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1.3 直角三角形
第一章 三角形的证明
第1课时 直角三角形的性质与判定
直角三角形的两个锐角互余.
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的性质与判定
1
问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.
如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，∠A +∠B = 90°，那么 △ABC 是直角三角形吗？
在△ABC 中，因为∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°，所以∠C = 90°. 于是△ABC 是直角三角形.
2
a
c
b
勾
弦
股
勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2.
证法1 毕达哥拉斯证法
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
∴ a2 +b2 = c2.
证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
证明欣赏
c
∵ c 2 = 4× ab + ( b - a ) 2
c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ，
c 2 = a 2 + b 2，
∴ a 2 + b 2 = c 2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为　　 　　 ．
c 2
4× ab + ( b - a ) 2
证法2 赵爽弦图
c
a
c
a
c
b
a
a
b
b
b
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
这个命题是真命题吗？为什么？
A
B
C
已知：如图，在 △ABC 中，AC 2 + BC 2 = AB 2.
求证：△ABC 是直角三角形．
例1 证明此命题：
分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自
己写出证明过程吗？
证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°，
DE = AC，FE = BC，
则 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理).
∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)，
∴ AB 2 = DF 2.
∴ AB = DF.
∴△ABC≌△DFE (SSS).
∴∠C =∠E = 90°.
∴△ABC 是直角三角形．
D
F
E
┏
A
B
C
定义总结
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
合作探究
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
下面两个定理的条件和结论有什么关系？
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
互逆命题与互逆定理
3
观察上面三组命题，你发现了什么
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
说出下列命题的条件和结论：
如果 a＝b，那么 a ＝b ；
如果 a ＝b ， 那么 a＝b.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.
其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置.
归纳总结
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗
想一想
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
举特例：
原命题：2 = 2，22 = 22；
逆命题：(2)2 = (-2)2，2 ≠ -2
此原命题是真命题；逆命题是假命题.
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
例如，本节学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理。
你还能举出一些互逆定理的例子吗？
归纳总结
直角三角形
角的性质
边的性质
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
定理1：直角三角形的两个锐角互余
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形
互逆命题与
互逆定理
互逆命题
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫作互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
概念
概念
1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( )
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 10 cm
【解析】Rt△ABC 中，AB 2 = AC 2 + BC 2 = 100，
∴ AB = 10 cm. BE = AB = 5 cm.
B
2. 在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？
试举出几个例子说明.
(1) 同旁内角互补，两直线平行.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
真
(2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，
那么它有两个角相等.
真

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