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第2课时 三角形的外角
1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明
2. 在△ABC 中，∠A = 80°，∠B = 52°，则∠C = °.
1. 什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
48
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，
三角形的内角的和是 180°.
3. 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，
则∠ACB = °，∠ACD = °.
A
B
C
D
50
130
∠ACD 叫作什么角？
1
三角形的外角的概念
定义
如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角.
C
B
A
D
问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的外角.
问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
A
B
C
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点处对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
① 角的顶点是三角形的顶点；
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线.
三角形的外角应具备的条件：
每一个三角形都有 6 个外角．
归纳总结
1
2
3
6
5
4
A
B
C
2
三角形的外角的性质
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
探究1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角
∠ACB 有什么关系？
∠BCD 与∠ACB 互补.
探究2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两个内角 (∠A，∠B ) 又有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B =∠BCD.
你能借助平行线的知识证明此结论吗？
D
证明：过点 C 作 CE∥AB，
A
B
C
1
2
则∠1 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
E
已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B.
证一证
推论 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和定理：
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠A + ∠B.
知识要点
A
B
C
D
探究3 (1) 如图①，试比较∠2 、∠1的大小；
(2) 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图①
图②
解：∵∠2=∠1+∠B，
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2 =∠1 + ∠B，
∠3 =∠2 + ∠D，
∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
A
B
C
D
(
(
1
2
3
A
B
C
D
(
(
(
1
2
E
知识要点
定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形内角和定理推论2：
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
A
B
C
D
1.说出下列图形中∠1 和∠2 的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80°
60°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50°
32°
(2)
∠1 = 40°，∠2 = 140°
∠1 = 18°，∠2 = 130°
练一练
例2 如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B =∠C. 求证：AD∥BC.
A
C
D
B
E
证明：∵∠EAC =∠B +∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B =∠C ，
∴∠C = ∠EAC .
∵ AD 平分∠EAC.
∴∠DAC = ∠EAC .
∴∠DAC = ∠C. ∴AD∥BC.
还有其他证明方法吗？
例3 如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB，PC.
求证：∠BPC＞∠A.
证明：如图，延长 BP，交 AC 于点 D.
∵∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角定义)，
∴∠BPC＞∠PDC (三角形的一个外角
大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC 是△ABD 的一个外角 (外角定义)，
∴∠PDC＞∠A (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴∠BPC＞∠A.
A
B
C
P
D
还有其他证明方法吗？
解：延长 BP 交 AC 于点 E，
则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A.
∴∠PEC ＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【练一练】1.如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数．
E
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
1. 如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F 等于
( )
F
A
B
E
C
D
A. 26°
B. 63°
C. 37°
D. 60°
A
解：∵∠ADC 是△ABD 的外角，
2. 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B = ∠BAD， ∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.
在△ABC 中，∵∠B +∠BAC +∠C = 180°，
∴∠C = 180° - 40° - 70° = 70°.
∴∠ADC = ∠B +∠BAD = 80°.
又∵∠B =∠BAD，
A
B
C
D
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
3. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F = °.
360

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