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1.2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
第一章 三角形的证明
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
问题2：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗
定理：等腰三角形的两个底角相等.
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
等腰三角形的性质及其推论
1
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
A
B
C
D
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
证一证
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
由△BAD≌△CAD，
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，
∠BAD =∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
A
B
C
D
归纳总结
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
几何语言：如图，在 △ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
典例精析
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：
AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
F
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
图①
A
B
D
G
E
C
图②
A
B
D
E
C
F
∴ AF⊥BC.
∵ AB＝AC，
∴ BF＝CF.
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＝CE.
∴ BG－DG＝CG－EG.
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
想一想，不构造辅助线可以结论吗？
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理呢？
等边三角形的性质
2
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
A
C
B
证明：在△ABC 中，
证一证
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)，
同理∠A =∠B.
∴∠B =∠C (等边对等角).
∵ AB = AC (已知)，
B
C
D
A
E
例2 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，
BD = BE，求∠EDA 的度数.
解：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS).
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
1. 如图，已知 AB＝AE，∠BAD ＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．
∠C ＝∠D (答案不唯一)
2. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为
__________；
(2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为
______________________；
(3) 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.
75°，30°
72°，72°，或 36°，108°
30°，30°
A
C
B
D
E
3.如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC
的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是
cm.
12

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