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微专题18　函数的图象与性质
1.函数的单调性
(1)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减．
(2)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数组成的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数组成的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
2．函数的奇偶性
(1)若函数f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).
(2)在公共定义域内，奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．函数的周期性
(1)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a≠0)，则y＝f(x)是以2|a|为周期的周期函数．
(2)若f(x＋a)＝f(x－a)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是以2a为周期的周期函数．
(3)函数图象的对称与周期关系的常见结论：
①若函数y＝f(x)图象的两条对称轴的方程分别为x＝a，x＝b，则函数的一个周期为2|a－b|.
②若函数y＝f(x)图象的两个对称中心分别为点(a，0)，(b，0)，则函数的一个周期为2|a－b|.
③若函数y＝f(x)图象的一条对称轴的方程为x＝a，一个对称中心为点(b，0)，则函数的一个周期为4|a－b|.
4．函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)恒成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若f(a＋x)＋f(b－x)＝0恒成立，则f(x)的图象关于点对称．特别地，若f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)恒成立，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．
微点一　函数的图象与函数解析式
例1　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为 (　　)
　　
　　
(2)(2025·天津高考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为 (　　)
A.f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
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训练1　(1)(2025·江西一模)函数f(x)＝cos πx的部分图象大致为 (　　)
　　
　　
(2)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为 (　　)
A.f(x)＝cos 2x·(ex－e－x)
B．f(x)＝sin 2x·ln
C．f(x)＝
D．f(x)＝·ln
微点二　函数性质的应用
考向1　单调性与奇偶性
例2　(1)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
(2)(2025·济宁一模)已知函数f(x)＝cos x是奇函数，则实数a＝________．
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函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
训练2　已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>0时，f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)＋f(2x)≥0的解集为 (　　)
A．[－2，0]
B．[0，2]
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
考向2　奇偶性、周期性与对称性
例3　(2025·合肥模拟)(多选题)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R，且f(x－1)和g(2x＋1)都是奇函数，且g(0)＝，则下列说法正确的有 (　　)
A．g(x)关于x＝－1对称
B．f(x)关于(1，0)对称
C．g(x)是周期函数
D．g(2i)＝4
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周期性与奇偶性的综合应用
周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值对应的自变量转化到已知解析式的区间内求解．训练3　(2025·南昌一模)(多选题)已知f(x)是R上的连续函数，满足 x，y∈R有f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1.则下列说法中正确的是 (　　)
A．f(0)＝0
B．f(x)为偶函数
C．f(x)的一个周期为6
D．是f(x)的一个对称中心
1．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为 (　　)
A．f(x)＝－x B．f(x)＝()x
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
2．(2023·天津高考)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为 (　　)
A．f(x)＝ 　 B．f(x)＝
C．f(x)＝ 　 D．f(x)＝
3．(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝ (　　)
A．－ B．－
C． D．
4．(2021·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
微专题18　函数的图象与性质
例1　(1)B　解析　(排除法)由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1＋－>0，排除D.故选B.
(2)D　解析　由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，且f(x)为偶函数，易得f(x)＝与f(x)＝均为奇函数，排除选项A，B.由题图可知当x>1时，f(x)>0，易得当x>1时，f(x)＝<0，f(x)＝>0，排除C，故选D.
训练1　(1)A　解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数f(－x)＝cos (－πx)＝－cos πx＝－f(x)，f(x)是奇函数，所以排除B，C，又函数f(x)在原点附近大于0的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数，如0.1，得f(0.1)＝(0.1－10)cos (0.1π)<0，所以排除D.故选A.
(2)B　解析　对于A，函数f(x)＝cos 2x·(ex－e－x)的定义域为R，而题中函数图象在自变量为0时无意义，不符合题意，排除；对于C，当x>0时，f(x)＝>0，与题中函数图象不符，排除；对于D，当x>0时，f(x)＝·ln ＝[ln x2－ln (x2＋1)]<0，与题中函数图象不符，排除．故选B.
例2　(1)D　解析　函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞).故选D.
