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1.4 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明
第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图
1. 回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
2. 线段的垂直平分线的作法.
A
B
C
D
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗
尺规作图
1
尝试交流： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
(2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？
梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤。
已知：线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，
高 AD = h.
l
D
C
B
a
h
A
作法：1. 作线段 BC = a；
2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC
于点 D；
3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h .
4. 连接 AB，AC.
则△ABC 为所求的等腰三角形.
思考交流
还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流。
3. 作线段 AB 的垂直平分线 m.
2. 以点 P 为圆心，以 PQ 的长为半径作弧，交直线 l 于 A，B.
B
A
作法：
● P
C
D
l
m
1. 任取一点 Q，使点 Q 与点 P 在直线 l 两旁.
直线 m 就是所要作的直线.
Q
已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线 PD 与边 BC 的垂直平分线 PE 相交于点 P。
求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P。
B
C
A
P
D
E
分析：要证明点 P 在边 AC 的垂直平分线上，需要什么条件？
已知的两条垂直平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？
三角形三边的垂直平分线的性质
2
证明：如图，连接 PA，PB，PC。
∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
∴ PA = PB = PC。
∴PA = PB，( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 )。
同理，PB = PC。
∵点 P 在 AB 的垂直平分线上，
B
C
A
P
D
E
即边 AC 的垂直平分线经过点 P。
应用格式：
∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA = PB = PC．
A
B
C
P
归纳总结
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
试一试
1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
A
B
C
P
l1
l2
l3
2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE 等于 ( )
A．80° 　　 B．70°
C．60° D．50°
C
B
A
D
E
C
2. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F， 并与 BC 边上的高 AE 交于 G.
求证：EG＝EC.
F
A
B
C
E
G
D
证明：连接 AD. ∵点 D 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴EG＝EC.
∴△DEG≌△AEC (ASA).
∴∠CAE＝∠CDF.
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°.
又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.
∴ AE＝DE.
∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.
∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°.
F
A
B
C
E
G
D
作法：(1) 作直线 l.
3. 已知：线段 a.
求作：△ABC，使∠ACB = 90°，AC = BC = a.
E
D
l
A
B
a
C
N
M
a
a
(5) 连接 AB. △ABC 就是所求作的三角形.
(4) 在射线 CE 上截取 CA = a，
在射线 CM 上截取 CB = a.
(3) 作线段 DE 的垂直平分线 MN
交 DE 于 C.
(2) 在直线 l 上任取一条线段 DE.

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