞2.5 时，y＜0.
当 x＞-3 时，y＜1.
想一想
如果 y＝-2x - 5，
那么当 x 取何值时，y＜0？当 x 取何值时，y＜1 ？
例1 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求：
解：作出函数 y = -3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和
-3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3
解：(1)由图象可知，不等式
-3x + 6 > 0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x < 2；
不等式 -3x + 6 < 0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x > 2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
(2) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3.
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3
3. 已知一次函数 y = kx + b 的图象如图所示.
(1)关于 x 的方程 kx + b = 9 的解为　 ；
(2)关于 x 的不等式 kx + b < 9 的解集为　 .
x = -6　
x > -6　
练一练
例2 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 m，然后自已才开始跑，已知弟弟每秒跑 3 m，哥哥每秒跑 4 m. 列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答问题：
(1) 何时弟弟跑在哥哥前面？
(2) 何时哥哥跑在弟弟前面？
(3) 谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？
你是怎样求解的？ 与同伴交流.
典例精析
哥哥： y1 ＝ 4x
弟弟： y2 ＝ 3x + 9
(1)___________ s 时，
弟弟跑在哥哥前面.
(2)________ s 时，
哥哥跑在弟弟前面.
(3)______先跑过 20 m.
______先跑过 100 m.
思路：图象法
0＜x＜9
x＞9
(9,36)
y1＝4x
y2＝3x+9
O
6
8
10
2
x(s)
4
12
24
12
30
18
36
6
y(m)
42
48
弟弟
哥哥
针对训练
2. 直线 l1：y1＝kx+b 与直线 l2：y2 ＝x+a 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 kx＋b＞x＋a 的不等式的解集为 ( )
A. x＞3 B. x ＜ 3
C. x＝3 D. 无法确定
x
y
B
y2 ＝ x+a
y1 ＝ kx+b
一元一次不等式
一次函数
可以研究一次函数图象走向
通过图象可直接解出不等式
课堂小结
1. 若函数 y = ax 和函数 y = bx + c 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 ax - bx＞c 的解集是( )
A. x＜2
B. x＜1
C. x＞2
D. x＞1
2
1
3
2
1
3
y = ax
y = bx + c
D
课堂练习
2. 甲、乙两辆摩托车从相距 20 km 的 A、B 两地相向而
行，图中 l1、l2 分别表示两辆摩托车离开 A 地的距离
s (km) 与行驶时间 t (h) 之间函数关系.
(1) 哪辆摩托车的速度较快？
(2) 经过多长时间，甲车行驶到
A、B 两地中点？
O
解：(1)由图象可知
故摩托车乙速度快.
即经过 0.3 h 时，甲车行驶到 A、B 两地的中点.
(2)当 s ＝10 km 时，
O
2.3 一元一次不等式与一次函数
第2课时 一元一次不等式与一次函数的
应用
八年级下册数学（北师版）
第二章 不等式与不等式组
情景导入
跳楼价
清仓处理
满 200 返 160
5 折酬宾
思考：现实生活中，同种商品总是有各种优惠活动，我们该如何选择，才能使利润最大化呢？
探究新知
一元一次不等式与一次函数的应用
1
某学校为打造“书香校园”，准备用 2000 元购买一批图书。甲书店的付款方式为：花 20 元办一张会员卡，所购图书总价可打八折。乙书店的付款方式为：花 200 元办一张会员卡，所购图书总价可打七折。
你认为学校选哪个书店购书更合算
解：设购买的总价为 x 元，选择在甲书店购书时，所需的费用为 y甲，选择在乙书店购书时，所需的费用为 y乙，根据题意可知
y甲＝20＋0.8x，y乙＝200＋0.7x。
1800
y=200+0.7x
O
y
x
1460
y=20+0.8x
当在甲、乙书店购书时所需的费用一样时，
即 y甲＝y乙，
得 20＋0.8x＝200＋0.7x，
解得 x＝1800；
当在甲、乙书店购书时所需的费用不一样时，
① 由 y甲＞y乙，得 20＋0.8x＞200＋0.7x，
解得 x＞1800；此时选择乙书店比较合算
② 由 y甲＜y乙，得 20＋0.8x＜200＋0.7x，
解得 x＜1800。此时选择甲书店比较合算。
因为 2000＞1800，所以学校准备用 2000 元购书时，选乙书店更合算。
例1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参
加旅游的人数估计为 10~25 人，甲、乙两家旅行社的服
务质量相同，且报价都是每人 200 元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少呢？
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需的费用为 y1 元，选择乙旅行社时，所需的费用为 y2 元。根据题意，得
典例精析
由 y1＝y2，得 150x＝160x－160，解得 x＝16；
由 y1＞y2，得 150x＞160x－160，解得 x＜16；
由 y1＜y2，得 150x＜160x－160，解得 x＞16。
因为参加旅游的人数为 10~25 人，所以，
当 x＝16 时，甲、乙两家旅行社的收费相同；
当 17≤x≤25 时，选择甲旅行社费用较少；
当 10≤x＜15 时，选择乙旅行社费用较少。
y1 ＝ 200×0.75x， 即 y1 ＝ 150x。
y2 ＝ 200×0.8(x -1)，即 y2 ＝ 160x -160。
一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用
实际问题
写出两个函数表达式
不等式
解不等式
画出图象
分析图象
解决问题
课堂小结
1. 某公司 40 名员工到一景点集体参观，该景点规定满 40 人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠. 请你帮助他们选择购票方案.
解：设该公司参观者中有女士 x 人，票价为 1，选择购买女士五折票时所需费用为 y1 元，选择购买团体票时所需费用为 y2 元，则
课堂练习
由 y1＝y2，得 0.5x＋40－x ＝ 40×0.8，解得 x ＝ 16.
由 y1＞y2，得 0.5x＋40－x＞40×0.8 ，解得 x＜16.
由 y1＜y2，得 0.5x＋40－x＜40×0.8 ，解得 x＞16.
答：当女士不足 16 人时，购买团体票合算；
当女士恰好是 16 人时，两种方案所需费用相同；
当女士多于 16 人时，购买女士五折票合算.

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