(2)1　解析　因为2x＋1>0，可知函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，则f(0)＝a－1＝0，解得a＝1，则f(x)＝cos x，又因为f(－x)＋f(x)＝cos (－x)＋cos x＝cos x＝(2－2)cos x＝0，即f(－x)＝－f(x)，可知函数f(x)是奇函数，所以a＝1符合题意．
训练2　A　解析　解法一：由题意得f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)，即f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)，不妨令x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1－x2)<0，即f(x1)解法二：因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以可令f(x)＝kx，又当x>0时，f(x)<0，所以k<0，所以f(x2)＋f(2x)≥0可转化为kx2＋2kx≥0，即x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，即x∈[－2，0].故选A.
例3　ACD　解析　因为f(x－1)为奇函数，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f′(x－1)＝f′(－x－1)，即g(x－1)＝g(－x－1)，所以g(x)的图象关于直线x＝－1对称．故A正确；因为f(x－1)为奇函数，则其图象关于(0，0)对称，向左平移一个单位后得到f(x)的图象，则f(x)的图象关于(－1，0)对称，故B错误；因为g(2x＋1)为奇函数，则g(2x＋1)＝－g(－2x＋1)，则有g(x＋1)＝－g(－x＋1)，所以g(x)＝－g(－x＋2)　①，又g(x－1)＝g(－x－1)，则g(x)＝g(－x－2)　②，由①②得g(－x－2)＝－g(－x＋2)，则g(x－2)＝－g(x＋2)，则g(x)＝－g(x＋4)，g(x＋4)＝－g(x＋8)，则g(x)＝g(x＋8)，所以8是函数g(x)的一个周期，g(x)是周期函数，故C正确；因为g(0)＝，g(x)＝－g(－x＋2)，g(x)＝－g(x＋4)，所以g(2)＝－g(2－2)＝－g(0)＝－，g(4)＝－g(0)＝－，g(6)＝－g(2)＝，所以g(2i)＝(－1－2＋3＋4－5－6＋7＋8－9－10＋11＋12)×＝4，故D正确，故选ACD.
训练3　BCD　解析　因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(x)的定义域为R，关于原点对称，对于选项A：令x＝y＝0，则2f(0)＝f2(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝2，若f(0)＝0，令y＝0时，f(x)＋f(x)＝2f(x)＝f(x)f(0)＝0，这与f(1)＝1矛盾，故f(0)＝2，故A错误；对于选项B：令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，可知f(x)是偶函数，故B正确；对于选项D：因为f(0)＝2，f(1)＝1，当x＝1，y＝1时，f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，故f(2)＝－1，当x＝2，y＝1时，f(3)＋f(1)＝f(2)f(1)，故f(3)＝－2，当x＝y＝时，f(3)＋f(0)＝f2，故f＝0，当x＝时，f＋f＝ff(y)＝0，所以f＋f＝0，是f(x)的一个对称中心，故D正确；对于选项C：因为f＋f＝0，即f＝－f，即f＝－f，则f(x＋3)＝－f(－x)，又f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故f(x)是以6为周期的周期函数，故C正确；故选BCD.
真题巧用·明技法
1．D　解析　如图，在坐标系中分别画出A、B、C、D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D.
2．D　解析　由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A；对于B，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除B；对于C，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D符合题意，故选D.
3．A　解析　f(－)＝f()＝f(＋2)＝5－2×(＋2)＝－.
