资源简介

(共16张PPT)
1.2 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第3课时 等边三角形的判定及含 30° 角的
直角三角形的性质
观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？
思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形又如何判定呢？
1
等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些结论吗？
A
B
C
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A =∠ B，
证一证
∴ AB = AC = BC.
∴ AB = AC.
∵∠B =∠C，
∴ AC = BC.
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
∴ △ABC 是等边三角形.
A
B
C
已知：若 AB＝AC，∠A＝60°.
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵ AB = AC，∠A = 60°，
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
∴ AB = AC = BC.
∴∠A =∠B =∠C.
∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°.
∴ △ABC 是等边三角形.
定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)，
∴∠C =∠B = 60° (等边对等角).
∴∠A = 60° (三角形内角和定理).
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等
边三角形).
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°．
求证：△ABC 是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是 60°.
A
C
B
60°
【验证】
操作：用两个含有 30° 角的三角板，
你能拼成一个怎样的三角形？
30°
30°
你能说出所拼成的三角形的形状吗？
猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
30°
30°
合作探究
30°
30°
结论：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半.
含 30° 角的直角三角形的性质
2
已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°.
求证： BC = AB.
A
30°
B
C
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
30°
30°
猜想验证
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
30°
A
B
C
D
证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD.
∴ △ABD 是等边三角形
( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形).
∴ BC＝ BD ＝ AB.
∴ AB＝AD ( 全等三角形的对应边相等).
∴△ABC≌△ADC (SAS).
∵ AC＝AC，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
还有别的方法吗？
几何语言：在△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直
角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
定义总结
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
例3 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高，
求证：CD ＝ AB.
C
B
A
D
证明：在△ABC 中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°.
C
B
A
D
∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果一个锐角等
于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∵ CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴ CD＝ AB.
1. 等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
2. 含 30° 角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
1. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则
△ABC 的周长为_____cm.
9
2. 在△ABC 中，∠B = 90°，∠C = 30°，AB = 3，则
AC =_____，BC =______．
A
B
C
3
30°
6
3. 已知：如图，AB = BC ，∠CDE = 120°， DF∥ BA，
且 DF 平分∠CDE.
求证：△ABC 是等边三角形.
证明：
∵ AB＝BC，
∴△ABC 是等边三角形.
又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE，
∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°.
∴△ABC 是等腰三角形，
∴∠EDF＝∠FDC＝60°.
又∵ DF∥ BA，

展开更多......

收起↑