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(共13张PPT)
1.5 角平分线
第一章 三角形的证明
第1课时 角平分线
如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？
( 比例尺为 1︰20000 )
D
C
S
解：作夹角的角平分线 OC，
截取 OD ＝ 2.5 cm ，D 即为所求.
O
角平分线的性质
1
1. 操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA，PE⊥OB，点 D、E 为垂足，测量 PD、PE 的长. 将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系：____
PD PE
第一次
第二次
第三次
PD=PE
C
O
B
A
P
D
E
实验：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的任
意一点.
结论证明
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。
求证：PD = PE。
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°。
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等).
B
A
D
O
P
E
C
1
2
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠1 =∠2.
∵OP = OP，
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，
知识要点
角平分线的判定
2
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的正确性。
尝试思考
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
结论证明
已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
∴ OP 平分∠AOB.
∵PD = PE ，OP = OP ，
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).
∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等).
B
A
D
O
P
E
C
1
2
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：点在角的内部；
(2) 数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
知识要点
例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长.
A
B
C
D
E
F
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF，
∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD = 30°.
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
A
B
C
D
E
F
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三
角形中，如果一个锐角等于30°，那
么它所对的直角边等于斜边的一半) .
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点D 到 AB 的距离是 .
A
B
C
D
3
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3. 如图，若∠ABC 的平分线与△ABC 的外角∠ACD 的平分线相交于点 P，若∠BAC = 62°，∠PAC 等于_______°.
59
B
A
C
D
P

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