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1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明
第1课时 三角形内角和定理
我们已经知道三角形三个内角的和为 .
180°
以前探索三角形三个内角的和是用什么方法，你还记得吗
方法一：测量法
45°
56°
79°
45°+ 79° + 56° = 180°
方法二：折叠法
1
1
2
2
3
3
方法三：拼凑法
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
如果不实际移动角，通过什么方式来改变角的位置呢？
剪拼折叠角的目的什么？
构造平角
1
三角形的内角和定理的证明
A
B
C
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
如何改变角的位置构造平角？
延长 BC 到 D，过点 C 作射线CE∥BA
分析：
E
D
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
证一证
证法1：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，
则∠1 =∠A (两直线平行，内错角相等)，
∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°(平角的定义)，
∴∠A +∠B +∠ACB = 180°
(等量代换).
A
B
C
E
D
1
2
三角形内角和定理 三角形的内角和等于 180°.
在△ABC 中，∠A +∠B +∠C = 180°.
几何语言：
知识要点
A
B
C
你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
证法2：过点 A 作 l∥BC，
则∠B =∠1，∠C =∠2
(两直线平行，内错角相等).
∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180° (平角的定义)，
∴∠B +∠C +∠BAC = 180° (等量代换).
1
2
证一证
A
B
C
证一证
C
B
A
E
D
F
证明：过点 D 作 DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C =∠1，∠B =∠3
(两直线平行，同位角相等).
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°
(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠A=∠2(等量代换).
∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义)，
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).
1
2
3
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
1
2
A
B
C
例1 如图，在△ABC 中，∠B = 38°，∠C = 62°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
A
C
B
D
解：在△ABC中，∠B +∠C +∠BAC = 180°
(三角形内角和定理).
∵∠B = 38°，∠C = 62°，
∴∠BAC = 180° - 38° - 62° = 80°.
∵ AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD = ∠CAD = ∠BAC = ×80° = 40°.
在△ADB 中，∠B +∠BAD +∠ADB = 180°
(三角形内角和定理).
∵∠B = 38°，∠BAD = 40°，
∴∠ADB= 180° - 38° - 40°= 102°.
A
C
B
D
解：∵ DE⊥AB，所以∠FEA＝90°．
在△AEF 中，因为∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵ ∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
则在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
【练一练】如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
思考：我们已经证明了 SSS，ASA，SAS 的成立，怎么用这些定理证明 AAS 成立呢？
已知： 在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
C
B
D
F
E
证明：在△ABC 中，∠A +∠B +∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B.
同理，∠F＝180°－∠D－∠E.
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠F.
2
全等三角形的判定和性质
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
在△ABC 和△DEF 中，
A
C
B
D
F
E
问题1：AAS 和 ASA 有什么联系？
问题2：AB 和 DE 有什么关系？AC 和 DF 呢？
根据三角形内角和定理，已知两个角可以推出另外一个角的大小，因此证明AAS 成立可以转化为 ASA 的证明.
AB＝DE， AC＝DF
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（ AAS ）
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
【知识要点】
【练一练】 如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是 ( )
B
A. BD＝CD
B. AB＝AC
C.∠B＝∠C
D. ∠BAD＝∠CAD
1
2
三角形的
内角和定理
全等三角形的判定和性质
三角形的内角和定理
1. 如图，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =______°.
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
280
2.如图，在△ABC 中，∠A = 40°，D 点是∠ABC 和 ∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC = ______.
110°
3. 如图所示的两个三角形全等，
则∠a 的度数是 .
72°
a
b
c
α
c
a
b
72°
58°
4. 如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，∠A +∠ADE = 180°，∠B = 78°，∠C = 60°，求∠EDC 的度数．
解：∵ ∠A +∠ADE = 180°，
∴AB∥DE.
则∠CED =∠B = 78°.
又∵ ∠C = 60°，
∴ ∠EDC = 180° - (∠CED +∠C )
= 180° - (78°+ 60°) = 42°.

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