4．1　解析　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.(共39张PPT)
赢在微点 考前顶层设计 数学
专题六　
函数、导数与不等式
专题六 函数、导数与不等式
微专题18
函数的图象与性质
核心整合
核心整合
核心整合
核心整合
核心整合
核心整合
解析
解析
解析
解析
解析
解析
方法提炼
解析
解析
解析
解析
解析
方法提炼
解析
解析
解析
解析
解析
解析
8当
0
01
:
以题梳点
和考君
y
-2.8
0
2.8
X
y个
-2.8
0
2.8
X
y个
-2.8
2.8
X
y个
0
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2.8
X
Y
0
-1
1
X
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X
y
0
X
y
0
X
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①
x
y
0
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真题巧用
明技君
f(x)=x2
f(x)=
f网-】
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.f(x)=-x
个
4
2
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2
4
X微练(二十九)　函数的图象与性质
班级：　　　　　　姓名：
基础过关练
一、单项选择题
1．(2023·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是 (　　)
A.f(x)＝－ln x B．f(x)＝
C.f(x)＝－ D．f(x)＝3|x-1|
2．(2025·茂名一模)已知函数f(x)＝
则f(－1)＋f(1)＝ (　　)
A. B．3 C． D．
3．(2025·四川一模)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝ (　　)
A.0 B．1 C．2 D．无解
4．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为 (　　)
A.f(x)＝－ B．f(x)＝－
C.f(x)＝－ D．f(x)＝－
5．(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是 (　　)
A.f(x)＝ B．f(x)＝
C.f(x)＝ D．f(x)＝
6．(2025·沈阳一模)函数f(x)＝的图象大致是 (　　)
　
　
7．函数y＝f(x)和y＝f(x－2)均为R上的奇函数，若f(1)＝2，则f(2 025)＝ (　　)
A.－2 B．－1 C．0 D．2
8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，都有>2，f(1)＝2 026，则满足不等式f(x－2 025)>2(x－1 013)的x的取值范围是 (　　)
A.(2 026，＋∞) B．(2 025，＋∞)
C.(1 013，＋∞) D．(1 012，＋∞)
二、多项选择题
9．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则 (　　)
A.函数f(x)在R上单调递增
B.函数f(x)g(x)是奇函数
C.函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称
D.g(2x)＝[f(x)]2＋[g(x)]2
10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(2－x)，f(x＋3)＝f(3－x)，则下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的周期为4 B．f(x＋2)为偶函数
C.f(0)＝0 D．f(1)＝0
11．已知函数f(x)＝，则 (　　)
A.当a>0时，f(x)是增函数
B.当a<0时，f(x)的值域为(2，＋∞)
C.当a＝1时，曲线y＝f(x)关于点(0，1)对称
D.当a＝4时， x∈R，f(kx＋1)＋f(2－x2)<2，则－2三、填空题
12．“函数f(x)＝ax2－sin x是奇函数”的充要条件是实数a＝________．
13．(2025·昆明一模)已知函数f(x)＝则f(ln 2)＝________．
14．已知函数f(x)＝e|x|－cos x，则使得f(x－1)>f(2x)成立的x的取值范围是________．
能力提升练
15.(2025·贵州一模)函数f(x)＝若 x∈(1，＋∞)，不等式f(x＋2m)＋f<0恒成立，则实数m的取值范围是 (　　)
A.(－3，1)
B.(－1，3)
C.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
16．(2025·云南一模)已知min{a，b}＝函数f(x)＝min，若 x∈[1，3]，使得关于x的不等式f(x)≤f(t)成立，则实数t的取值范围是__________________．
微练(二十九)　函数的图象与性质
1．C　解析　对A，因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，所以A不符合要求；对B，因为f(x)＝＝在(0，＋∞)上单调递减，所以B不符合要求；对C，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以C符合要求；对D，当02．C　解析　因为f(x)＝所以f(1)＝log39＝2，f(－1)＝3-1＝，所以f(－1)＋f(1)＝＋2＝.故选C.
3．D　解析　根据题意，函数f(x)＝＝a＋＝a＋21-x，则f(－x)＝a＋21+x，若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝2a＋21-x＋21+x＝0，即a＝－(2－x＋2x)，a的值不是常数，即无解．故选D.
4．A　解析　由图可知，图象对应的函数为偶函数，函数的定义域不是实数集，故排除B，C；D选项中，当x→－∞时，f(x)→0，不符合图象，故排除D.故选A.
5．B　解析　对于A，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选B.
6．A　解析　因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故排除B，C，又当x∈时，lg (x2＋e)>0，sin x>0，f(x)＝>0，故排除D，故选A.
7．D　解析　因为y＝f(x－2)为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(－2，0)对称，即f(－x)＋f(x－4)＝0，又y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则f(x)＝f(x－4) f(x＋4)＝f(x)，所以y＝f(x)的周期为4，故f(2 025)＝f(1＋2 024)＝f(1)＝2.故选D.
