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1.2 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第2课时 等腰三角形的判定与反证法
A
B
C
如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？
等腰三角形的判定
1
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
A
B
C
实际模型
C
A
B
数学模型
回顾导入
抽象
如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
AB = AC
你能验证你的结论吗？
方法思考：
①作高 AD 可以吗
②作角平分线 AD 呢
③作中线 AD 呢
在 △ABD 与 △ACD 中，
∠B =∠C，
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∠1 =∠2，
AD = AD，
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形
证一证
还有别的方法吗？
等腰三角形的判定定理：
在△ABC 中，
∵∠B =∠C，
应用格式：
∴ AB = AC (等角对等边).
A
C
B
归纳总结
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
A
B
C
D
2
1
∵∠1 = ∠2 ， ∴ BD = DC
(等角对等边).
∵∠1 =∠2 ， ∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E.
求证：△AED 是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴ AE = DE (等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形.
典例精析
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C，
那么 AB ≠ AC.
A
B
C
反证法
2
C
A
B
如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，
此时，AB 与 AC 要么相等，要么不相等.
假设 AB = AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C.
“∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾，
因此 AB ≠ AC.
小明是这样想的：
你能理解他的推理过程吗
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
归纳总结
用反证法证题的一般步骤
1. 假设： 先假设命题的结论不成立；
2. 归谬： 从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出
与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确.
方法总结
证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．
∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C ＞180°．
不妨设 ∠A＝∠B＝90°，则
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角．
典例精析
等腰三角形的判定
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推出与已知条件或基本事实、定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立
E
2
1
A
B
C
D
72°
36°
③ 若 AD = 4 cm，则
1. 已知：如图，∠A = 36°，
∠DBC = 36°，∠C = 72°，
①∠1 = °， ∠2 = °；
② 图中有 个等腰三角形；
BC = cm；
72
36
3
4
个等腰三角形.
④ 若过点 D 作 DE∥BC ，
交 AB 于点 E ，则图中有
5
2. 已知：等腰三角形 ABC 的底角平分线 BD，CE 相交于点 O.
求证：△OBC 为等腰三角形.
A
B
C
D
E
O
证明：
∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC，
∠ACE＝∠ECB＝ ∠ACB.
∴∠DBC =∠ECB.
∴△OBC 是等腰三角形.
又∵△ABC 是等腰三角形，
∴∠ABC =∠ACB.
假设______________，
那么________.
证明：
3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直
线中的一条相交，那么和另一条也相交.
已知：
直线 l1，l2，l3 在同一平面内，且 l1∥ l2 ，l3 与 l1相交于点 P.
求证：
l3 与 l2 相交.
l1
l2
l3
·P
l3 与 l2 不相交
l3∥l2
这与“________________________________________ __________”矛盾.
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知
直线平行
所以___________，即求证的命题正确.
所以过直线 l2 外一点 P，有两条直线和 l2 平行，
假设不成立
因为已知_________，
l1∥l2
l1
l2
l3
·P

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