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1.3 直角三角形
第一章 三角形的证明
第2课时 直角三角形全等的判定
SSS
SAS
ASA
AAS
旧知回顾：我们学过哪些判定三角形全等的方法？
如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边是_____、_____，斜边是_____.
C
B
A
AC
BC
AB
思考：
前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？
问题：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B =∠E = 90°，
且 AC = DF，BC = EF，现在能
判定△ABC≌△DEF 吗？
A
B
C
D
E
F
直角三角形全等的判定
1
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.
α
a
c
画一画
作法：
2. 过点作射线 CN 的垂线 CM .
3. 在射线 CM 上截取 CB＝a.
A
M
C
N
4. 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A.
5. 连接 AB.
B
α
a
c
1. 作射线 CN.
△ABC 就是所要作的直角三角形.
视频观看
结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，
AB = A′B′，AC = A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：在△ABC中，
A
B
C
A′
B′
C′
∴ △ABC≌△A'B'C'( SSS ) .
∴ BC＝B'C'.
∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，
同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2.
∴ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理).
∵∠C＝90°
验证结论
归纳总结
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
“斜边、直角边”判定方法
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB = A′B′，
BC = B′C′，
A
B
C
A′
B′
C′
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
(1) 一个锐角和这个角的对边对应相等； ( )
(2) 一个锐角和这个角的邻边对应相等； ( )
(3) 一个锐角和斜边对应相等； ( )
(4) 两直角边对应相等； ( )
(5) 一条直角边和斜边对应相等． ( )
HL
ASA
SAS
AAS
AAS
判一判
例 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
BC = EF，AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B +∠F = 90°.
解：根据题意，可知
∠ABC = ∠DEF = 90°，
B
A
D
F
C
E
证明：∵ AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL).
∴ CD ＝ EF.
∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
1. 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.
练一练
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组边相等)
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 ( )
A. 两条直角边对应相等
B. 斜边和一锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等
D. 两个锐角对应相等
D
2. 如图，△ABC 中，AB = AC，AD 是高，则 △ADB 与△ADC (填“全等”或“不全等”)，依据是 (用简写法).
全等
HL
┑
3. 如图，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，
BD = CE. 求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC =∠BDC = 90°.
在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中，
CE = BD，
BC = CB，
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).

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