8．A　解析　由>2，得>0，即函数y＝f(x)－2x在[0，＋∞)上单调递增．又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以y＝f(x)－2x为奇函数，所以y＝f(x)－2x在R上单调递增．由f(x－2 025)>2(x－1 013)，f(1)＝2 026，得f(x－2 025)－2(x－2 025)>f(1)－2，则x－2 025>1，解得x>2 026.
9．ABD　解析　对于A，因为y＝ex在R上单调递增，y＝－e－x在R上单调递增，所以f(x)＝在R上单调递增，故A正确；对于B，因为f(x)g(x)＝·＝，所以f(－x)g(－x)＝＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，故B正确；对于C，因为f(x)为奇函数，图象关于原点对称，而g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x)与g(x)的图象不会关于原点对称，故C错误；对于D，[f(x)]2＋[g(x)]2＝＋＝＋＝＝g(2x)，故D正确．故选ABD.
10．AC　解析　由f(x＋2)＝－f(2－x)，得f(x＋4)＝－f(－x)，由f(x＋3)＝f(3－x)，得f(x＋6)＝f(－x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋4)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，A正确；由f(x＋2)＝－f(2－x)可知f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(2)＝0，所以f(0)＝－f(2)＝0，C正确；由f(x＋3)＝f(3－x)知f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以f(x＋2)的图象关于直线x＝1对称，结合周期、对称中心，进一步可知f(x＋2)图象的对称轴为直线x＝m(m为奇数)，所以f(x＋2)不是偶函数，B错误．结合周期、对称轴，可知f(x)图象的对称中心为点(n，0)(n为偶数)，无法得到f(1)＝0，D错误．故选AC.
11．ACD　解析　对于A：因为f(x)＝＝2＋的定义域为R，当a>0时y＝2x＋a在定义域R上单调递增，且y＝2x＋a>a>0，又y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在定义域R上单调递增，故A正确；对于B：当a＝－2时f(0)＝－2，但是－2 (2，＋∞)，故B错误；对于C：当a＝1时，f(x)＝，则f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝2，所以曲线y＝f(x)关于点(0，1)对称，故C正确；对于D：当a＝4时，f(x)＝＝的图象是由y＝的图象向右平移2个单位长度得到，所以f(x)的对称中心为(2，1)，且在定义域R上单调递增，所以 x∈R，f(kx＋1)＋f(2－x2)<2，可得 x∈R，2－f(4－kx－1)＋f(2－x2)<2，即 x∈R，f(2－x2)0恒成立，所以Δ＝k2－4<0，解得－212．0　解析　若f(x)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，所以a(－x)2－sin (－x)＋ax2－sin x＝0，2ax2＝0，所以a＝0.
13．2e　解析　因为f(x)＝且0＝ln 114．　解析　显然f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝ex－cos x，f′(x)＝ex＋sin x，当00，当x>2时，ex>e2，－≤sin x≤，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．所以当f(x－1)>f(2x)时，有|x－1|>|2x|，解得－115．B　解析　因为函数f(x)＝f(x)为减函数；又因为x<0，f(－x)＝－＝－f(x)，x>0，f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，若 x∈(1，＋∞)，不等式f(x＋2m)＋f<0恒成立，则不等式f(x＋2m)<－f，因为f(x)为奇函数，所以f(x＋2m)－＋m2恒成立，所以x＋>m2－2m恒成立，所以(x＋)min>m2－2m， x∈(1，＋∞)，x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取最小值3，所以m2－2m<3，所以m2－2m－3＝(m－3)(m＋1)<0，所以实数m的取值范围是(－1，3).故选B.
16．∪　解析　因为f(x)＝min，则定义域为{x|x≠－1}，所以f(x)的图象是取y＝x2与y＝图象位于下方的部分，
作出y＝f(x)的图象如图所示(实线部分)：当x∈[1，3]时f(x)＝，显然f(x)在[1，3]上单调递减，且f(x)∈；因为 x∈[1，3]，使得关于x的不等式f(x)≤f(t)成立，所以f(t)≥，令x2＝，解得x＝±，结合图象可得f(t)≥的解集为－1微练(二十九)
函数的图象与性质
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